第5章控制系統(tǒng)的頻域

1、第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析內(nèi) 容 提 要 頻率特性是研究控制系統(tǒng)的一種工程方法，應(yīng)用頻率特性可間接地分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。頻域分析法的突出優(yōu)點(diǎn)是可以通過實(shí)驗(yàn)直接求得頻率特性來分析系統(tǒng)的品質(zhì)，應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)可以得出定性和定量的結(jié)論，并具有明顯的物理含義，頻域法分析系統(tǒng)可利用曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 時域分析法是分析控制系統(tǒng)的直接方法，比較直觀、精確。頻域分析法，是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)的間接方法。 頻域分析法是一種圖解分析法。它依據(jù)系統(tǒng)的又一種數(shù)學(xué)模型頻率特性，對系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性進(jìn)行

2、分析。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 頻域分析法的特點(diǎn)是可以根據(jù)開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能較方便地分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而進(jìn)一步提出改善系統(tǒng)性能的途徑。此外，除了一些超低頻的熱工系統(tǒng)，頻率特性都可以方便地由實(shí)驗(yàn)確定。頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)。在線性定常系統(tǒng)中，頻率特性與輸入正弦信號的幅值和相位無關(guān)。但是，這種方法也可以有條件地推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析v 5.1 頻率特性 v 5.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 v 5.3 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性v 5.4 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)v 5.5 控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 v 5

3、.6 用頻率特性分析系統(tǒng)品質(zhì) v小 結(jié) 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5.1.1 頻率特性概述 設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入信號為r(t)，輸出信號c(t)，如圖5-1所示。 圖中，G(s)為系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)。 即 (nm) （5-1） nnnnmmmmasasasbsbsbsbsRsCsG 1111110)()()(圖5-1 線性定常系統(tǒng)圖5-1 線性定常系統(tǒng)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 若在系統(tǒng)輸入端作用一正弦信號，即 r(t)=Rsint （5-2） 系統(tǒng)輸出C(s)為 （5-3） 22)(sRsR)()()(sRsGsC第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)

4、的頻域分析設(shè)傳遞函數(shù)G(s)可表示成極點(diǎn)形式 （5-4） -p1、-p2 -pn為G(s)的極點(diǎn)，其可以為實(shí) 數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，并且假定其均在根平面的左半平面，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。nnnnmmmmasasasbsbsbsbsNsMsG 1111110)()()(niipssM1)()(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析由式(5-3)及(5-4)得輸出為 （5-5） 式中 , , , , 為待定系數(shù)，由留數(shù)定理求得221)()()(sRpsSMsCniiniiipscjsajsa1211a2a1c2cnc第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析)(2)()(lim221jGjRs

5、RsGjsajs)(2)()(lim222jGjRsRsGjsajs22)()(limsRsGpscipsii由拉普拉斯反變換得輸出響應(yīng)nitpitjtjieceaeatc1 21)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 對于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)t時， （i=1,2,n）均隨時間衰減至零。此時系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為: （5-6） 和 為共軛復(fù)數(shù)，可表示為tpietjtjsseaeatc 2 1)(1a2a)(1)(2)(2jGjejGjRjGjRa)(2)(2)(2jGjejGjRjGjRa第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析則 （5-7）式中 ，tjjGjtjjGjsseejGj

6、ReejGjRtc)()()(2)(2)(jeejGRjGtjjGtj2)()()()(sin)(jGtjGR)sin(tC)(jGRC )(jG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 式（5-7）表明，線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將是與輸入信號同頻率的正弦信號，僅僅是幅值和相位不同，幅值為式中 ，相位 ，均是頻率的函數(shù)。 定義定義 線性定常系統(tǒng)在正弦信號作用下，穩(wěn)態(tài)輸出的復(fù)變量與輸入的復(fù)變量之比稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為G(j) （5-8） 其中穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值之比稱為系統(tǒng)的)(jGR)(jG)()()(jRjCRCjGss第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的

7、頻域分析)()(jGRCA幅頻特性，記為A()，即 （5-9） 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差稱為系統(tǒng)的相頻特性，記為 ()，即 ()=G(j) （5-10） 則頻率特性為： G(j)= A() 頻率特性還可表示為 G(j)=p()+j()式中 p()為G(j)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性； ()為G(j)的虛部，稱為虛頻特性。)(je第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析顯然有 （5-11） 需要指出，當(dāng)輸入為非正弦的周期信號時，其輸入可利用傅立葉級數(shù)展開成正弦波的疊加，其輸出為相應(yīng)的正弦波的疊加。此時系統(tǒng)頻率特性定義為系統(tǒng)輸出量的傅氏變換與輸入量的傅氏變換之比。 )()()()()()()(si

