第三章向量線性關(guān)系秩(2)

1、第三章第三章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 本章引入n維向量的概念, 討論向量組的線性相關(guān)性,建立向量組的極大無關(guān)組和秩的概念, 并給出矩陣秩的概念及其與向量組秩的關(guān)系. 1 1 n n維向量及其運算維向量及其運算 定義3.1 由n 個數(shù)a1, a2, , an組成的一個有次序數(shù)組稱為n維向量，記為),(21naaa或naaa21 組成向量的數(shù)稱為向量的分量, ai 稱為向量的第i個分量. 分量全是實數(shù)的向量稱為實向量, 分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. 線性代數(shù)只討論實向量. 如果兩個向量維數(shù)相等且對應(yīng)分量都相等稱它們相等. 分量都是零的向量稱為零向量, 記為0 0. 將向量 的分量都改

2、變符號得到的向量, 稱為向量 的負(fù)向量, 記為- . 定義中兩種形式分別稱為行向量行向量和列向量列向量, , 也可以分別看成1n矩陣和n1矩陣, 向量可以按矩陣運算規(guī)律進(jìn)行相應(yīng)運算, 于是列向量也可寫成：=(a1, a2, , an)T. 常用的向量運算是向量的加法和乘數(shù)兩種運算, 統(tǒng)稱為向量的線性運算, 完全按矩陣運算處理, 所以滿足: ()交換律： + + = + + () 結(jié)合律: ( + + )+ + = + +( + + ) () +0+0= () +( )=0 0 () 1 = () 數(shù)的分配律： (k+l) =k +l () 矩陣的分配律： k( + + )=k +k . . (

3、) 結(jié)合律：(kl) =k(l ) 所有n維列(行)向量的全體, 對其上所定義的加法和乘數(shù)兩種運算, 構(gòu)成了一個n維線性空間, 或稱向量空間. 在解析幾何中, 曾引進(jìn)向量的數(shù)量積 x y=|x|y|cos且在直角坐標(biāo)系中，有 定義定義3.2 3.2 設(shè)有n維向量 =(a1,a2,an)T, =(b1,b2,bn)T, 令 但n維向量沒有3維向量那樣直觀的長度和夾角的概念,我們可以按數(shù)量積的直角坐標(biāo)計算公式來推廣, 先定義n維向量內(nèi)積的概念, 反過來定義n維向量的長度和夾角.),(321xxx),(321yyy332211yxyxyx , =a1b1+a2b2+anbn稱 , 為向量 與 的內(nèi)積

4、. 內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算, 其結(jié)果是一個實數(shù). 內(nèi)積也可以用矩陣運算表示, 當(dāng) 與 都是列向量時, 有, 而且, 僅當(dāng) =0 0時, , =0. 內(nèi)積具有下列性質(zhì)(其中 , , 為n維向量, k為實數(shù)): , = T T = T T ;,) 1 ( ,)2( ，,)3( kk0,)4( 。利用這些性質(zhì)還可以證明Schwarz不等式:,2 下面定義n維向量的長度和夾角。 當(dāng)| |=1時, 稱 為單位向量.為向量 的長度(或范數(shù)), 記為| |或. 由Schwarz不等式, 對任意非零向量 和 都有 |1 定義定義3.3 3.3 設(shè)n維向量 =(a1, a2, , an)T, 稱非負(fù)實數(shù)2

5、2221,naaa 當(dāng) 0 0時, 是與 同方向的單位向量.1, 可見, , =0, 于是有 為向量 和 的夾角. 定義定義3.4 3.4 對任意非零向量 , , 稱 ,0,arccos,2, 定義定義3.5 3.5 若 , =0, 則稱向量 與 正交.向量 與 的內(nèi)積 , 也可以表示成： , | | | cos2 2 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 若干個同維數(shù)的列向量(或行向量)組成的集合叫做向量組. 如: mn 矩陣A=A=(aij)對應(yīng)n 個m 維列向量向量組 1, 2, , n稱為A A的列向量組. 即A A=( 1, 2, , n). mn 矩陣A=A=(aij)也對應(yīng)m 個

