復(fù)習(xí)直線和圓的方程

1、復(fù)習(xí)直線和圓的方程第八章直線和圓的方程高考導(dǎo)航考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望1.在平面直角坐標(biāo)系中 ,結(jié)合具體圖形 ,確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念 ,掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式.3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.4.掌握確定直線位置的幾何要素 ,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式) ,了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式 ,會(huì)求兩條平行線間的距離.7.掌握確定圓的幾何要素 ,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.8.能根據(jù)給定直線、圓的方程 ,判斷直線與圓、圓

2、與圓的位置關(guān)系.9.能用直線和圓的方程解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想.11.了解空間直角坐標(biāo)系 ,會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置 ,會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式. 本章重點(diǎn)：1.傾斜角和斜率的概念;2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直;3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程;4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo);5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法;6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;7.能根據(jù)給定直線 ,圓的方程 ,判斷直線與圓的位置關(guān)系;8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.本章難點(diǎn)：1.直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系;2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系;3.直線方程的應(yīng)用;

3、4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo);5.圓的方程的應(yīng)用;6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用. 本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查.直線和圓的考查 ,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn) ,屬于容易題和中檔題;如果和圓錐曲線一起考查 ,難度比擬大.同時(shí) ,對(duì)空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大 ,一般為選擇題或者填空題.本章知識(shí)點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 ,以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)8.1直線與方程典例精析題型一直線的傾斜角【例1】直線2xcos α-y-3=0 ,α∈π6 ,&p

4、i;3的傾斜角的變化范圍是()A.π6 ,π3 B.π4 ,π3C.π4 ,π2 D.π4 ,2π3【解析】直線2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α ,由于α∈π6 ,π3 ,所以12≤cos α≤32 ,k=2cos α∈1 ,3.設(shè)直線的傾斜角為θ ,那么有t

5、an θ∈1 ,3 ,由于θ∈0 ,π) ,所以θ∈π4 ,π3 ,即傾斜角的變化范圍是π4 ,π3 ,應(yīng)選B.【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時(shí) ,要注意傾斜角的范圍.【變式訓(xùn)練1】M(2m+3 ,m) ,N(m-2,1) ,當(dāng)m∈時(shí) ,直線MN的傾斜角為銳角;當(dāng)m=時(shí) ,直線MN的傾斜角為直角;當(dāng)m∈時(shí) ,直線MN的傾斜角為鈍角.【解析】直線MN的傾斜角為銳角時(shí) ,k=m-12m+

6、3-m+2=m-1m+5>0⇒m<-5或m>1;直線MN的傾斜角為直角時(shí) ,2m+3=m-2⇒m=-5;直線MN的傾斜角為鈍角時(shí) ,k=m-12m+3-m+2=m-1m+5<0⇒-5 題型二直線的斜率【例2】A(-1 ,-5) ,B(3 ,-2) ,直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍 ,求直線l的斜率.【解析】由于A(-1 ,-5) ,B(3 ,-2) ,所以kAB=-2+53+1=34 ,設(shè)直線AB的傾斜角為θ ,那么tan θ=34 ,l

7、的傾斜角為2θ ,tan 2θ= 2tan θ1-tan2θ=2×341-(34)2=247.所以直線l的斜率為247.【點(diǎn)撥】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念 ,應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念 ,扎實(shí)地記住計(jì)算公式 ,傾斜角往往會(huì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起.【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線l的傾斜角 ,且有sin α+cos α=15 ,那么直線l的斜率為()A.34 B.43 C.-43 D.-34或-43【解析】選C.sin &a

8、lpha;+cos α=15⇒sin αcos α=-1225<0⇒sin α=45 ,cos α=-35或cos α=45 ,sin α=-35(舍去) ,故直線l的斜率k=tan α=sin αcos α=-43.題型三直線的方程【例3】求滿足以下條件的直線方程.(1)直線過(guò)點(diǎn)(3,2) ,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等;(2)直線過(guò)點(diǎn)(2,1) ,且