8、n)()()(cos)()(22parctgpAAAp第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 5.1.2 頻率特性的求取第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析js1)(TsKsGTjarctgeTKTjKjG2)(11)(2222111)(TTKjTKTjKjG 由上頁分析可知，頻率特性G(j)是傳遞函數(shù)的模型變換，即將傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s換成純虛數(shù)j就得到系統(tǒng)的頻率特性。 G(j)=G(s) （5-12）例5-1 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為解：令s=j得系統(tǒng)的頻率特性 或第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性: 相頻特性: 實(shí)頻特性: 虛頻特性: 幅頻特性和相

9、頻特性隨變化的曲線如圖5-2所示。2)(1)(TKATarctg)(221)(TKp221)(TKT第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-2 A()和()曲線 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 與時域響應(yīng)中衡量系統(tǒng)性能采用時域性能指標(biāo)類似，頻率特性在數(shù)值上和曲線形狀上的特點(diǎn)，常用頻域性能指標(biāo)來衡量，它們在很大程度上能夠間接地表明系統(tǒng)動、靜態(tài)特性。 系統(tǒng)的頻率特性曲線如圖5-3所示。1. 諧振頻率 是幅頻特性A()出現(xiàn)最大值時所對應(yīng)的頻率；2. 諧振峰值 指幅頻特性的最大值。 值大，表明系統(tǒng)對頻率的正弦信號反映強(qiáng)烈，即系統(tǒng)的平穩(wěn)性差，階躍響應(yīng)的超調(diào)量越大；rrMr

10、M 5.1.35.1.3 頻域性能指標(biāo)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-3 頻率特性曲線 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析3. 頻帶 指幅頻特性A()的幅值衰減到起始值的0.707倍所對應(yīng)的頻率。 大，系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)快速變化信號的能力強(qiáng)、失真小。即系統(tǒng)的快速性好，階躍響應(yīng)的上升時間短，調(diào)節(jié)時間短；4. A(0)指零頻(=0)時的幅值。A(0)表示系統(tǒng)階躍響應(yīng)的終值，A(0)與1相差的大小，反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，A(0)越接近于1，系統(tǒng)的精度越高。bb第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5.2.1 概述 作為一種圖解分析系統(tǒng)的方法，頻率特性曲線常采用三種

11、表示形式，即極坐標(biāo)圖、對數(shù)坐標(biāo)圖，對數(shù)幅相圖。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析1. 極坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖(乃奎斯特圖或乃氏圖或乃奎斯特圖或乃氏圖或Nyquist圖圖) 系統(tǒng)頻率特性可表示為 用一向量表示某一頻率 下的 向量的長度 ，向量極坐標(biāo)角為 ， 的正方向取為逆時針方向，選極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)重合，極坐標(biāo)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。 如圖5-4所示。 )()()(jeAjGi)(ijG)(iA)(i)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-4 極坐標(biāo)圖 頻率特性G(j)是輸入頻率的復(fù)變函數(shù)，是一種變換，當(dāng)頻率由0時，G(j)變化的曲線(即向量端點(diǎn)軌跡)就稱為極坐標(biāo)圖。 極坐標(biāo)

12、圖在 時，在實(shí)軸上的投影為實(shí)頻特性 ，在虛軸上的投影為虛頻特性 。i)(ip)(i第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析2. 對數(shù)坐標(biāo)圖對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖圖) Bode圖由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩張圖組成。 對 數(shù) 幅 頻 特 性 是 頻 率 特 性 的 對 數(shù) 值L()=20lgA ()（dB）與頻率的關(guān)系曲線；對數(shù)相頻特性是頻率特性的相角 (度)與頻率的關(guān)系曲線。 如圖5-5所示。)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-5 Bode圖坐標(biāo)系 對數(shù)幅頻特性的縱軸為L()=20lgA()采用線性分度，A()每增加10倍，L()增加20dB；橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度

13、，即橫軸上的取對數(shù)后為等分點(diǎn)。 對數(shù)相頻特性橫軸采用對數(shù)分度，縱軸為線性分度，單位為度。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析軸采用對數(shù)分度具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）可以擴(kuò)大頻率視野，有利于分析有效頻率范圍 的系統(tǒng)特性。（2）可將向量的相乘轉(zhuǎn)化為相加。)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA )(.)()(2121)()()(njneAAA n個環(huán)節(jié)串聯(lián) （5-13）第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析)()()(lg20)(lg20)(21nAAAjGL )(lg20)(lg20)(lg2021nAAA )()()(21

14、nLLL )()()()()()(21njG （5-14）對數(shù)相頻特性 為 （5-15）而對數(shù)幅頻特性L()為（3）對數(shù)幅頻特性曲線可用漸近線表示。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析3. 對數(shù)幅相圖對數(shù)幅相圖 對數(shù)幅相圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩張圖，在角頻率為參變量的情況下合成一張圖，如圖5-6所示。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 控制系統(tǒng)由若干典型環(huán)節(jié)組成，常見的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié) K，積分環(huán)節(jié) ,慣性環(huán)節(jié) ，比例微分環(huán)節(jié) 1+s，微分環(huán)節(jié)s，振蕩環(huán)節(jié) ，滯后環(huán)節(jié) 等。 下面分別討論典型環(huán)節(jié)的頻率特性。s111Ts12122TssTse 5.2.2 典型