6、n 維行向量 ，121111maaa ， 222212maaa ，mnnnnaaa21 1=(a11, a12, , a1n), 2=(a21, a22, , a2n), m=(am1, am2, , amn),向量組 1, 2, m, 稱為矩陣A A的行向量組, 即反之, 由有限個向量組成的向量組也可構(gòu)成一個矩陣. . 線性方程組Ax=bAx=b也可以用向量表示成: x1 1+x2 2+ +xn n= 定義定義3.6 3.6 對向量 和向量組: 1, 2, , n, 若存在一組數(shù)k1,k2 , ,kn, 使: =k1 1+k2 2+ +kn n, 則稱向量 可由向量組 1, 2, , n線性

7、表示, , 也稱向量 是向量組 1, 2, , n的線性組合. .21mA 其中, 1, 2, , n是矩陣A A的列向量組, b.b. 例例1 1 設(shè) T T=(2,1,0,1), 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T=(1, 0, 0, 1), 問 能否由向量組 1, 2, 3線性表示. 解 設(shè) =k1 1+k2 2+k3 3 , 即 (2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)于是有解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 = 12 2 3 131223211kkkkkk 所以向量 可由向量組 , 2, 3線性表示. 表示式也可寫成 10

8、-121110-1 2=000010-111即121)(321 ， 一般地, 對列向量, =k1 1+k2 2+ks s 可寫成 對行向量, =k1 1+k2 2+ks s 可寫成 定義定義3.7 3.7 若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=0 0則稱向量組向量組 1, 2, , s線性相關(guān)線性相關(guān), , 否則稱線性無關(guān)線性無關(guān). .skkk21s21),( ，skkk 21s21),(，只有當(dāng)k1,k2 , ,ks全為零時才成立. k1 1+k2 2+ +ks s=0 0 可見向量組 1, 2, , s線性無關(guān)的充分必要條件是: 例例2 2

9、 討論向量組 1T=(1,1,0,0), 2T=(0,1,0,1), 3T= (1, 0, 0, 1)的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得: k1=k2=k3=0. 131223000kkkkkk 所以 1, 2, 3線性無關(guān). 例例3 3 討論向量組 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得: k1=2k2=

10、2k3. 比如取k1=2, 則有2 1+ 2 3=0 0 13123123+20+3k02k30kkkkkk 所以 1, 2, 3線性相關(guān). 顯然, 一個向量 組成的向量組線性相關(guān) =0 0 向量組 1, 2, , s線性相關(guān) x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解. (稱此向量組為n n 維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組)例例4 4 討論n 維向量組0011e201,.,0 e100ne的線性相關(guān)性. 解解 設(shè)k1e e1+k2e e2+ +kne en=0 0, 即所以, 向量組 e e1,e e2, ,e en線性無關(guān). (k1, , k2, , ,kn)=0 0, 所以 k1=k

11、2=kn=0 n 維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組 e e1,e e2, ,e en是線性無關(guān)的, 而且對任意n維向量 T=(a1,a2,an), 都有 =a1e e1+a2e e2+ane en例例5 5 k1( 1+ 2)+k2( 2+ 3)+k3( 3+ 1)=0 0就是 (k1+k3) 1+(k1+k2) 2+(k2+k3) 3=0 0所以所以向量組 1, 2, 3線性無關(guān). 解得: k1=k2=k3=0 已知向量組 1, 2, 3線性無關(guān), 1= 1+ 2, 2= 2+ 3, 3= 3+ 1, 討論向量組 1, 2, 3 的線性相關(guān)性. 解 設(shè) k1 1+k2 2+k3 3=0 0 , 即13122

12、3+0+00kkkkkk 定義定義3.8 3.8 一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組.由單位向量構(gòu)成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組. 證 設(shè) 1, 2, m是正交向量組,有一組數(shù)k1, k2, km使用 i與上式兩邊做內(nèi)積, 得n維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組e e1, e e2, e en就是一個規(guī)范正交向量組. 定理定理3.1 3.1 正交向量組必線性無關(guān). . k1 1+k2 2 + +km m=0 0由于 i0 0, 所以i, i0, 因此, ki0 (i1, 2,m). ki( i, i )=0所以,向量組 1, 2, m線性無關(guān). 命題命題3.2 3.2 若向量組有一個部分組線性相關(guān), 則此向

