概率論第七章(浙大第四版)

1、第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計關(guān)鍵詞：矩法估計極大似然估計置信區(qū)間置信水平（置信度）樞軸量參數(shù)：反映總體某方面特征的量I9090901()XXpP X 2設(shè)浙江大學大一學生某學年的微積分 成績服從正態(tài)分布，當時為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率也是一個參數(shù)，它是 和例：的函數(shù)。當總體的參數(shù)未知時，需利用樣本資料對其給出估計參數(shù)估計。3兩類參數(shù)估計方法：點估計和區(qū)間估計1nXXXX設(shè)總體 有未知參數(shù) ，, ,是 的簡單隨機樣本。4111(nnnXXxxxx點估計問題：構(gòu)造合適的統(tǒng)計量, ,)用來估計未知參數(shù) ，稱 為參數(shù) 的點估計量，當給定樣本觀察值 , , 時，稱, ,)為參數(shù) 的點估計值。常用的點估計方法：

2、矩法、極 大似然法7.1 參數(shù)的點估計參數(shù)的點估計：以樣本矩估計總體矩，以樣本矩的函數(shù)估計總體矩統(tǒng)計思想的函數(shù)。5：辛欽大數(shù)定律和依概率收理論根據(jù)斂的性質(zhì)11( ;,kkkF xk1設(shè)總體的分布函數(shù)為, ,)，其中, ,是待估的未知參數(shù)，假定總體的前 階原點矩存在。（一）矩估計法1()( ,),1,iiikE Xhikkk（1）求總體前 階矩關(guān)于 個參數(shù)的函數(shù)61(,),1,iikgikk(2)求各參數(shù)關(guān)于 階矩的反函數(shù)111,kiikkAAg AAik1(3)以樣本各階矩 , ,代替總體各階矩，得各參數(shù)的矩估,計( ,)，基本步驟.iiiiB注：在實際應(yīng)用時，為求解方便，也可以用中心矩代替原

3、點矩 ，相應(yīng)地以樣本中心矩估計7采用的矩不同，得出的參數(shù)估計也不同。采用的矩不同，得出的參數(shù)估計也不同。8 1121010000 0100 00 4000 80 ,.43 . .30 . 4 .5 .14 .99 .1 例 ：設(shè)總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他，為取自 的樣本，求 的矩估計量。若已獲得10的樣本值如下，nXxxfxXXXXn 0 0.98 . 2 求 的矩估計值。 9 11E Xxfx dx 解解：（）1 10 xdx 231XX （）21121 （） 20 36340 3630 32510 363.,.（ ）x 21222( ,11,nXNXXX ：設(shè)總體)，是 的樣本，求下

4、列情況下未知參數(shù)的矩估計。（1） 未知,（2）未知例2，（3）均未知.(),E XX解（1）1122222221()1,()1() 1111niiE XE XE XAXn (2)2思考題：的矩估計還有別的嗎？222211(),()niiD XBXXn有，因為所以說明矩估計不唯一。122222222222(),()()E XE XE XXAXB(3)可以看出，矩估計不涉及分布。1( , ),nXU a babXXab設(shè)總體 服從均勻分布， 和 是未知參數(shù)，樣本，求 和 的例3：矩估計。13212()(),212ababE X解（1）求矩關(guān)于參數(shù)的函數(shù)1412123,3ab(2)求參數(shù)關(guān)于矩的反函

5、數(shù)2121221,()33niiAXBXaXBbXBXnab12=(3)以樣本階矩代替總體矩代替，得參數(shù) 和,=的矩估計極（最）大似然估計的原理介紹極（最）大似然估計的原理介紹考察以下例子： 假設(shè)在一個罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是1:3，但不知道哪種顏色的球多。如果用放回抽樣方法從罐中取5個球，觀察結(jié)果為：黑、白、黑、黑、黑，估計取到黑球的概率p.極極二二 大大似似然然估估計計法法：31,.44pp 解：設(shè)抽到黑球的概率為則本例中，或16 3311.4441024p 4當時，出現(xiàn)本次觀察結(jié)果的概率為 33811.4441024p 4當時，出現(xiàn)本次觀察結(jié)果的概率為38