15、環(huán)節(jié)的頻率特性第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析ssG1)(211)(jejjG1)(A2)(lg20)(lg20)(AL1. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 對數(shù)幅頻特性：極坐標(biāo)圖如圖5-7所示。Bode圖如圖5-8所示。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-7 積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖圖5-8 積分環(huán)節(jié)的Bode圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 11)(TssGTjarctgeTTjjG2)(1111)(2222111TTjT2211)(TA

16、第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析相頻特性： 實(shí)頻特性： 虛頻特性： 對數(shù)幅頻特性：對數(shù)相頻特性：極坐標(biāo)圖如圖5-9所示。 Tarctg)(2211)(Tp221)(TT221lg20)(lg20)(TALTarctg)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-9 慣性環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 Bode圖如圖5-10所示。 首先分析對數(shù)幅頻特性曲線的大致形狀。（1）當(dāng) 時，對數(shù)幅頻特性可近似為 dB（2）當(dāng) 時，對數(shù)幅頻特性可近似為 T101lg20)(22TLT1TTLlg201lg20)(22（3）當(dāng) 時，T10)(L第第5章

17、章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-10 慣性環(huán)節(jié)的Bode圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線近似為兩段直線。兩直線相交，交點(diǎn)處頻率 ，稱為轉(zhuǎn)折頻率。 兩直線實(shí)際上是對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，故又稱為對數(shù)幅頻特性漸近線。 用漸近線代替對數(shù)幅頻特性曲線，最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率處，即 處。 T1T1第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析誤差為 dB TLLL1)()()(漸01. 3log201log2022TT 在高于轉(zhuǎn)折頻率一個倍頻處，即 的誤差為 dBT2)()()(漸LLL97. 0lg201lg2022TT第第5章章 控制系

18、統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 誤差曲線如圖5-11所示。圖5-11 慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線Tarctan)(由于對數(shù)相頻是T的反正切函數(shù)，所以對數(shù)相頻特性對 這一點(diǎn)是斜對稱的。由對數(shù)幅頻特性可以看出，慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性，能夠較好的復(fù)現(xiàn)緩慢變化的輸入信號。)4,1(T第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析3. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=s 頻率特性： 幅頻特性：相頻特性： 對數(shù)幅頻特性：極坐標(biāo)圖如圖5-12所示。Bode圖如圖5-13所示。2 )(jejjG)(A2)(lg20)(l

19、g20)(AL第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-12 純微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖圖5-13 純微分環(huán)節(jié)的Bode圖 與積分環(huán)節(jié)相比較，微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，二者的 曲線以零分貝線互為鏡像。 同理，比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖互為鏡像。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析4. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 121)(22TssTsG12)(1)(2TjTjjG2222)2()1 (1)(TTA2212)(TTarctg第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析實(shí)頻特性： 虛頻特性： 對數(shù)幅頻特性：222

20、222)2()1 (1)(TTTp2222)2()1 (2)(TTT2222)2()1 (lg20)(lg20)(TTAL第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析由幅頻特性和相頻特性可見由幅頻特性和相頻特性可見, 振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線的振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線的準(zhǔn)確形狀準(zhǔn)確形狀, 與阻尼比與阻尼比的值有關(guān)的值有關(guān), 下面僅討論下面僅討論10情況情況0時時0)0(, 1)0(A與與取值無關(guān)取值無關(guān), 曲線總曲線總是從是從(1,j0)點(diǎn)開始點(diǎn)開始. 當(dāng)當(dāng)nT /1時時2/)/1 (,2/1)/1 (TTA,曲線與負(fù)虛軸相交曲線與負(fù)虛軸相交, 交點(diǎn)處交點(diǎn)處的頻率的頻率nT /1,交點(diǎn)離坐

21、標(biāo)原點(diǎn)的距離即交點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離即)/1 (TA隨隨而變化而變化,越大模越小越大模越小, 反之越大反之越大, 當(dāng)當(dāng)時時,)(, 0)(A,曲線與負(fù)實(shí)軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)曲線與負(fù)實(shí)軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn). 隨隨的不同的不同, 振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線有一簇振蕩環(huán)節(jié)幅相頻率特性曲線有一簇.如圖如圖5-14所示。 的曲線形狀。的曲線形狀。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析由上圖可見由上圖可見, 當(dāng)當(dāng)小于某一個數(shù)值時小于某一個數(shù)值時,)(A有一個大于有一個大于)0(A(在此在此1)0(A)的峰值的峰值,)(A為峰值時的頻率叫諧為峰值時的頻率叫諧振頻率振頻率, 用用r表示表示, 并定義并定義)0(