9、原點(diǎn)到直線的距離為2.【解析】(1)當(dāng)截距為0時(shí) ,直線過(guò)原點(diǎn) ,直線方程是2x-3y=0;當(dāng)截距不為0時(shí) ,設(shè)方程為xa+ya=1 ,把(3,2)代入 ,得a=5 ,直線方程為x+y-5=0.故所求直線方程為2x-3y=0或x+y-5=0.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí) ,直線方程x-2=0合題意;當(dāng)斜率存在時(shí) ,那么設(shè)直線方程為y-1=k(x-2) ,即kx-y+1-2k=0 ,所以|1-2k|k2+1=2 ,解得k=-34 ,方程為3x+4y-10=0.故所求直線方程為x-2=0或3x+4y-10=0.【點(diǎn)撥】截距可以為0 ,斜率也可以不存在 ,故均需分情況討論.【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3 ,-

10、4) ,且橫、縱截距互為相反數(shù)的直線方程.【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí) ,設(shè)直線的方程為y=kx.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(3 ,-4) ,所以-4=3k ,得k=-43.此時(shí)直線方程為y=-43x.當(dāng)橫、縱截距都不是0時(shí) ,設(shè)直線的方程為xa+y-a=1 ,因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(3 ,-4) ,所以a=3+4=7.此時(shí)方程為x-y-7=0.綜上 ,所求直線方程為4x+3y=0或x-y-7=0.題型四直線方程與最值問(wèn)題【例4】過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn) ,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,當(dāng)ABO的面積最小時(shí) ,求直線l的方程.【解析】方法一：設(shè)直線方程為xa+yb=1(a>0

11、,b>0) ,由于點(diǎn)P在直線上 ,所以2a+1b=1.2a•1b≤(2a+1b2)2=14 ,當(dāng)2a=1b=12時(shí) ,即a=4 ,b=2時(shí) ,1a•1b取最大值18 ,即SAOB=12ab取最小值4 ,所求的直線方程為x4+y2=1 ,即x+2y-4=0.方法二：設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)(k<0) ,直線與x軸的交點(diǎn)為A(2k-1k ,0) ,直線與y軸的交點(diǎn)為B(0 ,-2k+1) ,由題意知2k-1<0 ,k<0,1-2k>0.SAOB=12(1-2k) &

12、;bull;2k-1k=12(-1k)+(-4k)+4≥122(-1k)•(-4k)+4=4.當(dāng)-1k=-4k ,即k=-12時(shí) ,SAOB有最小值 ,所求的直線方程為y-1=-12(x-2) ,即x+2y-4=0.【點(diǎn)撥】求直線 方程 ,假設(shè)直線過(guò)定點(diǎn) ,一般考慮點(diǎn)斜式;假設(shè)直線過(guò)兩點(diǎn) ,一般考慮兩點(diǎn)式;假設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸相交 ,一般考慮截距式;假設(shè)一條非具體的直線 ,一般考慮一般式.【變式訓(xùn)練4】直線l：mx-(m2+1)y=4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.【解析】由直線l的方程得其斜率k=mm2+1.假設(shè)m=0 ,那么k=0;假

13、設(shè)m>0 ,那么k=1m+1m≤12m•1m=12 ,所以0 假設(shè)m<0 ,那么k=1m+1m=-1-m-1m≥-12(-m)(-1m)=-12 ,所以-12≤k<0.綜上 ,-12≤k≤12.總結(jié)提高1.求斜率一般有兩種類型：其一 ,直線上兩點(diǎn) ,根據(jù)k=y2-y1x2-x1求斜率;其二 ,傾斜角α或α的三角函數(shù)值 ,根據(jù)k=tan α求斜率 ,但要注意斜率不存在時(shí)的情形.2.求傾斜角時(shí) ,要注意直線傾斜

