直線與圓中的最值問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線與圓二、弦長公式:直線與二次曲線相交所得的弦長1直線具有斜率,直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長注:實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.2當(dāng)直線斜率不存在是,則.三、過兩圓C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0和C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0的交點(diǎn)的圓系方程，一般設(shè)為 x2+y2 +D1x +E1y +F1+(x2 + y2 +D2x +E2y+F2) = 0 (為參數(shù))此方程不包括圓C2.四、對(duì)稱問題1和最小，化異側(cè)（兩邊之和大于第三邊，

2、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)即最小值）2差最大，化同側(cè)（兩邊之差小于第三邊，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)即最大值）例題分析1、如果實(shí)數(shù)滿足等式，（1）求的最大值和最小值;（2）求的最大值與最小值；（3）求的最大值與最小值.2、已知兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，當(dāng) 取最小值時(shí)，這個(gè)最小值為（ ）.AB C D3、已知點(diǎn)、，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，求當(dāng)最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】如圖示：,考慮代數(shù)式的幾何意義:即圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最大值和最小值，即取得最大值與最小值；即過圓上點(diǎn)，且斜率為的直線在軸上截距；即圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方. 當(dāng)點(diǎn)位于圓與軸的左交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最??；當(dāng)點(diǎn)位于圓與軸的右交點(diǎn)時(shí)

3、，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大.解（1）設(shè)為圓上一點(diǎn).的幾何意義為直線的斜率，設(shè)，則直線的方程為.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取最大值與最小值.圓心到直線的距離，當(dāng)，即時(shí)，直線與圓相切.的最大值為，最小值為.（2）令，即，求的最大值與最小值即過圓上點(diǎn)，且斜率為的直線在軸上截距的最大值與最小值.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，截距取得最大值與最小值.圓心到直線的距離當(dāng)，即時(shí)，直線與圓相切.的最大值為，最小值為.（3）要的最大值與最小值，即求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方的最大值與最小值.當(dāng)點(diǎn)位于圓與軸的左交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最??；當(dāng)點(diǎn)位于圓與軸的右交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大；左交點(diǎn)坐標(biāo)為，右交點(diǎn)坐標(biāo)為的最大值與最小值分別為，的最

4、大值與最小值分別為，.2【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接和B交直線于點(diǎn)P，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可知，此時(shí)取值最小，最小值為.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得最小值?！窘獯稹咳鐖D示：，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則解得即即的最小值為.3【分析】先求出點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接點(diǎn)A和點(diǎn)交x軸于P點(diǎn)，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊可知，此時(shí)取值最小，最小值為，點(diǎn)的坐標(biāo)即為與軸交點(diǎn)?！窘獯稹咳鐖D示：，點(diǎn)B關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，：與軸交點(diǎn)為 即為所求.直線與圓中的最值問題一、直線與圓的交點(diǎn)問題總是轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離和半徑之間的比較，或者是利用方程有解的問題。例1、若直線與圓(1)相交(2)相切(3)相離分別求實(shí)數(shù)a的取值范圍二、圓上一點(diǎn)到直線距離的最值問題總是轉(zhuǎn)化成求圓心到定直線的距離例2、求圓上的點(diǎn)到的最遠(yuǎn)、最近的距離練習(xí)：求圓C: 上的點(diǎn)與直線 的最大值和最小值.三、有些最值問題要注意向函數(shù)問題轉(zhuǎn)化。例3、方程ax2+ay24（a1）x+4y=0表示圓，求a的取值范圍，并求出其中半徑最