22、/ )(AAMrr為諧振峰為諧振峰值值, 下面推導(dǎo)下面推導(dǎo)r與與n和和間的關(guān)系間的關(guān)系, 為此對為此對)(A關(guān)于關(guān)于求一次導(dǎo)求一次導(dǎo), 并令其導(dǎo)函數(shù)為零并令其導(dǎo)函數(shù)為零, 有有:0)2()1 ()2()1 (2)(2/322222222TTTTTddA圖5-14 振蕩環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析由上式看出由上式看出, 當(dāng)當(dāng)2222211, 02)1 (TTr707. 02/2時時0r, 說明說明)(A的峰值出現(xiàn)在的峰值出現(xiàn)在0處處,當(dāng)當(dāng)707.0時時,r為虛數(shù)為虛數(shù),說明說明r不存在不存在,)(A的最大值也出現(xiàn)在的最大值也出現(xiàn)在0處處, 在上述情在上述情況下況下

23、, 隨著隨著從從)(,0A的數(shù)值單調(diào)減小的數(shù)值單調(diào)減小. 但應(yīng)但應(yīng)指出指出, 雖然當(dāng)雖然當(dāng)1707. 0時時, 從極坐標(biāo)圖上反映不出從極坐標(biāo)圖上反映不出峰值峰值, 但對于階躍響應(yīng)但對于階躍響應(yīng), 仍是振蕩性質(zhì)的仍是振蕩性質(zhì)的, 具有超調(diào)量具有超調(diào)量但這種振蕩特性具有良好的阻尼特性但這種振蕩特性具有良好的阻尼特性.當(dāng)當(dāng)707. 00時時,221nr, 小于欠阻尼小于欠阻尼時的振蕩頻率時的振蕩頻率21nd, 將將r代入代入)(A得得:2sin1sincos21121)(2rA因?yàn)橐驗(yàn)?)0(A, 所以所以)(rrAM第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-15(a) 二階振蕩環(huán)節(jié)的B

24、ode圖 代代入入r)(可得可得:221arcsin221)(arctgr由由)(rA及及)(r可見可見, 當(dāng)當(dāng)0時時,2/)(,)(,1rrrAT第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 用漸近線代替實(shí)際對數(shù)幅頻特性也會帶來誤差，常按 的大小來修正漸近線。二階振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線如圖5-15(b)所示。 圖5-15(b) 二階振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5. 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=K頻率特性：幅頻特性：相頻特性： 對數(shù)幅頻特性： 對數(shù)幅頻特性為一水平線，相頻特性與橫坐標(biāo)重合。比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖為一點(diǎn)。諸圖如圖5-1

25、6所示。KjG)(KA)(0)(KALlg20)(lg20)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-16 比例環(huán)節(jié)頻率特性 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析6. 滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 式中 滯后時間頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 對數(shù)幅頻特性： 極坐標(biāo)圖為一單位圓，如圖5-17所示。Bode圖 如圖5-18所示。sesG)(jejG)(1)(A)(3 .57)()(raddBAL 0)(lg20)(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-18 滯后環(huán)節(jié)的Bode圖圖5-17 的極坐標(biāo)圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域

26、分析 5.3.1 系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性 對n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 其頻率特性: (5-18)()()()(21jGjGjGjGn )()(2)(1)()()(21njnjjeAeAeA nijiniieA1)(1)()()()()(21sGsGsGsGn 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)開環(huán)的對數(shù)幅頻特性: (5-19) 開環(huán)相頻特性: (5-20) 由此看出，系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性之和；系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性 等于各個環(huán)節(jié)相頻特性之和。 )(lg20)(lg20)(1niiAALniiA1)(lg20niiL1)(niijG1

27、)()()()(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例5-2 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制開環(huán)對數(shù)頻率特性。解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)由5個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成：) 12 . 0)(11 . 0() 105. 0(100)(sssssG)2 . 01)(1 . 01 ()05. 01 (100)(jjjjjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析比例環(huán)節(jié) dB積分環(huán)節(jié) 對數(shù)幅頻特性漸近線在 時穿越0dB線，其斜率為-20dB/dec。100)(1jG 40100lg20)(1L0)(1jjG1)(2lg20)(2L90)(21第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析1 .