13、量組線性相關(guān).所以有: k1 1+k2 2+ +kr r+0 r+1+ +0 s =0 0 推論推論1 1 含有零向量的向量組必線性相關(guān). 證明 不妨設(shè) 1, 2, , r, , s中 1, 2, , r線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,kr, 使: k1 1+k2 2+ +kr r=0.0.而k1,k2 , ,kr,0,0不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關(guān). 推論推論2 2 線性無關(guān)向量組的任一部分組也線性無關(guān).不妨設(shè)k10, 則有: 證明證明 必要性: 設(shè) 1, 2, , s線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,ks, 使: k1 1+k2 2+ +ks s=

14、0.0. 充分性:不妨設(shè) 1可由 2, , s線性表示, 即存在一組數(shù)k2,ks使: 1=k2 2+ +ks s , 于是有 定理定理3.33.3 向量組 1, 2, , s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可被其余向量線性表示.32111skkkskkk 123 1+k2 2+ +ks s =0這里 1 1, k2 , ,ks不全為零, 所以 1, 2, , s線性相關(guān).兩個向量線性相關(guān)的幾何意義是這兩向量共線;三個向量線性相關(guān)的幾何意義是這三向量共面;n個向量線性相關(guān)的幾何意義是它們在一個n-1維空間. 定理定理3.43.4 設(shè)向量組 1, 2, , r線性無關(guān), 而向量組

15、 1, 2, , r, 線性相關(guān), 則 可由 1, 2, , r線性表示,且表示式唯一. 證明證明 由已知, , 存在不全為零的數(shù)k1,k2 , ,kr, l ,使 k1 1+k2 2+ +kr r+l =0 0若l =0, 則k1 1+k2 2+ +kr r=0 0, 矛盾. 所以l 0, 于是若有: =k1 1+k2 2+ +kr r=l1 1+l2 2+ +lr r即, 表示式是唯一的.1212rkkkrlll 則有: (k1 l1) 1+(k2 l2) 2+ +(kr l1) r=0 0所以: k1 l1=k2 l2= =kr l1=0 設(shè)向量組 1, 2, s稱為向量組 1, 2,

16、, s的加長向量組.11211122221212,sssnnsnaaaaaaaaa1112121222121212,ssssnnnsaaaaaaaaabbb 前面加長向量組的概念中只加了一個分量, 而且加在了最后一個分量. 也可以加多個分量, 分量也可以加在任何位置, 都稱為原向量組的加長向量組. 定理定理3.5 3.5 線性無關(guān)向量組的加長向量組也線性無關(guān). 證明 只證明在最后加一個分量的情況, 其它類似.所以有: k1 1+k2 2+ +ks s=0, 故 k1=k2= =kr=0 設(shè) k1 1+k2 2+ks s=0 0 , 即11 1122121 122221 1221 1220000

17、ssssnnnssssa ka ka ka ka ka ka ka ka kbkb kb k所以 1, 2, s 線性無關(guān).3 3 向量組的秩向量組的秩 向量組間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì): 設(shè)有兩個向量組分別為: (): : 1, 2, , r ; (): : 1, 2, s. 定義定義3.9 3.9 若向量組()中的每個向量都可以由向量組 ()線性表示, 則稱向量組()可由向量組()線性表示; 若向量組()和向量組()可以互相線性表示, 則稱向量組()和向量組()等價. ()反身性: 任何向量組都與自身等價; ()傳遞性: 若()與()等價, ()與()等價, 則() 與()也等價. ()對稱

18、性: 若()與()等價, 則()與()也等價; 證 先正交化 顯然, 列向量組 1, 2, , r可由列向量組 1, 2, s線性表示的充分必要條件是: 存在sr矩陣C, 使 ( 1, 2, , r )=( 1, 2, s )C 定理定理3.6 3.6 如果向量組 1, 2, , m線性無關(guān), 則有規(guī)范正交向量組e1, e2, em與之等價. 1 = 1, ,1222111 , = - , 111,01222111 , = - , 32333222,1111 , , = - - , , 再將 1, 2, m單位化, 取1222111,|mmm11 = = = 則 1, 2, m就是所求規(guī)范正交

19、向量組. 上述由線性無關(guān)向量組 1, 2, m,得到正交向量組 1, 2, m的方法稱為Schimidt(斯密特)正交化過程.21212211.mmmmmmmmm1111 , , , = , , , 例例3.63.6 求一個與向量組 1(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 3)T, 3 =(2, 1, 2)T等價的規(guī)范正交向量組。 解解 先將向量組 1, 2, 3正交化, 令 1 = 1(1, 1, 1)T,1112122 ，11136321101222321113133 ，1012011133212121再將向量組 1, 2, 3規(guī)范化, 即取,3/13/13/1|1111 ,2/102