6、13110241024443.4ppp 由于，因此認為比更有可能， 于是取為更合理17( ; )Xp x一般地，設(shè)離散型總體， 未知。11,nnXXXxx從總體 中取得樣本，其觀察值為，111111,( ),( ; ). (; )( ; ).nnnnnniiXxXxLP XxXxp xp xp x則事件發(fā)生的概率為1( ( ,)max ( ).nLxxL極大似然原理：似然函數(shù)11ML,E)nnxxXX稱（）為 的，相應(yīng)統(tǒng)計量極極大似然估計量（）大似然計為 的估值。,Xf x若總體 為連續(xù)型的，概率密度為， 為未知參數(shù)。 12121,nnniiXXXx xxLf x則對于樣本的觀察值，似然函數(shù)

7、。1( ( ,)max ( ).nLxxL極大似然原理：1912 1.,k 未知參數(shù)可能不是一個，一般設(shè)為說明； 2.0,1,2,., .1,2,., .iiLlnLlnLlnLikik在求的最大值時，通常轉(zhuǎn)換為求：的最大值，稱為對數(shù)似然函數(shù).利用解得 ， 3.iiL若關(guān)于某個是單調(diào)增 減 函數(shù)，此時 的極大似然估計在其邊界取得； 4.gg若 是 的極大似然估計，則的極大似然估計為。 11 01 0 ,0.43 0.01 0.30 0.04 0.54 0.14 0.99 0.18 0.98 0.02 nXxxf xXXXn設(shè)總體 的概率密度為：其他是總體 的樣本，求 的極大似然估計量。若已獲得

8、10的樣本值如下，求 的極大似例4：然估計值。21221 niinlnX的極大似然估計量為： 211111,nniinniiiiLf xxx解：似然函數(shù) 11ln2niinlnLlnx 111ln0 22niidlnLnxd令1lnniinx 即： 0.305的極大似然估計值為：21222( ,11,nXNXXX ：設(shè)總體)，是 的樣本，求下列情況下未知參數(shù)的極大似然估計。（1） 未知,（2）未知例5，（3）均未知.221()()2211( ).22nxxLee解（1）似然函數(shù)2321()212niixne21()1ln ( )ln22niixLnX1ln ( )()0niidLxd22122

9、(1)(1)2222211().22nxxLee（2）似然函數(shù)24221(1)2212niinxe22221(1)1ln ()lnln222niixnLn2211(1)niiXn2222411ln ()(1)022niidnLxd 221()2221( ,)2niinxLe （3）似然函數(shù)2522221()1ln ( ,)lnln222niixnLn 2211,()niiXXXn2222411ln ( ,)()022niinLx 2211ln ( ,)()0niiLx 1( , ),()nXU a babXXabE X設(shè)總體 服從均勻分布，和 是未知參數(shù)，樣本，(1)求 和 的極大似然估計,(

10、2)求的極大例6：似然估計。261,1,., .()( , )0,.inaxb inbaL a b解：(1)似然函數(shù)其他27( , ),ln ( , )0,ln ( , )0.L a babL a bL a bab注意到，似然函數(shù)關(guān)于 單調(diào)增 關(guān)于 單調(diào)減，因此，111,min ,max ,nnnxxaxxbxx另一方面，在得到樣本值后的取值的取值2811min ,max ,( , )nnaxxbxxL a b只要使得 達到最大值達到最小值就能使達到最大。1(1)1( ),min,max,nnna baXXXbXXX所以，的極大似然估計量分別為(1)( )(2) ()2()22nabE XXX

11、abE X的極大似然估計量為 11 , 0 0, , xnXexf xXXX 設(shè)總體 的概率密度為：其它其中是未知參數(shù)為的樣本，求的矩估計與極大似然估例計。7：30 1 解：矩估計 1E Xxfx dx212vv得22()vD XE X21211() 1()niiniiXXnXXXn1xxedx21()xxedx2201()t xttedt 31 2 極大似然估計11,inxiLe 此處不能通過求偏導數(shù)獲得 的極大似然估計量，(1)12,inxxmin x xx故 的取值范圍最大不超過111 ,1,2,., .niixinexin32 2 極大似然估計111,niinxnLeL 注意到，是 的

12、增函數(shù)，取到最大值時， 達到最大。 12110niidlnLnXXd 令 121,nXmin XXX故 1XX 11niilnLnlnX 又,220,3 X123設(shè)總體 的概率分布律為：21-3其中,未知現(xiàn)得到樣本觀測值2，3，2，1，3，求 的矩估計值與極大似然估計8值。例 ：34 1 解：矩估計1kkE Xx p352223 (1 32) 2.2X 0.3212(3)52(3)5X 2 極大似然估計( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.4120,0 ,nXx xx設(shè)總體 服從上的均勻分

