第四章.立體表面交線

1、第 4 章 立體表面的交線 4.1 4.1 立體表面的截交線立體表面的截交線 4.2 4.2 立體表面的相貫線立體表面的相貫線 本章小結本章小結結束放映結束放映 用平面與立體相交，截去體的一部分用平面與立體相交，截去體的一部分 截切截切。 截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截交線截交線。 用以截切立體的平面用以截切立體的平面截平面截平面。4.1 4.1 立體表面的截交線立體表面的截交線截交線的性質：截交線的性質： 封閉性：截交線為封閉的平面圖形封閉性：截交線為封閉的平面圖形 共有性：既在截平面上，又在共有性：既在截平面上，又在立體表面上，是共有線，截交線立體表面上，是共有線，截交線上

2、的點均為共有點上的點均為共有點結論結論： 求截交線就是求共有點和線求截交線就是求共有點和線 求截交線的兩種方法：求截交線的兩種方法： 求各棱線與截平面的交點求各棱線與截平面的交點棱線法棱線法。 求各棱面與截平面的交線求各棱面與截平面的交線棱面法棱面法。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 截平面與體的相對位置截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置截平面與投影面的相對位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性確定截交確定截交線的形狀線的形狀 空間及投影分析空間及投影分析 畫出截交線的投影畫出截交線的投影 分別求出截平面與棱面的交分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。線，并連接成多邊

3、形。一、平面體表面的截交線一、平面體表面的截交線 截交線的每條邊是截交線的每條邊是截平面與棱面的交線截平面與棱面的交線。 截交線是一個由直線組成的截交線是一個由直線組成的封閉的平封閉的平 面多邊形面多邊形。交線的形狀？交線的形狀？截平面與體的截平面與體的幾個棱面相交？幾個棱面相交？ 投影分析投影分析例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。 空間分析空間分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 1

4、2 24 4 3 3 截交線在俯、截交線在俯、左視圖上的形左視圖上的形狀？狀？例例1 1：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。我們采用的是我們采用的是哪種解題方法？哪種解題方法？棱線法！棱線法！ 注意：注意： 要逐個截平面分析和要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交為整體被截切，求出截交線后再取局部。線后再取局部。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 三面共點：三面共點： 、兩

5、點分兩點分別同時位于三個面別同時位于三個面上。上。例例2 2：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。：求四棱錐被截切后的俯視圖和左視圖。1 1 8 8 8 8例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯視圖。截切后的俯視圖。P 截交線的形狀？截交線的形狀？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交線的投影截交線的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 4 4 5 5 求截交線求截交線1 15 54 47 76 63 32 2分析棱線的分析棱線的投影投影檢查截交檢查截交線的投影線的投影例例3:3:求八棱柱被平面求八棱柱被平面P P截切后的俯視圖。截切后的

6、俯視圖。222 211例例4:4:求作俯視圖。求作俯視圖。1 12 2側垂面?zhèn)却姑嬲姑嬲姑? 1222 2111 1例例4:4:求作俯視圖。求作俯視圖。1 12 2 截交線是截平面與回轉體表面的截交線是截平面與回轉體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉體表面的形狀及 截平面與回轉體軸線的相對位置截平面與回轉體軸線的相對位置。 求截交線的方法：求截交線的方法：求截平面與回轉體表面的共有點求截平面與回轉體表面的共有點。 求截交線的步驟：求截交線的步驟： 空間及投影分析空間及投影分析 分析回轉體的形狀以及截平面與回轉體軸線的分析回轉體的形狀以及截平面與

7、回轉體軸線的 相對位置，以相對位置，以確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 分析截平面及回轉體與投影面的相對位置，分析截平面及回轉體與投影面的相對位置，明明 確確截交線的投影特性截交線的投影特性，如積聚性、類似性等。，如積聚性、類似性等。 找出找出截交線的截交線的已知已知投影，投影，予見未知予見未知投影。投影。二、回轉體的截交線二、回轉體的截交線 畫出截交線的投影畫出截交線的投影當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為： 將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可將各點光滑地連接起來，并判斷截交線的可 見性。見性。 先找特殊點，再補充中間點先找特殊點，再補充

8、中間點。 圓柱體表面的截交線圓柱體表面的截交線 截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截截平面與圓柱面的交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對位置。平面與圓柱軸線的相對位置。垂直垂直圓圓橢圓橢圓平行平行兩平行直線兩平行直線傾斜傾斜截交線的已知投影？截交線的已知投影？例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投影截交線的側面投截交線的側面投影是什么形狀？影是什么形狀？截交線的截交線的空間形狀？空間形狀？ 例例4 4：求左視圖：求左視圖找特殊點找特殊點找中間點找中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓素線的投影分析輪廓素線的投