14、角的范圍是0 ,π).3.求直線方程時(shí) ,應(yīng)根據(jù)題目條件 ,選擇適宜的直線方程形式 ,從而使求解過(guò)程簡(jiǎn)單明確.設(shè)直線方程的截距式 ,應(yīng)注意是否漏掉過(guò)原點(diǎn)的直線;設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí) ,應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.8.2 兩條直線的位置關(guān)系典例精析題型一兩直線的交點(diǎn)【例1】假設(shè)三條直線l1：2x+y-3=0 ,l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0 不能構(gòu)成三角形 ,求a的值.【解析】l3l1時(shí) ,-a=-2⇒a=2;l3l2時(shí) ,-a=3⇒a=-3;由 ⇒ 將(-1 ,-1)代入ax+y=0⇒a=-1

15、.綜上 ,a=-1或a=2或a=-3時(shí) ,l1、l2、l3不能構(gòu)成三角形.【點(diǎn)撥】三條直線至少有兩條平行時(shí)或三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形.【變式訓(xùn)練1】?jī)蓷l直線l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交點(diǎn)為P(2,3) ,那么過(guò)A(a1 ,b1) ,B(a2 ,b2)的直線方程是.【解析】由P(2,3)為l1和l2的交點(diǎn)得故A(a1 ,b1) ,B(a2 ,b2)的坐標(biāo)滿足方程2x+3y+1=0 ,即直線2x+3y+1=0必過(guò)A(a1 ,b1) ,B(a2 ,b2)兩點(diǎn).題型二兩直線位置關(guān)系的判斷【例2】?jī)蓷l直線l1：ax-by+4=0和l2：(a-1)x+y+b=0

16、 ,求滿足以下條件的a ,b的值.(1)l1⊥l2 ,且l1過(guò)點(diǎn)(-3 ,-1);(2)l1l2 ,且坐標(biāo)原點(diǎn)到兩條直線的距離相等.【解析】(1)由可得l2的斜率存在 ,所以k2=1-a ,假設(shè)k2=0 ,那么1-a=0 ,即a=1.因?yàn)閘1⊥l2 ,直線l1的斜率k1必不存在 ,即b=0 ,又l1過(guò)點(diǎn)(-3 ,-1) ,所以-3a+b+4=0 ,而a=1 ,b=0代入上式不成立 ,所以k2≠0.因?yàn)閗2≠0 ,即k1 ,k2都存在 ,因?yàn)閗2=1-a ,k1=ab ,l1⊥l2 , 所以k1k2=-1 ,即ab

17、(1-a)=-1 ,又l1過(guò)點(diǎn)(-3 ,-1) ,所以-3a+b+4=0 ,聯(lián)立上述兩個(gè)方程可解得a=2 ,b=2.(2)因?yàn)閘2的斜率存在 ,又l1l2 ,所以k 1=k2 ,即ab=(1-a) ,因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等 ,且l1l2 ,所以 l1 ,l2在y軸的截距互為相反數(shù) ,即4b=b ,聯(lián)立上述方程解得a=2 ,b=-2或a=23 ,b=2 ,所以a ,b的值分別為2和-2或23和2.【點(diǎn)撥】運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)=kx+b時(shí) ,要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊 情況.求解兩條直線平行或垂直有關(guān)問(wèn)題時(shí) ,主要是利用直線平行和垂直的充要條件 ,即“斜率相等或“斜率互為負(fù)倒數(shù).【

18、變式訓(xùn)練2】如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系xOy中 ,設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0 ,a) ,B(b,0) ,C(c,0).點(diǎn)P(0 ,p)是線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn)) ,這里a ,b ,c ,p均為非零實(shí)數(shù) ,設(shè)直線BP ,CP分別與邊AC ,AB交于點(diǎn)E ,F ,某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為(1b-1c)x+(1p-1a)y=0 ,那么直線OF的方程為.【解析】由截距式可得直線AB：xb+ya=1 ,直線CP：xc+yp=1 ,兩式相減得(1c-1b)x+(1p-1a)y=0 ,顯然直線AB與CP的交點(diǎn)F滿足此方程 ,又原點(diǎn)O也滿足此方程 ,故所求直線OF的方程為(1c-1b)x+(1