28、011)(3jjG23)1 . 0(1lg20)(L1 . 0)(3arctg1310srad)(3)4 ,(3慣性環(huán)節(jié) 轉(zhuǎn)折頻率 ，對數(shù)幅頻特性漸近線曲線在轉(zhuǎn)折頻率前為0dB線，轉(zhuǎn)折頻率后為一條斜率為-20dB/dec的直線。 對稱于點(diǎn) 。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析慣性環(huán)節(jié) 轉(zhuǎn)折頻率 ，對數(shù)幅頻特性漸近線類似于 ，相頻特性類似于 。12 . 01)(4jjG24)2 . 0(1lg20)(L2 . 0)(4arctg1452 . 01srad)(3L)(3第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析比例微分環(huán)節(jié) 轉(zhuǎn)折頻率 ，對數(shù)幅頻特性漸近線在 之前為0分貝線，在

29、 之后為一條斜率為20dB/dec的直線。05. 01)(5jjG25)05. 0(1lg20)(L05. 0)(5arctg152005. 01srad1520srad5第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 相頻特性 在轉(zhuǎn)折頻率處為45，低頻段為0，高頻段為90，且曲線對稱于點(diǎn) 。 將以上幾個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性漸近線和相頻特性曲線繪制出，在同一頻率下相加即得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性漸近線及相頻特性，如圖5-19所示。 )(5)45 ,(5圖5-19 例 5-2的Bode圖 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的步驟：1. 將開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)闀r間

30、常數(shù)形式，即2. 按照=1/T求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標(biāo)在Bode圖的軸上。3. 過=1,L()=20lgK點(diǎn)作一條斜率為-20 dB/dec的直線，直到第一個轉(zhuǎn)折頻率，或者過 ，L()=0點(diǎn)作一條斜率為-20 dB/dec的直線，直到第一個轉(zhuǎn)折頻率，以上直線作為對數(shù)幅頻特性的低頻段。niimjjsTssKsG11) 1() 1()(K第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析4. L()的低頻段向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，按環(huán)節(jié)性質(zhì)改變一次漸近線的斜率。5. 在各轉(zhuǎn)折頻率附近利用誤差曲線進(jìn)行修正，得精確曲線。 系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性可以由各環(huán)節(jié)相頻特性疊加的方法繪制。第第5章章 控制系

31、統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例5-3 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性。解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 系統(tǒng)由5個典型環(huán)節(jié)組成: 轉(zhuǎn)折頻率 ；且 時L()=20lgK=20dB 或 L()=0作對數(shù)幅頻特性漸近線。 過=1，L()=20dB或=10，L()=0dB作一條斜率為-20dB/dec直線作為低頻段直線； ) 12 . 0)(11 . 0() 101. 0(10)(sssssG)2 . 01)(1 . 01 ()01. 01 (10)(jjjjjG100 ,10 , 5321110K第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 過第一個轉(zhuǎn)折頻率 后，特性斜率按環(huán)節(jié)性質(zhì)變化，對數(shù)

32、幅頻特性漸近線，如圖5-20所示。 在各轉(zhuǎn)折頻率附近按誤差曲線加以修正，得對數(shù)幅頻特性的精確曲線，如圖5-20虛線所示。51圖5-20 例5-3對數(shù)頻率特性 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 在s右半平面上既無極點(diǎn)，又無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。當(dāng)控制系統(tǒng)中包含有純滯后環(huán)節(jié)或存在不穩(wěn)定的小回環(huán)時，都是非最小相位系統(tǒng)。 設(shè)有兩個系統(tǒng)(a)和(b)，其傳遞函數(shù) 11)(12sTsTsGa0 11)(2112TTsTsTsGb5.3.2 最小相位和非最小相位系統(tǒng)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)

33、的頻域分析零、極點(diǎn)分布如圖5-24所示。兩系統(tǒng)的頻率特性分別為 圖5-24 (a)和(b)系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖 11)(12TjTjjGa 11)(12TjTjjGb第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析2122)(1lg20)(1lg20)(TTLa12)(TarctgTarctga2122)(1lg20)(1lg20)(TTLb12)(TarctgTarctgb)()(ba對數(shù)頻率特性分別為 （a）和（b）系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性相同，而相頻特性不同，且 。如圖5-25所示。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-25 (a)和(b)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性第第5章章 控制系統(tǒng)的頻

34、域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 表5-1 最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對應(yīng)關(guān)系j19001800Tj1112)(122TjjT)90(0m1jniijT1) 1(1900 )90(0nmiij1) 1(19090環(huán) 節(jié)幅 頻相 頻-20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20dB/dec0dB/dec-40dB/dec0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 根據(jù)最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)，即系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性有相同的變化趨勢，我們可以根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線確定最小相位系統(tǒng)

35、的開環(huán)傳遞函數(shù)。步驟：（1）確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)v和比例值K。對數(shù)幅頻特性低頻段斜率為-20vdB/dec，低頻段或其延長線在=1時，對應(yīng)的對數(shù)幅值L()=20lgK；或 時，L()=0。（2）確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式。從低頻到高頻對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化和轉(zhuǎn)折頻率的大小為所含環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)（斜率變化-20dB/dec，對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；斜率變化-40dB/dec，對應(yīng)重慣性環(huán)節(jié)，或二階振蕩環(huán)節(jié)；斜率變化20dB/dec，對應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)；斜率變化40dB/dec，對應(yīng)重比例微分環(huán)節(jié)或二階比例微分環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)折頻率的倒數(shù)即為時間常數(shù)。）（3）由給定條件確定傳遞函數(shù)的參數(shù)。