20、/12 .6/162/6/13 定義定義3.10 3.10 若實方陣A A滿足AAAAT=E E, 則稱A A是正交矩陣. 1, 2, 3就是與向量組 1, 2, 3等價的規(guī)范正交向量組. 若記 A A=( 1, 2, , n)，則有n21n21 ，TTTTAAnn2n1nn22212n12111 TTTTTTTTT可見, A ATA A=E E的充分必要條件是:注意: i iT j j=a1ia1j+a2ia2j+anianj= i i, j jji0ji1ijji， T 所以說, n階實矩陣A是正交矩陣A的行(列)向量組是規(guī)范正交向量組. 例如, 下列矩陣都是正交矩陣:cossin,sin

21、cos112211221000,012212213212 () 1, 2, , r線性無關(guān); () 1, 2, , r, 線性相關(guān)( 是向量組中任一向量). 定義定義3.11 3.11 若向量組中的某個部分組 1, 2, , r,滿足:則稱 1, 2, , r是此向量組的一個極大線性無關(guān)向量組，簡稱為極大無關(guān)組. 例例3.7 3.7 求向量組 1=(1,0,0)T, 2=(0,1,0)T, 3=(0,0,1)T, 4=(1,1,1)T的一個極大線性無關(guān)組. 所以 1, 2, 3就是向量組 1, 2, 3, 4的一個極大線性無關(guān)組. 解 由于 1, 2, 3線性無關(guān), 而且 4= 1+ 2+ 3

22、 類似地, 1, 3, 4和 2, 3, 4都是向量組 1, 2, 3, 4的極大線性無關(guān)組. 所以 1, 2, 4也是向量組 1, 2, 3, 4的一個極大線性無關(guān)組. 由于 1, 2, 4也線性無關(guān), 而且 3= 4 1 2 定理定理3.7 3.7 向量組與它的任一極大線性無關(guān)組等價. 可見, 一個向量組的極大線性無關(guān)組是不唯一的. 推論推論 向量組中任意兩個極大線性無關(guān)組等價.時(其中A是矩陣), 有A A=0 0 證明 設(shè)A=(aij)rs , 則有 引理引理 若列向量組 1, 2, r線性無關(guān), 則當(dāng)由于 1, 2, r線性無關(guān), 所以aij=0, 即A A=0 0. ( 1, 2,

23、 r)A A=0 011121s21222s12r12rr1r2rsaaaaaa, A= ,aaa0rrrj1jj2jjsjj=1j=1j=1a ,a ,.,a 證明設(shè)向量組 1, 2, r和 1, 2, s 等價且都線性無關(guān)，則存在sr矩陣A和rs矩陣B, 使 ( 1, 2, r)=( 1, 2, s )A A 定理定理3.83.8 等價的線性無關(guān)向量組含有相同個數(shù)的向量.由引理有： BABA=E Er , 同理有ABAB=E Es ( 1, 2, s )=( 1, 2, r)B于是有 ( 1, 2, r)= ( 1, 2, r)BA A即 ( 1, 2, r)(EBA A)=0=0所以，A

24、 A, B B是方陣，即rs 推論推論 一向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的.易知，向量組 1, 2, s線性無關(guān)R 1, 2, s=s. 若一向量組的所有向量都是零向量，規(guī)定其秩為0. 向量組 1, 2, s的秩記為：R 1, 2, s 定義定義3.123.12 一向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù), 稱為向量組的秩. 或記為：rank 1, 2, s例7中向量組 1, 2, 3, 4的秩R 1, 2, 3, 4=3. 定理定理3.93.9 若向量組 1, 2, s可由向量組 1, 2, t 線性表示，則 推論推論2 2 向量組 1, 2, p線性無關(guān), 且可由向量組 1, 2,

25、 q 線性表示，則pq. 推論推論1 1 等價的向量組具有相等的秩R 1, 2, sR 1, 2, t 證明 記極大線性無關(guān)組為: 1, 2, p和 1, 2, q 則：向量組 1, 2, p可由 1, 2, q 線性表示，于是 1, 2, q是向量組 1, 2, p, 1, 2, q 的極大線性無關(guān)組. 再由 1, 2, p線性無關(guān)知pq. 推論推論3 3 向量組 1, 2, p可由向量組 1, 2, q 線性表示，且pq, 則向量組 1, 2, p線性相關(guān). 推論推論4 4 任意n+1個n維向量線性相關(guān).4 4 矩陣的秩矩陣的秩 第二章指出, 任意矩陣都與標(biāo)準(zhǔn)形 等價, r就是矩陣A的秩,