13、布，未知， 試由樣本求出 的極大似然估計和 例9：矩估計。37 1 解：極大似然估計 1 0;0 xXf x因 的概率密度為：其它 121 0,0 nnx xxL故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L從義發(fā)以下定出求 120,innxxmax x xx因為故 的取值范圍最小為 1nnLnLxLxL又對的 是減函數(shù)，越小， 越大，故時， 最大； 12,LnnXmax XXX所以 的極大似然估計量為 2 矩估計012E XxdxX由2X7.2 估計量的評選準則 從前一節(jié)看到，對總體的未知參數(shù)可用不從前一節(jié)看到，對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞

14、？同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？四條評價準則：四條評價準則：(1)(1)無偏性準則無偏性準則(2)(2)有效性準則有效性準則(3)(3)均方誤差準則均方誤差準則(4)(4)相合性準則相合性準則 401.無偏性準則 12,nXXXE 定義：若參數(shù) 的估計量滿足則稱 是 無偏的一個估計量。 ,nEliEm E若那么稱為估計量 的若則偏差漸近稱 是 的無偏估計量222222,XE XD XXSB設(shè)總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記(1)證明：樣本均值 和樣本方例差分別是和的無偏估計；（2）判斷：是否為的無1偏估計？是否為的：漸近無偏估計？4312,nXXXX（1）證：因與 同分布，故

15、有：X故 是 的無偏估計.11niiE XEXn11niiE Xn1nn442211()1niiE SEXXn2211()1niiEXn Xn22211nn22S故是的無偏估計.211()1niiEXXn111niiD XnD Xn452212nBSn（ ）22222211()nnE BE SnnB故不是的無偏估計.222221lim()limnnnE BnB故是的漸近無偏估計. .10,2LnXXX檢驗7 節(jié)例9（即總體 服從上的均勻分布）的矩估計量與 例 極大似2然估計量的：無偏性。47 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于與 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的

16、無偏估計48 LnnXX為考察的無偏性，先求的分布，5由第三章第 節(jié)知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxdx LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。 糾偏方法 ,0112,nnnEaba babanXXXn如果 其中是常數(shù)，且則是 的無偏估計。在例 中，取則是 的無偏估計491,nXX無偏性的統(tǒng)計意義是指在大量重復試驗下，由所作的估計值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。2.2.有效性準則有效性準則 221121 ,DD 定義：設(shè)是 的兩個估計， 如果對一切成立， 且不等號至少對某一成立，則稱 比有效。無無偏偏50 112120

17、, ,12, 2nnXUXXXnXXnn設(shè)總體是取自 的樣本，已知 的兩個無偏估計為，判別 與哪個有效例3：時 ？52 22142123DDXnn解： 1 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是 221221 32DDnn n因為比 更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n2()( ).EMse定義：設(shè) 是參數(shù) 的點估計，方差存在，則稱是估計量的均方誤差，記為53()( )MseD若 是 的無偏估計，則有在實際應(yīng)用中，均方誤差準則比無偏性準則更重要.3.均方誤差準則5422SB2：試利用均方誤差準則，對用樣本方差和樣本二階中心矩分別估計正態(tài)總體

18、方差時進例4行評價.55222 (1)/(1).nSn解：根據(jù)第六章抽樣分布定理，在正態(tài)總體下， 224222()().1SMse SD Sn又因是的無偏估計，因此 562222()() Mse BE B而 2 222() ()D BE B222 211() ()nnDSESnn4221nn22221211.nnnnBS當時，有，因此在均方誤差準則下，優(yōu)于4.4.相合性準則相合性準則1,0, 0 nnnnnlimXnPX 設(shè)為參數(shù) 的估計量， 若對于任意，當時， 依概率收斂于 ， 即有：成立， 則 定義：相合估計量或稱為 的一致估計量5711122221()(2), , (1)()12,2,.