36、vK第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖5-21所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為: G(s)H(s) 開環(huán)頻率特性為: G(j)H(j) 在繪制開環(huán)極坐標(biāo)曲線時，可將G(j)H(j) 寫成實(shí)頻和虛頻形式G(j)H(j) = p() + j()圖5-21 反饋控制系統(tǒng)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析或?qū)懗蓸O坐標(biāo)形式 給出不同的，計算相應(yīng)的p()、()或A()和 ，即可得出極坐標(biāo)圖中相應(yīng)的點(diǎn)，當(dāng)由0變化時，用光滑曲線連接就可得到系統(tǒng)的極坐標(biāo)曲線，又稱為乃氏曲線（Nyquist曲線）。作圖步驟見P143。例5-4 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖。 )(

37、)()()(jeAjHjG)() 11 . 0)(1 (10)()(sssHsG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性由0變化時，找?guī)讉€特殊點(diǎn)： 起始點(diǎn) 終止點(diǎn) 與虛軸交點(diǎn)極坐標(biāo)圖如圖所示。)1 . 01)(1 (1 . 110)1 . 01)(1 ()1 . 01 (10 )1 . 01)(1 (10)()(222222jjjjHjGj0-10)G(j 0j0-0)G(j j2.87-0)G(j 10第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例5-5 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制其系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖。解 系統(tǒng)開環(huán)頻率

38、特性seTssG11)()(2)(11 11)(TarctgjjeTeTjjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性相頻特性G(j)的幅值隨增大而單調(diào)減小，=0時，A()=1為最大值，=時A()=0；而其相角 隨增大而向負(fù)無限大方向增加，極坐標(biāo)圖為一螺旋線。如圖5-23所示。2)(11)(TATarctg)()(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例5-5的極坐標(biāo)圖第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 本節(jié)介紹另一種重要且實(shí)用的方法乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，是由H. Nyquist于1932年提出的 。 這一判據(jù)是利用開環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性（乃

39、氏圖），來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的理論基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)理論中的幅角定理，也稱映射定理。 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析)()()()(sNsMsHsG)()(1)()(sHsGsGs)()()()()(1)(sNsMsNsHsGsF 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 (5-21)N(s)和M(s)分別為s的n階和m階多項式。閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (5-22)特征多項式函數(shù) (5-23)5.4.1 映射定理第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 式（5-23）中，s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=+j來表示。F (s)為復(fù)變函數(shù)，以F (s)復(fù)平

40、面上的F (s)= u+j v表示。點(diǎn)映射關(guān)系，如圖5-26所示。s平面與F(s)平面的曲線映射關(guān)系，如圖5-27所示。 圖5-26 點(diǎn)映射關(guān)系圖5-27 s平面與F(s)平面的映射關(guān)系第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 如果在s平面上任取一條封閉曲線Cs，且要求Cs曲線滿足下列條件: (1)曲線Cs不通過F (s)的奇點(diǎn)（即F (s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）； (2)曲線Cs包圍F (s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)。 s平面上的封閉曲線Cs如圖5-28所示。復(fù)變函數(shù)F (s)，當(dāng)s1 （封閉曲線Cs上任一點(diǎn) ）沿閉合曲線Cs順時針轉(zhuǎn)動一圈時，其矢量總的相角增量 njiniipszssF11)(

41、)()(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 (5-24) 式中，P和Z分別是被封閉曲線Cs包圍的特征方程函數(shù)F (s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。式（5-24）表明，當(dāng)s平面上的試驗(yàn)點(diǎn)s1沿封閉曲線Cs順時針方向繞行一圈時，F(xiàn)（s）平面上對應(yīng)的封閉曲線將按逆時針方向包圍坐標(biāo)原（P-Z）圈。如圖5-28所示。nPjjPjjnZiiZiipspszszs1111)()()()(2)()2()2(ZPPZ第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 令 N=P-ZN=P-Z (5-25) 式中，NF (s)平面上封閉曲線 包圍原點(diǎn)的次數(shù)；式(5-25)也可寫成 Z Z= =P P- -N N

42、 (5-26) sC圖5-28 映射關(guān)系第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析聯(lián)系起來，適當(dāng)選擇s平面的封閉曲線Cs。如圖5-29所示，它是由整個虛軸和半徑為的右半圓組成，試驗(yàn)點(diǎn)按順時針方向移動一圈，該封閉曲線稱為Nyquist軌跡。 Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。 圖圖5-29 5-29 s平面上的平面上的Nyquist軌跡軌跡5.4.2 Nyquist軌跡及其映射第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 Nyquist軌跡Cs由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動，試驗(yàn)點(diǎn)s=j在整個虛軸