19、p-1a)y=0.題型三點(diǎn)到直線的距離【例3】ABC中 ,A(1,1) ,B(4,2) ,C(m ,m)(1 【解析】因?yàn)锳(1,1) ,B(4,2) ,所以|AB|=(4-1)2+(2-1)2=10 ,又因?yàn)橹本€AB的方程為x-3y+2=0 ,那么點(diǎn)C(m ,m)到直線AB的距離即為ABC的高 ,設(shè)高為h ,那么h=|m-3m+2|12+(-3)2 ,S=12|AB|•h=12|m-3m+2| ,令m=t ,那么1 由圖象可知 ,當(dāng)t =32時(shí) ,S有最大值18 ,此時(shí)m=32 ,所以m=94.【點(diǎn)撥】運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離時(shí) ,直線方程要化為一般形式.求最值可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題

20、,用處理代數(shù)問(wèn)題的方法解決.【變式訓(xùn)練3】假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P1(x1 ,y1)與P2(x2 ,y2)分別在直線l1：x-y-5=0 ,l2：x-y-15=0上移動(dòng) ,求P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值.【解析】方法一：因?yàn)镻1、P2分別在直線l1和l2上 ,所以(+)÷2 ,得x1+x22-y1+y22-10=0 ,所以P1P2的中點(diǎn)P(x1+x22 ,y1+y22)在直線x-y-10=0上 ,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線x-y-10=0的距離d=102=52.所以 ,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.方法二：設(shè)l為夾在直線l1和l2之間且和l1與l2的距離相等的直線.令l：

21、x-y-c=0 ,那么5 解得c=10.所以l的方程為x-y-10=0.由題意知 ,P1P2的中點(diǎn)P在直線l上 ,點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離就是原點(diǎn)到直線l的距離d=102=52 ,所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小距離為52.總結(jié)提高1.求解與兩直線平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí) ,主要是利用兩直線平行或垂直的條件 ,即“斜率相等或“互為負(fù)倒數(shù).假設(shè)出現(xiàn)斜率不存在的情況 ,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究.2.學(xué)會(huì)用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗(yàn)等根本的數(shù)學(xué)方法和思想.特別是注意數(shù)形結(jié)合思想方法 ,根據(jù)題意畫(huà)出圖形不僅易于找到解題思路 ,還可以防止漏解和增解 ,同時(shí)還可以充分利用圖形的性質(zhì) ,挖掘出某些隱含條件 ,找到簡(jiǎn)捷

22、解法.3.運(yùn)用公式d=|C1-C2|A2+B2求兩平行直線之間的距離時(shí) ,要注意把兩直線方程中x、y的系數(shù)化成分別對(duì)應(yīng)相等.8.3圓的方程典例精析題型一求圓的方程【例1】求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(-1,4) ,B(3,2)且圓心在y軸上的圓的方程.【解析】方法一：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,那么圓心為(-D2 ,-E2) ,由得 即解得 D=0 ,E=-2 ,F=-9 ,所求圓的方程為x2+y2-2y-9=0.方法二：經(jīng)過(guò)A(-1,4) ,B(3,2)的圓 ,其圓心在線段AB的垂直平分線上 ,AB的垂直平分線方程為y-3=2(x-1) ,即y=2x+1.令x=0 ,y=1 ,圓心為(0,

23、1) ,r=(3-0)2+(2-1)2=10 ,圓的方程為x2+(y-1)2=10.【點(diǎn)撥】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程都有三個(gè)參數(shù) ,只要求出a、b、r或D、E、F ,那么圓的方程確定 ,所以確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件.【變式訓(xùn)練1】一圓過(guò)P(4 ,-2)、Q(-1,3)兩點(diǎn) ,且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為43 ,求圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,將P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得令x=0 ,由得y2+Ey+F=0 ,由|y1-y2|=43 ,其中y1、y2是方程的兩根.所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ,解、組成的方程組 ,得D=-2