19、,2,.,13() ,()kknnlliliniiXkE XkXXXXE XAXlklknBXXSD XnS ：設(shè)總體 的 階例5矩存在 是取自 的樣本，證明：是的相合估計；（ ）是的相合估計；（ ）是的相合估計；(4)是 的相合估計。5911 (),1,2,., .(1)2nliillXnE Xlk證明：由辛欽大數(shù)定律知，依概率收斂到因此，（ ）成立。11111 ,.,.,(,.,)(,.,)(,.,)kkkkkAAgg AAg根據(jù)依概率收斂的性質(zhì)， 由是的相合估計，若是連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計。222122222122222()1()1niiD XBXXAXnnSBSnSS因為，所以是的相

20、合估計，注意到，因此也是的相合估計；是 的相合估計。因此，(3) 和(4)成立。 1120, ,1 2nnXUXXXnXXn：設(shè)總體是取自 的樣本， 證明：和是例6的相合估計。62 12,EE證：0,n 由切比雪夫不等式，當時， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估計。 21,3Dn 222Dn n 222DP同理：2202n n1122.2PPXXX注：證明的相合性可以用辛欽大數(shù)定律，事實上，所以，7.3 區(qū)間估計63111122112, ,nnnXXXXXXX 假設(shè)是總體 的一個樣本， 區(qū)間估計的方法是給出兩個統(tǒng)計量 使區(qū)間以一定的可靠程度蓋住 。641;,01 ,nXF x

21、XXX定義7.3.1：設(shè)總體 的分布函數(shù)含有一個未知參數(shù) ，是總體 的一個樣本，對給定的值LLUUU111L1,1 , ,7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有兩個統(tǒng)計量，使得：LULU,1雙側(cè)置信區(qū)間置則稱隨機區(qū)間是 的；稱為；和分別信度雙側(cè)置信下限雙側(cè)置稱為和信上限。(一）置信區(qū)間的定義65LU), ,100(1)%.n 若反復抽樣多次(各次得到的樣本容量相等，都為每個樣本值確定一個區(qū)間每個這樣的區(qū)間或者包含 的真值 或者不包含 的真值。按伯努里大數(shù)定律，在這些區(qū)間中，包含 真值的約占LULUL1U1(,)(,)1 , , nnPXXXX 如果 的置信區(qū)間，滿足：則置信區(qū)間的含義為0.0

22、5,95%0.01,99%如反復抽樣10000次，當即置信水平為時,10000個區(qū)間中不包含 的真值的約為500個；當即置信水平為時,10000個區(qū)間中不包含 的真值的約為100個。 單側(cè)置信限1L1L7 1,1, 72, nnPXXXX 定義7.3.2 在以上定義中，若將式改為單側(cè)置：則稱為 的信下限。67U1U1,1, 72 73, ,nnPXXXX 又若將式改為：則稱單側(cè)置為 的信上限。n單側(cè)置信限和雙側(cè)置信區(qū)間的關(guān)系：LL1UU1LU,nnXXXX1212設(shè)是參數(shù) 的置信度為1-的單側(cè)置信下限，是參數(shù) 的置信度為1-的單側(cè)置信上限，則（ ，）是參數(shù) 的置信度為1-的雙側(cè)置信區(qū)間。69L

23、UUL,()E定義：稱置信區(qū)間的平均長度為區(qū)間的，并稱二分之一區(qū)間的平均長度為置信區(qū)間的精確度誤差限。 說明：在給定的樣本容量下，置信水平和精確度是相互制約的。LLUUU111L1,1, , 7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有兩個統(tǒng)計量，使得：Neyman原則：原則：在置信度達到一定的前提下，選取精確度盡可能高的區(qū)在置信度達到一定的前提下，選取精確度盡可能高的區(qū)間。間。同等置信區(qū)間：同等置信區(qū)間：71（二）樞軸量法11( ; )(nnXf xXXG XX定義7.3.3：設(shè)總體 有概率密度（或概率分布律），其中 是待估的未知參數(shù)，并設(shè),是來自該總體的樣本，稱樣本和未知參數(shù) 的函數(shù),; )為