43、上的移動，在F 平面上的映射就是曲線F(j) (由-+)，如圖5-30所示。 F(j)=1+G(j)H(j) （5-27） Nyquist軌跡Cs的另一部分為s平面上半徑為的右半圓，映射到F 平面上為 F ()=1+G ()H () 根據(jù)映射定理可得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(j)，(從-+)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖圖5-30 5-30 F F 平面上的平面上的NyquistNyquist曲線曲線 逆時針包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)N為 N=P-Z （5-28） 式中，Z位于右半平面F (s)=1+G (s) H (s)的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)； P位于

44、右半平面F(s) =1+ G (s) H (s)的極點(diǎn)數(shù)，即開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)； NNyquist曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面。即 Z=0 或 N=P。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.3 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)一 當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面的原點(diǎn)及虛軸上無極點(diǎn)時，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表示為：當(dāng)從-+變化時的Nyquist曲線G(j)H(j)，逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)N，等于系統(tǒng)G(s)H(s)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N=P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則(NP)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 由Nyquist曲線

45、G(j)H(j) (從0+)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的Nyquist判據(jù)為G(j)H(j)曲線(：0+)逆時針包圍(-1，j0)的次數(shù)為 。 2P第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-31 例5-6的極坐標(biāo)圖例5-6 已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖5-31所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到由-+變化時，G(j) H(j)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即N=0，Z=P-N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例5-7 單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

46、。 解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 作出=0+變化時G(j)H(j)曲線如圖5-3 2 所 示 ， 鏡 像 對 稱 得 ： - 0 變 化 時G(j)H(j) 如圖5-32虛線所示。 系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有一個位于s平面的右極點(diǎn)，即P=1。 1)(TsKsG22)(1)(11)(TTKjTKTjKjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-32 例5-7的極坐標(biāo)圖 從G(j)H(j)曲線看出，當(dāng)K1時，Nyquist曲線逆時針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=1，Z=N-P=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)K1時，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N-P=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)

47、系統(tǒng)有一個右極點(diǎn)。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.4 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)二 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 （5-29） 式中 開環(huán)傳遞函數(shù)中位于原點(diǎn)的極點(diǎn)個數(shù)。Nyquist軌跡的修正如圖5-33所示，它由四部分組成：1. 以原點(diǎn)為圓心,以無限大為半徑的大半圓； 2. 由-j到j(luò)0-的負(fù)虛軸；niimjjsTssKsHsG11) 1() 1()()(第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析3. 由j0+沿正虛軸到+j；4. 以原點(diǎn)圓心，以 ( 0)為半徑的從j0-到j(luò)0+的小半圓。 位于無限小半圓上的點(diǎn)S可表示為：22-從jes 代入開環(huán)傳遞函數(shù)，得：jvjvvee

48、KsHsG)()( 上式表明，s平面上的原點(diǎn)附近的無限小半圓映射到G(s)H(s)平面上，為無限大半徑的圓弧，該圓弧的角度從=0-開始，順時針方向轉(zhuǎn)過v角度到=0+終止。這段圓弧稱為Nyquist封閉線或輔助圓。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-33 繞過原點(diǎn)的Nyquist軌跡 考慮s平面上有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的個極點(diǎn)，Nyquist曲線穩(wěn)定判據(jù)為： 當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有個極點(diǎn)位于s平面坐標(biāo)原點(diǎn)時，第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析如果增補(bǔ)開環(huán)頻率特性曲線G(j)H(j)（從-+）逆時針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù) N 等于系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù) P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,

49、否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-8 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 系統(tǒng)的頻率特性為) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG )1)(1 ()()(21TjTjjKjHjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析)(1)(1 )1 ()(1)(1 )(2221221222121TTTTKjTTTTK 作出=0+變化時G(j)H(j)的曲線如圖5-34所示，根據(jù)鏡像對稱得=-0-變化時G(j)H(j)的曲線，如圖5-34所示，從=0-到=0+以無限大為半徑順時針轉(zhuǎn)過，得封閉曲線(或輔助圓)，如圖5-34所示。 圖5-34 例5-8的極坐標(biāo)曲線第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系

50、統(tǒng)的頻域分析 從圖5-34看出：當(dāng)由-+變化時，當(dāng) 時，G(j)H(j) (從-+)曲線順時針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)右 極點(diǎn)個數(shù) Z=P- -N=2 2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點(diǎn)。 當(dāng) 時，G(j)H(j) (從-+)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng) 時，G(j)H(j) (從-+)曲線穿越( -1，j0 )點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 。12121 TTTKT12121 TTTKT12121 TTTKT第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析臨界放大倍數(shù) 應(yīng)用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是看開環(huán)頻率特性