9、影例例5 5：求左視圖：求左視圖例例5 5：求左視圖：求左視圖例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截交線的形狀截交線的形狀截交線的投影特性截交線的投影特性解題步驟：解題步驟： 同一立體被多同一立體被多個平面截切，要逐個平面截切，要逐個截平面進行截交個截平面進行截交線的分析和作圖。線的分析和作圖。例例1 1：求左視圖：求左視圖空間及投影分析空間及投影分析求截交線求截交線分析圓柱體輪廓素線的投影分析圓柱體輪廓素線的投影截交線的形狀截交線的形狀截交線的投影特性截交線的投影特性解題步驟：解題步驟：例例2 2：求左視圖

10、：求左視圖例例2 2：求左視圖：求左視圖分析、比較分析、比較例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例3 3：求俯視圖：求俯視圖例例4 4：求俯視圖：求俯視圖例例4 4：求俯視圖：求俯視圖分析、比較分析、比較 橢圓的長、橢圓的長、短軸隨截平面與短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的圓柱軸線夾角的變化而改變。變化而改變。什么情況下什么情況下投影為圓呢？投影為圓呢？截平面與圓柱截平面與圓柱軸線成軸線成4545時。時。4545 =90=90 90900 0 圓錐體表面的截交線圓錐體表面的截交線過錐頂過錐頂兩相交直線兩相交直線圓圓橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線 根據截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截平根據截平面與圓錐

11、軸線的相對位置不同，截平面與圓錐面的交線有五種形狀。面與圓錐面的交線有五種形狀。dcecadb例例1:1:圓錐被正平面截切，補全主視圖。圓錐被正平面截切，補全主視圖。EDCABba截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？截交線截交線的投影的投影特性？特性？e例例2:2:圓錐被正垂面截切，求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。截交線截交線的空間的空間形狀？形狀？截交線截交線的投影的投影特性？特性？找特殊點找特殊點如何找橢圓另如何找橢圓另一根軸的端點？一根軸的端點？補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影例例2:2:圓錐被正垂面截切，

12、求圓錐被正垂面截切，求 截交線，并完成三視圖。截交線，并完成三視圖。找特殊點找特殊點補充中間點補充中間點光滑連接各點光滑連接各點分析輪廓線的分析輪廓線的 投影投影 圓球表面的截交線圓球表面的截交線 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但，但根據截平面與投影面的相對位置不同，根據截平面與投影面的相對位置不同，其其截交線截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。 水平面與圓球面的水平面與圓球面的交線的投影，在俯視圖交線的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側視上為部分圓弧，在側視圖上積聚為直線。圖上積聚為直線。 兩個側平面與圓球面兩

13、個側平面與圓球面的交線的投影，在側視上的交線的投影，在側視上為部分圓弧，在俯視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。積聚為直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。 圓球表面的截交線圓球表面的截交線 平面與圓球相交，平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓截交線的形狀都是圓，但，但根據截平面與投影面的相對位置不同，根據截平面與投影面的相對位置不同，其其截交線截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。水平面與圓球面的交線水平面與圓球面的交線的投影，在俯視圖上為的投影，在俯視圖上為部分圓弧，在側視圖上部分圓弧，在側視圖上積聚為直線

14、。積聚為直線。 兩個側平面與圓球兩個側平面與圓球面的交線的投影，在側面的交線的投影，在側視圖上為部分圓弧，在視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。俯視圖上積聚為直線。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求半球體截切后的俯視圖和左視圖。例：求作頂尖的俯視圖例：求作頂尖的俯視圖 復合回轉體表面的截交線復合回轉體表面的截交線 首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成的首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成的以及它們的連接關系，以及它們的連接關系，然后然后分別求出這些基本回轉分別求出這些基本回轉體的截交線，并依次將其連接體的截交線，并依次將其連接。 兩立體相交兩立體相交相貫相貫。 兩立體相交表面產

15、生的交線兩立體相交表面產生的交線相貫線相貫線。4.2 4.2 立體表面的相貫線立體表面的相貫線相貫線的主要性質：相貫線的主要性質： 求相貫線的作圖實質是找出相貫的兩求相貫線的作圖實質是找出相貫的兩立體表面的若干立體表面的若干共有點共有點的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相貫線位于兩立體的表面上。相貫線位于兩立體的表面上。相貫線是相貫線是兩立體表面的共有線兩立體表面的共有線。 封閉性封閉性 相貫線一般是相貫線一般是封閉的空間折封閉的空間折線線（通常由直線和曲線組成）（通常由直線和曲線組成）或或空間曲線空間曲線。 相貫線是相貫線是由若干段平面曲由若干段平面曲 線或直線組成的線或直線組成的