24、,E=0 ,F=-12或D=-10 ,E=-8 ,F=4 ,故所求圓的方程為x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.題型二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例2】假設(shè)實(shí)數(shù)x ,y滿足(x-2)2+y2=3.求：(1)yx的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;(3)(x-4)2+(y-3)2的最大值和最小值.【解析】(1)yx=y-0x-0 ,即連接圓上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率 ,因此 yx的最值為過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)該直線的斜率 ,設(shè)yx=k ,y=kx ,kx-y=0.由|2k|k2+1=3 ,得k=±3 ,所以yx的最大值為3 ,yx的最小值為-3.(2

25、)令x-2=3cos α ,y=3sin α ,α∈0,2π).所以y-x=3sin α-3cos α-2=6sin(α-π4)-2 ,當(dāng)sin(α-π4)=-1時(shí) ,y-x的最小值為-6-2.(3)(x-4)2+(y-3)2是圓上點(diǎn)與點(diǎn)(4,3)的距離的平方 ,因?yàn)閳A心為A(2,0) ,B(4,3) ,連接AB交圓于C ,延長(zhǎng)BA交圓于D.|AB|=(4-2)2+(3-0)2=13 ,那么|BC

26、|=13-3 ,|BD|=13+3 ,所以(x-4)2+(y-3)2的最大值為(13+3)2 ,最小值為(13-3)2.【點(diǎn)撥】涉及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 ,可借助圖形性質(zhì) ,利用數(shù)形結(jié)合求解 ,一般地：形如U=y-bx-a形式的最值問(wèn)題 ,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題;形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題 ,可轉(zhuǎn)化為圓心已定的動(dòng)圓半徑的最值問(wèn)題.【變式訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)x ,y滿足x2+y2=3(y≥0).試求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范圍.【解析】如圖 ,m可看作半圓x2+y2=3(y≥0)上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(-3 ,-1)連線的斜率 ,b可以看作過(guò)半圓x2

27、+y2=3(y≥0)上的點(diǎn)且斜率為-2的直線的縱截距.由圖易得3-36≤m≤3+216 ,-23≤b≤15.題型三圓的方程的應(yīng)用【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中 ,二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn) ,經(jīng)過(guò)三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;(2)求圓C的方程;(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解析】(1)令x=0 ,得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0 ,b) ,由題意b≠0 ,且Δ>0 ,解得b&

28、;lt;1且b≠0.(2)設(shè)所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,令y=0 ,得x2+Dx+F=0 ,這與x2+2x+b=0是同一個(gè)方程 ,故D=2 ,F=b.令x=0 ,得y2+Ey+F=0 ,此方程有一個(gè)根為b ,代入得出E=-b-1.所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(3)圓C必過(guò)定點(diǎn) ,證明如下：假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(x0 ,y0)(x0 ,y0不依賴于b) ,將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程 ,并變形為x20+y20+2x0-y0+b(1-y0)=0 ,(*)為使(*)式對(duì)所有滿足b<1(b≠0)的b都成立 ,必須有1

29、-y0=0 ,結(jié)合(*)式得x20+y20+2x0-y0=0 ,解得 或經(jīng)檢驗(yàn)知 ,點(diǎn)(0,1) ,(-2,1)均在圓C上 ,因此圓C過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)撥】此題(2)的解答用到了代數(shù)法求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程 ,表達(dá)了設(shè)而不求的思想.(3)的解答同樣運(yùn)用了代數(shù)的恒等思想 ,同時(shí)問(wèn)題表達(dá)了較強(qiáng)的探究性.【變式訓(xùn)練3】(2019安徽)動(dòng)點(diǎn)A(x ,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn) ,12秒旋轉(zhuǎn)一周.時(shí)間t=0時(shí) ,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(12 ,32) ,那么當(dāng)0≤t≤12時(shí) ,動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.0,1 B.1,7 C.7,