51、曲線對負(fù)實(shí)軸上(-1, -)區(qū)段的穿越情況。穿越伴隨著相角增加故稱之為正穿越，記作N+，穿越伴隨著相角減小，稱為負(fù)穿越，記作N-，如圖5-35所示。 由此，Nyquist判據(jù)可描述為： 當(dāng)由-+變化時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線在負(fù)實(shí)軸上(-1，-)區(qū)段的正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越次數(shù)N-之差等于開環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù)P時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定2121TTTTK臨 N+- -N-=P （5-30）第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析圖5-35 頻率特性曲線第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5.4.55.4.5 Nyquist對數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 對數(shù)幅相頻率特性的穩(wěn)定判據(jù)，實(shí)際上是Nyquist

52、穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，即利用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而Bode圖又可通過實(shí)驗(yàn)獲得，因此在工程上獲得了廣泛的應(yīng)用。 Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系，如圖5-36所示。 采用對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）時，Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可表述為: 當(dāng)由0+變化時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析性曲線L()0的頻段內(nèi)，相頻特性曲線對 -180線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2 （P為s平面右半平面開環(huán)極點(diǎn)數(shù)），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。圖5-36 Nyquist圖和Bode圖的對應(yīng)關(guān)系第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析例

53、5-9 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 作出系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖5-37(a)所示， 輔助圓如圖中虛線所示。系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖)如圖5-37(b)所示，極坐標(biāo)圖中的輔助圓，幅值為無窮大，相角由 對應(yīng)于圖5-37(b)中虛線。 由圖5-37可知，N+-N-=-1，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)右極點(diǎn)個數(shù)Z=2(P-N)=2。且從圖中可以看出，不論K如) 1(10)()(2ssKsHsG1800第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析何變化，開環(huán)頻率特性上的穿越次數(shù)卻不變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，表明系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。圖5-37 例5-9的

54、開環(huán)頻率特性第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析5. 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則v開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高v開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低，這就是通常所說的相對穩(wěn)定性v通過乃氏曲線對點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來度量其定量表示為相角裕量和增益裕度Kg 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析v意義：增益裕度用于表示G(j)H(j)曲線在負(fù)實(shí)軸上相對于(-1,j0)點(diǎn)的

55、靠近程度v定義：G(j)H(j)曲線與負(fù)實(shí)軸交于G點(diǎn)時，G點(diǎn)的頻率g稱為相位穿越頻率，此時g處的相角為-180，幅值為|G(jg)H(jg)|，開環(huán)頻率特性幅值|G(jg)H(jg)|的倒數(shù)稱為增益裕度(或幅值裕度)，用Kg表示 。見下圖(a)第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析（a） 最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b） 對數(shù)頻率特性第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析v表示： 式中g(shù)滿足下式G (jg) H(jg)= -180 增益裕度用分貝數(shù)來表示: Kg=-20lg|G(jg)H(jg)|dB 見上圖（b）)()(1gggjHjGK第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析

56、控制系統(tǒng)的頻域分析v應(yīng)用： 對于最小相位系統(tǒng) 當(dāng)|G(jg)H(jg)|1或20lg|G(jg)H(jg)|1或20lg|G(jg)H(jg)|0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 當(dāng)|G(jg)H(jg)|=1或20lg|G(jg)H(jg)|=0時，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 對于開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那么為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，G(j)H(j)曲線應(yīng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，此時 Kg=-20lg |G(jg)H(jg)|0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定v結(jié)論 增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)。 對于一階和二階系統(tǒng)，由于其開環(huán)相角特性永遠(yuǎn)不可能達(dá)到-180，所以其幅值

57、裕度為無窮大。第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析v意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念v引入c：c稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(j)H(j)與單位圓相交于c點(diǎn)，c點(diǎn)處的頻率為c。此時|G(jc)H(jc)|=1v定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角 ，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為)()()()(180ccccjHjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析v應(yīng)用： 相角裕量 為增益穿越頻率c處相角 與 -180線之距離 對于最小相位系統(tǒng) 當(dāng)0時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 當(dāng)0時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計和分析控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性 第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析 對于最小相位系統(tǒng)求取對于最小相位系統(tǒng)求取 時，應(yīng)該將復(fù)雜傳遞函數(shù)分解成多個典型環(huán)時，應(yīng)該將復(fù)雜傳遞函數(shù)分解成多個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)。節(jié)串聯(lián)。 如果按照定義寫成虛部除以實(shí)部的形式，如果按照定義寫成虛部除以實(shí)部的形式，則要按照其象限位置減去滯后的相角。則要按照其象限位置減去滯后的相角。 )()()(cccjHjG第第5章章 控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的頻域分析主要內(nèi)容 v閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時域性能指標(biāo)的關(guān)系 v