26、 但由于r的唯一性沒有證明, 因此用另一種說法給出矩陣秩的定義. 定義定義3.13 3.13 在矩陣A mn中, 任選k個行與k個列(km, kn), 位于這k行, k列交叉處的k2個元素, 按原相互位置關(guān)系所形成的k階行列式稱為A的一個k階子式 一個mn矩陣的k階子式共有 個. OOOErknkmCC 定義定義3.14 3.14 設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且A的所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0, 那么D稱為矩陣A的最高階非零子式, r稱為矩陣A的秩, 記為R(A). 并且規(guī)定零矩陣的秩等于0. 由于R(A)就是A的最高階非零子式D的階數(shù), 所以 若A有某個s階子式不等于

27、0，則R(A)s； 若A的所有t階子式全等于0，則R(A)t; 對任意mn矩陣A都有: 0R(A)minm, n; 對任意矩陣A都有: R(AT)=R(A). 對n階方陣A, 由于只有一個n階子式|A|, 所以|A|0 時, R(A)=n; |A|=0時, R(A)n. 即An可逆R(An)=n. 所以, 可逆矩陣也稱為滿秩矩陣, 不可逆矩陣(奇異矩陣)也稱為降秩矩陣. 例例3.83.8 求下列矩陣的秩.解由于|A|=0, 但所以, R(A)=2.由于B的所有四階子式全為0, 但00000340005123014132,013112231BA, 01231, 0400130432所以, R(B

28、)=3.可見, 階梯矩陣的秩等于非零行行數(shù). 定理定理3.103.10 初等變換不改變矩陣的秩. 證明證明 設(shè)R(A)=r, 且D是A的某個r階非零子式.如果 或 , 則在B中一定能找到與D對應(yīng)的r階子式D1滿足D1=D或D1=-D或D1=kD, 所以D10, 故R(B)r. BAjirr BAirk 如果 , 若D中不包含A的第i行, 則D也是B的r階非零子式, 所以, R(B)r. BAjikrr 若D中包含A的第i行和第j行, 則B中對應(yīng)D的r階子式D1=D0, 所以, R(B)r. 若D中包含A的第i行不含第j行, 則B中對應(yīng)D的r階子式D1=D+D2, D2也是B的r階子式, 而D1

29、、D2至少有一個不等于零, 所以, R(B)r. 所以, 對A作一次初等變換變成B時有R(B)R(A).由于初等變換是可逆的, B也可以作一次初等變換變成A, 所以R(A)R(B), 因此, R(A)=R(B). 由于對矩陣做一次初等行變換矩陣的秩不變, 所以, 對矩陣做有限次初等行變換矩陣的秩也不變. 如果對A作一次初等列變換變成B, 則對AT作一次初等行變換變成BT, 所以R(AT)=R(BT), 于是R(A)=R(B). 推論推論 若AB, 則R(A)=R(B).這就給我們提供了求一般矩陣秩的有效方法解解例3.9 求矩陣 的秩.12134132102113218562A121340114

30、403136064961213401144002151800215181213401144002151800000故R(A)=3.1213413210,2113218562A 上述結(jié)果對分塊矩陣也是成立的，即：對分塊矩陣做分塊矩陣的初等變換不改變分塊矩陣的秩. 例例3.103.10 證明：R(AB) minR(A), R(B) 證明證明 由于 R(AB)=R(AB O)R(AB A)=R(O A)=R(A).所以, )()(21AOAABBcc BOBABArr21)()(BRBORBABROABRABR即，R(AB) minR(A), R(B). 向量組的秩和矩陣的秩有如下重要關(guān)系 . 定理定理3.11 3.11 矩陣的秩等于矩陣的行向量組的秩也等于矩陣的列向量組的秩. 證明證明 由于矩陣A可經(jīng)過初等行變換變成行最簡形矩陣B, 所以A與B的行向量組等價, 易見, 行最簡形矩陣的秩等于其行向量組的秩. 又由于等價向量組的秩相等