24、，如果它的分布不依賴于未知參數(shù) ，且完樞軸量全已知.n樞軸量和統(tǒng)計量的區(qū)別：n（1）樞軸量是樣本和待估參數(shù)的函數(shù)，其分布不依賴于任何未知參數(shù)；n（2）統(tǒng)計量只是樣本的函數(shù)，其分布常常依賴于未知參數(shù)。n思考題：思考題：2122( ,),( ,)()()(1)2()()nXNXXXXNnn Xn XXSn Xn XXS 總體是 的樣本是未知參數(shù)，則，哪個是統(tǒng)計量？（ ）考慮 的置信區(qū)間，哪個是樞軸量？(1)()()()2()()Xn Xn XSn XSXn Xn XX答：是統(tǒng)計量；與含有未知參數(shù)，都不是統(tǒng)計量。（ ）是樞軸量；的分布含有未知參數(shù)，含有除了 以外的其他未知參數(shù) ，所以 ，都不是樞軸量

25、。構(gòu)造置信區(qū)間具體步驟：1(,; )nG XX(1)構(gòu)造一個分布已知的樞軸量；1(2)1(,; )1nabP aG XXb 對連續(xù)型總體和給定的置信度，設(shè)常數(shù)滿足；111(,; ),1nLUnnLUaG XXbXXXX（3）若能從得到等價的不等式那么就是 的置信度為的置信區(qū)間。1(,nG XX樞軸量; )的構(gòu)造，通常從參數(shù)的點估計（如極大似然估計，無偏估計，矩估計等）出發(fā)，根據(jù) 的分布進行改注：造而得.77若步驟（3）中a和b的解不唯一，問：該如何處理？1.ey根據(jù)Nman原則：求a和b使得區(qū)間長度最短；11( (,)( (,)/2nnP G XXaP G XXb2.如果最優(yōu)解不存在或比較復雜

26、，為應(yīng)用的方便，常取a和b滿足：; ); )n正態(tài)總體下常見樞軸量：正態(tài)總體下常見樞軸量：2222( ,)()(0,1)() (1)(1)(1)Nn XNn Xt nSnSn 222正體情形，（已知）的樞軸量：，（未知）的樞軸量：，（ 未知）(1)(1)單單個個態(tài)態(tài)總總221122122212122212122212121212(,),(,)()()(0,1),()() (2)()11wNNXYNnnXYt nnSnn 二正體情形的樞軸量：，（已知）未知(2)(2)個個態(tài)態(tài)總總1222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3 6.8

27、nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnXY 設(shè)樣本和分別來自總體和 并且它們相互獨立，其樣本方差分別為理：時，定則：當121212221122221221111 ,2wwwwt nnSnnnSnSSSSnn其中2211222221111222222212(,),(,)(1,1)NNSF nnS 二正體情形的樞軸量：（ ，未知(2)(2)個個態(tài)態(tài)總總8117721(14).125iiXXXXx1例1：設(shè)某產(chǎn)品的壽命 服從均值為的指數(shù)分布，, ,是來自該總體的樣本，若已經(jīng)證明， 2 并已知小時，試利用樞軸量法推斷該產(chǎn)品平均壽命的范圍（置信水平為0.9）.8272171iiiiXX解：由于2（

28、14），分布已知且與參數(shù) 無關(guān)， 因此可取樞軸量為 2，且有7220.950.0517711220.050.95(14)(14)1(14)(14)iiiiiiPXXXP 2=0.922 即=0.9837711220.050.95(14)(14)iiiiXX 因此該產(chǎn)品平均壽命的置信水平為0.9的置信區(qū)間為22 ， 220.050.95Excel(14)23.685(14)6.571125266.32)x由或查表得 ，并將樣本資料代入上式得 （73.89,90%即有的把握認為該產(chǎn)品平均壽命在73.89小時到266.32小時之間. 7.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 一 單個正態(tài)總體情形2122, 1

29、nXNXXXXXS 設(shè)總體，為來自 的樣本和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區(qū)間 21 已知時,0,1 ,XXNn是 的無偏估計 且有分布完全已知，1(,).nXG XXn因此可取樞軸量為1XabP abn 設(shè)常數(shù)且滿足: 1P XbXann 即等價于 ()/Lban此時區(qū)間的長度為 /2.abz 根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知，取 時，區(qū)間的長度達到最短22,XzXznn從而 的同等 置信區(qū)間為： 1?均值 的置信度的置信下限思題：是什么呢考: Xzn答案88 22 未知時1Xt nSn取樞軸量為，22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即2(1)tn122