16、空間折線空間折線， 每一段是平面體的棱面與每一段是平面體的棱面與 回轉體表面的交線回轉體表面的交線。一、平面體與回轉體相貫一、平面體與回轉體相貫 求相貫線的步驟：求相貫線的步驟： 分析各棱面與回轉體表面的相對分析各棱面與回轉體表面的相對 位置，從而確定交線的形狀。位置，從而確定交線的形狀。 求出各棱面與回轉體表面的截交線。求出各棱面與回轉體表面的截交線。 連接各段交線，并判斷可見性。連接各段交線，并判斷可見性。 求交線的實質是求交線的實質是求各棱面求各棱面 與回轉面的截交線。與回轉面的截交線。例例1 1：補全主視圖：補全主視圖 空間分析：空間分析： 四四棱柱的四個棱面分別與棱柱的四個棱面分別與

17、圓柱面相交，前后兩棱面與圓圓柱面相交，前后兩棱面與圓柱軸線平行，其交線為兩段直柱軸線平行，其交線為兩段直線；左右兩棱面與圓柱軸線垂線；左右兩棱面與圓柱軸線垂直，其交線為兩段圓弧。直，其交線為兩段圓弧。投影分析：投影分析： 由于相貫線是兩立體表由于相貫線是兩立體表面的共有線，所以相貫線的面的共有線，所以相貫線的側面投影積聚在一段圓弧上，側面投影積聚在一段圓弧上，水平投影積聚在矩形上。水平投影積聚在矩形上。例例1：補全主視圖：補全主視圖例例2 2：求作主視圖：求作主視圖空間及投影分析空間及投影分析求相貫線求相貫線分析輪廓線分析輪廓線 的投影的投影例例2 2：求作主視圖：求作主視圖 相貫線一般為光滑

18、封閉的空相貫線一般為光滑封閉的空 間曲線間曲線，它是兩回轉體表面它是兩回轉體表面 的共有線的共有線。二、回轉體與回轉體相貫二、回轉體與回轉體相貫 作圖方法作圖方法 表面取點法表面取點法 輔助平面法輔助平面法 先找特殊點。先找特殊點。 作圖過程作圖過程 補充中間點。補充中間點。確定交線的確定交線的彎曲趨勢彎曲趨勢確定交線確定交線的范圍的范圍例例1 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。 空間及投影分析：空間及投影分析： 小圓柱軸線垂直于小圓柱軸線垂直于H面，水平面，水平投影積聚為圓，根據相貫線的共有投影積聚為圓，根據相貫線的共有性，相貫線的水平投影積聚在該圓性，相貫線的

19、水平投影積聚在該圓上。大圓柱軸線垂直于上。大圓柱軸線垂直于W面，側面面，側面投影積聚為圓，相貫線的側面投影投影積聚為圓，相貫線的側面投影應積聚在該圓上，為兩圓柱面共有應積聚在該圓上，為兩圓柱面共有的一段圓弧。的一段圓弧。求相貫線的投影：求相貫線的投影： 利用積聚性，采用利用積聚性，采用表面取點法。表面取點法。 找特殊點找特殊點 補充中間點補充中間點 光滑連接光滑連接例例1 1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。討論：討論： 相貫線的產生：相貫線的產生：兩外表兩外表 面相交面相交一外表面與一外表面與 一內表面相交一內表面相交兩內表兩內表 面相交面相交 兩圓柱直徑的變化對相

20、貫線的影響兩圓柱直徑的變化對相貫線的影響交線為兩條平面交線為兩條平面曲線（橢圓）曲線（橢圓）交線向大圓柱一側彎交線向大圓柱一側彎例例2 2：補全主視圖：補全主視圖 外形交線外形交線 兩外表面相貫兩外表面相貫 一內表面和一外表面相貫一內表面和一外表面相貫 內形交線內形交線 兩內表面相貫兩內表面相貫例例2 2：補全主視圖：補全主視圖 無輪是兩外表面相貫，無輪是兩外表面相貫，還是一內表面和一外表面還是一內表面和一外表面相貫，或者兩內表面相貫，相貫，或者兩內表面相貫，求相貫線的方法和思路是求相貫線的方法和思路是相同的。相同的。小小 結：結：例例3 3：求主視圖：求主視圖相切處無線相切處無線 外表面與外

21、表外表面與外表面相貫，內表面與面相貫，內表面與內表面相貫。分別內表面相貫。分別求其相貫線。求其相貫線。例例3 3：求主視圖：求主視圖例例4 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 空間及投影分析：空間及投影分析： 相貫線為一相貫線為一光滑的封閉的空間曲線光滑的封閉的空間曲線。它的側。它的側面投影有積聚性，正面投影、水平投影沒有積聚面投影有積聚性，正面投影、水平投影沒有積聚性，應分別求出。性，應分別求出。 解題方法：解題方法：輔助平面法輔助平面法 輔助平面法：輔助平面法： 根據根據三面共點三面共點的原理，利用輔助平面求出兩回的原理，利用輔助平面求出兩回轉體表面