30、2(1)tn221 ,1SSXtnXtnnn置信區(qū)間為： 2222,36,15. ,95 116; 2,16;X cmNcmS 例1：設(shè)某種植物的高度服從正態(tài)分布 隨機選取棵 其平均高度為就以下兩種情形 求 的雙側(cè)置信區(qū)間：未知91 36,15,4nX解： 11.961.960.95P XXnn由1.96 41.961513.69336Xn得：1.96 41.961516.30736Xn13.693,16.307的置信區(qū)間為92 2 36,15,16nXS20.0250.025(35)(35)1 0.05SSP XtXtnn 由0.025352.0301t查表得：2.0301 42.0301

31、4 1513.647,1516.35366又：13.647,16.353的置信區(qū)間為 9912求置信度為時 兩種情況下 的置信區(qū)間？ 1 13.333,16.667 2 13.184,16.815答案：94 12比較兩種情形下 的置信區(qū)間：22,16,13.693,16.307已知置信區(qū)間：22,16,13.647,16.353S未知置信區(qū)間：, ,tX S n2但第二種情形更實用,因為多數(shù)時候,未知用 分布求 的置信區(qū)間只依賴于樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計量區(qū)間短區(qū)間長n例 某制藥商對某樣品進行分析, 以確定該樣品中活性成分的含量. 通常情況下，化學分析并不是完全精確的, 對同一個樣本進行重復的測量會得到

32、不同結(jié)果, 重復測量的結(jié)果通常近似服從正態(tài)分布. 根據(jù)經(jīng)驗, 活性成分含量的標準差為0.0068(克/升),假設(shè)化學分析過程沒有系統(tǒng)偏差, 設(shè)活性成分的含量的真值為 對樣品進行三次重復測量結(jié)果如下: 0.8403 0.8333 0.8477. 求真值 的置信水平為95% 的置信區(qū)間.960.0250.8404.0.95xz解 該樣本三次測量的平均值為由置信水平，利Excel或查正態(tài)分布表得=1.96,所以 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為0.0250.025/,/xznxzn（）=（0.8327， 0.8481）n在在Excel中的實現(xiàn)中的實現(xiàn)利用利用AVERAGE函數(shù)求均值，函數(shù)求均值， C

33、ONFIDENCE函數(shù)求方差已知時的誤差限函數(shù)求方差已知時的誤差限.本例的計算步驟如下：本例的計算步驟如下：（1） 將樣本觀察值輸入將樣本觀察值輸入Excel 表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為A1到到A3；（2）下拉菜單）下拉菜單“插入插入”選項卡選項卡單擊單擊“函數(shù)函數(shù)” 選擇選擇“統(tǒng)計統(tǒng)計” 選選”AVERAGE”;（3） 在在“Number1”文本框中輸入文本框中輸入“A1:A3” 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示均值均值為為“0.840433”；（4）重新下拉菜單）重新下拉菜單“插入插入”選項卡選項卡單擊單擊“函數(shù)函數(shù)” 選擇選擇“統(tǒng)計統(tǒng)計” 選選”CONFIDENCE”;

34、（5）在）在“Alpha”文本框中輸入文本框中輸入“0.05”，“Standard-dev”文本框中輸入文本框中輸入“0.0068”,“Size”文本框中輸入文本框中輸入“3”,點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示誤差限誤差限為為“0.007695”；（6） 的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 （0.840433-0.007695 , 0.840433+0.007695） =（0.8327, 0.8481）11(,),(,).nnnX YXY（3）成對數(shù)據(jù)情形例：為考察某種降壓藥的降壓效果，測試了 個高血壓病人在服藥前后的血壓（收縮壓）分別為 100111,nnniiX

35、XXXYYXY由于個人體質(zhì)的差異，不能看成來自同一個正態(tài)總體的樣本，即是相互獨立但不同分布的樣本，也是.另外對同一個個體，和 也是不獨立的.121, ,(,)iiinddDXYinDDN 作差值 , 則取消了個體的差異，僅與降壓藥的作用有關(guān)，因此可以將, ,看成來自同一正態(tài)總體的樣本，且相互獨立。101221/(1)/11,() .,1)DdnDiiDXYSDDS tDnnn的置信水平為的置信區(qū)間為其中ABAB例2： 、 兩種小麥品種分別播種在面積相等的8塊試驗田中，每塊田地 、 品種各播種一半，收獲后8塊試驗田的產(chǎn)量如下:102A: 140, 137, 136, 140, 145,148,