22、上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影。轉體表面上的若干共有點，從而畫出相貫線的投影。 作圖步驟：作圖步驟： 輔助平面的選擇原則：輔助平面的選擇原則： 使使輔助平面與兩回轉體輔助平面與兩回轉體表面的表面的交線的投影簡交線的投影簡單易畫單易畫，例如直線或圓。，例如直線或圓。一般選擇一般選擇投影面平行面投影面平行面。 作輔助平面與相貫的兩立體相交作輔助平面與相貫的兩立體相交 分別求出輔助平面與相貫的兩立體表面的交線分別求出輔助平面與相貫的兩立體表面的交線 求出交線的交點（即相貫線上的點）求出交線的交點（即相貫線上的點）例例4 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。

23、 假想用水平面假想用水平面P P截切立體截切立體,P,P面與圓柱面的交線面與圓柱面的交線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線為兩條直線，與圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點即為相貫線上的點。的交點即為相貫線上的點。P例例4 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 解題步驟：解題步驟： 求特殊點求特殊點 用輔助平面法求用輔助平面法求 中間點中間點 光滑連接各點光滑連接各點例例4 4：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 解題步驟：解題步驟： 求特殊點求特殊點 用輔助平面法求用輔助平面法求 中間點中間點 光滑連接各點光滑連

24、接各點123例例5 5：補全主視圖：補全主視圖 這是一個多體相這是一個多體相貫的例子，首先分析貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組它是由哪些基本體組成的，這些基本體是成的，這些基本體是如何相貫的，如何相貫的，然后然后分分別進行相貫線的分析別進行相貫線的分析與作圖。與作圖。2與3例例5 5：補全主視圖：補全主視圖 作圖時要抓住作圖時要抓住一個關鍵點，相貫一個關鍵點，相貫線匯交于這一點。線匯交于這一點。三面共點三面共點例例6 6：求俯視圖：求俯視圖 小小 結結 平面體的截交線一般情況下是由直線組成平面體的截交線一般情況下是由直線組成 的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是

25、截平截平 面與棱面的交線面與棱面的交線。求截交線的方法：求截交線的方法：棱線法棱線法 棱面法棱面法 平面截切回轉體，截交線的形狀取決于截平面截切回轉體，截交線的形狀取決于截 平面與被截立體軸線的相對位置。平面與被截立體軸線的相對位置。截交線是截平面與回轉體表面的截交線是截平面與回轉體表面的共有線共有線。 重點掌握求立體表面的截交線與相貫線的重點掌握求立體表面的截交線與相貫線的作圖方法。作圖方法。一、立體表面的截交線一、立體表面的截交線 當截交線的投影為非圓曲線時，當截交線的投影為非圓曲線時，要要先先找特殊點，再補充中間點找特殊點，再補充中間點，最后光滑連接，最后光滑連接各點。各點。 注意分析平

26、面體的棱線和回轉體輪廓注意分析平面體的棱線和回轉體輪廓素線的投影。素線的投影。分析截平面與被截立體對投影面的相對分析截平面與被截立體對投影面的相對 位置，以位置，以確定截交線的投影特性確定截交線的投影特性。 求截交線求截交線 解題方法與步驟解題方法與步驟 空間及投影分析空間及投影分析分析截平面與被截立體的相對位置，以分析截平面與被截立體的相對位置，以 確定截交線的形狀確定截交線的形狀。 當單體被多個截平面截切時，要當單體被多個截平面截切時，要逐個逐個截截 平面平面進行截交線的分析與作圖進行截交線的分析與作圖。當只有。當只有 局部被截切局部被截切時，先時，先按整體被截切求出截按整體被截切求出截

27、交線交線，然后，然后再取局部再取局部。 求求復合回轉體復合回轉體的截交線，應首先分析復的截交線，應首先分析復 合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它 們的連接關系，然后們的連接關系，然后分別求出分別求出這些這些基本基本 回轉體的截交線回轉體的截交線，并依，并依次將其連接次將其連接。二、立體表面的相貫線二、立體表面的相貫線 求相貫線的基本方法求相貫線的基本方法 相貫線的性質：相貫線的性質：表面性表面性 共有性共有性 封閉性封閉性 解題過程解題過程 空間分析：空間分析： 投影分析：投影分析： 是否有積聚性投影？是否有積聚性投影？找出找出相貫線的相貫線的已知投影已知投影，預見未知投影，預見未知投影，從而從而選擇解題方法。選擇解題方法。面上找點法面上找點法 輔助平面法輔助平面法 分析相交兩立體的表面形狀，分析相交兩立體的表面形狀， 形體大小及形體大小及相對位置，相對位置，預見交線的形狀預見交線的形狀。特殊點包括：最上點、最下點、最左點、特殊點包括：最上點、最下點、最左點、 最右點、最前點、最后點、最右點、最前點、