36、140, 135B: 135, 118, 115, 140, 128, 131, 130, 115品種品種0.05假設(shè)兩品種產(chǎn)量的差服從正態(tài)分布，求兩品種平均產(chǎn)量差的置信區(qū)間（）.:51921017171020iiidxy解： 這是成對數(shù)據(jù)問題，由已知計算得 1030.025/213.6257.74572.365(1)/7.149,20.101dDdstDS tnn，查表得（ ），代入公式）中，得所求置信區(qū)間為 （）。n在在Excel中的實現(xiàn)中的實現(xiàn)本例的計算步驟如下：本例的計算步驟如下：（1） 將上述將上述 數(shù)據(jù)值輸入數(shù)據(jù)值輸入Excel 表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為A1到到A8；（

37、2）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸入輸入”=AVERAGE（A1:A8)”; 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示均值均值 為為“13.625”；idd（3）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸入輸入“=STDEV（A1:A8)” 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示樣本樣本標準差標準差 為為“7.744814”；（4）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸入輸入“=TINV（0.05,7）”; 點擊點擊Enter鍵，即顯鍵，即顯 示示分位分位數(shù)數(shù) 為為 “2.364624”； （5）代入公式）代

38、入公式 得所求區(qū)間估計為（得所求區(qū)間估計為（7.149,20.101） ds0.025(7)t/2(1)/DDS tnn10622. 方方差差的的置置信信區(qū)區(qū)間間（設(shè)設(shè) 未未知知）22211nSn取樞軸量為2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區(qū)間為： 22(1)n21212(1)n222212221111nSPnn 有.：上述所求的區(qū)間估計不是最優(yōu)解注1-?2思考題：方差的置信度的置信上限是什么221(1).(1: ) nSn答案22,25,4.25.9599S例3：一個園藝科學家正在培養(yǎng)一個新品種的蘋果這種蘋果除了口感好和顏色鮮艷以外 另一個重

39、要特征是單個重量差異不大。為了評估新蘋果 她隨機挑選了個測試重量 單位：克 其樣本方差為試求的置信度為 和的的置信區(qū)間。10995%解：置信度為時222220.0251 0.025111 0.05nSnSP 220.0250.9752439.4,2412.4;查表得：25 14.2525 14.25 2.59,8.2339.412.4又：2.59,8.232的置信區(qū)間為220.0050.99599%,2445.6,249.89,25 14.2525 14.252.24,10.3145.69.89置信度為時2.24,10.312的置信區(qū)間為1212222121112222211211,11, ,

40、 1.nnnnijijXXXNY YYNXX YYSSnn 來自來自和分別為第一 二個總體的樣本方差 置信度為 二 兩正態(tài)總體情形112121. 的置信區(qū)間 22121 ,已知時22121212,XYNnn由 知，122212120,1XYNnn可取樞軸量為 2212212XYznn置信區(qū)間為： 113 2222122 ,未知1212126.3.4 211wXYt nnSnn此時由定理知，221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中12212112wXYtnnSnn置信區(qū)間為： 114 22123 且未知12nn當樣本量 和 都充分大時(一般要50),根據(jù)中心極限定理得，2212

41、212SSXYznn12則-的近似置信區(qū)間為： 12221212 (0,1).XYNSSnn近似115對于有限小樣本，可以證明1222212122221222112222221212min()(1)(1),knnssnnkssn nn nssSS其中-1,-1) 更精確些的 是的樣本觀察值.12221212 ( ),XYt kSSnn近似1162212212( )SSXYtknn12則-的近似置信區(qū)間為： 11721222. 的置信區(qū)間22121222121,1SSF nn由 2212121222122121,11,11SSP FnnFnn 有 22211122212122221221111,

42、11,1SSPFnnFnnSS 即 12, （設(shè)未知）122(1,1)Fnn211212(1,1)Fnn222112212122212211,1,11,1SSFnnFnnSS置信區(qū)間為： 例4：兩臺機床生產(chǎn)同一個型號的滾珠，從甲機床生產(chǎn)的滾珠中抽取8個，從乙機床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個，測得這些滾珠得直徑(毫米)如下:甲機床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8乙機床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0221122, ,X YXNYN 設(shè)兩機床生產(chǎn)的滾珠直徑分別為且 119 1212121212122112221 0.18,0.24,0.902 0.900.904 ,0.90 求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間；(3) 若且未知， 求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間.1