30、12 D. 0,1和7,12【解析】選D.由題意知角速度為2π12=π6 ,故可得y=sin(π6t+π3),0≤t≤12 ,π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π ,所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以單調(diào)遞增區(qū)間為0,1和7,12.總結(jié)提高1.確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件

31、,“選標(biāo)準(zhǔn) ,定參數(shù)是解題的根本方法.一般來(lái)講 ,條件涉及圓上的多個(gè)點(diǎn) ,可選擇一般方程;條件涉及圓心和半徑 ,可選圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.解決與圓有關(guān)的問(wèn)題 ,應(yīng)充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.解決與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí) ,可根據(jù)代數(shù)式子的幾何意義 ,借助于平面幾何知識(shí) ,數(shù)形結(jié)合解決.也可以利用圓的參數(shù)方程解決最值問(wèn)題.8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系典例精析題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷【例1】圓的方程x2+y2=2 ,直線y=x+b ,當(dāng)b為何值時(shí) ,(1)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).【解析】方法一：(幾何法)設(shè)圓心O(0,0)到直線y=x+b的距離為d ,d=|b|1

32、2+12=|b|2 ,半徑r=2.當(dāng)d 所以當(dāng)-2 當(dāng)d=r時(shí) ,直線與圓相切 , |b|2=2 ,b=±2 ,所以當(dāng)b=±2時(shí) ,直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).方法二：(代數(shù)法)聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組消去y得2x2+2bx+b2-2=0 ,Δ=16-4b2.當(dāng)Δ>0 ,即-2 當(dāng)Δ=0 ,即b=±2時(shí) ,有一個(gè)公共點(diǎn).【點(diǎn)撥】解決直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí) ,要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想 ,既要運(yùn)用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì) ,又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的根本關(guān)系

33、,養(yǎng)成勤畫(huà)圖的良好習(xí)慣.【變式訓(xùn)練1】圓2x2+2y2=1與直線xsin θ+y-1=0(θ∈R ,θ≠kπ+π2 ,k∈Z)的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定【解析】選A.易知圓的半徑r=22 ,設(shè)圓心到直線的距離為d ,那么d=1sin2θ+1.因?yàn)?amp;theta;≠π2+kπ ,k∈Z.所以0≤sin2θ&am

34、p;lt;1 ,所以22r ,所以直線與圓相離.題型二圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例2】如果圓C：(x-a)2+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】到原點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)在單位圓O：x2+y2=1上.當(dāng)圓C與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) ,符合題意 ,故應(yīng)滿足2-1<|OC|<2+1 ,所以1 所以-322 【變式訓(xùn)練2】?jī)蓤A(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P ,Q兩點(diǎn) ,假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2) ,那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【解析】由兩圓的方程可知它們的圓心坐標(biāo)分別為(-1,1) ,(2 ,-2) ,那

35、么過(guò)它們圓心的直線方程為x-(-1)2-(-1)=y-1-2-1 ,即y=-x.根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知兩圓的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于過(guò)它們圓心的直線對(duì)稱.故由P(1,2)可得它關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn) ,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2 ,-1).題型三圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦的問(wèn)題【例3】點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2+y2+4x-12y+24=0.(1)假設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43 ,求l的方程;(2)求圓C內(nèi)過(guò)點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)如圖 ,AB=43 ,D是AB的中點(diǎn) ,那么AD=23 ,AC=4 ,在RtADC中 ,可得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為k ,那么直線的方程為 y-5=kx ,即kx

36、-y+5=0.由點(diǎn)C到直線的距離公式|-2k-6+5|k2+1=2 ,得k=34 ,此時(shí)直線l的方程為3x-4y+20=0.又直線l的斜率不存在時(shí) ,也滿足題意 ,此時(shí)的方程為x=0.所以所求直線為x=0或3x-4y+20=0. (也可以用弦長(zhǎng)公式求解)(2)設(shè)圓C上過(guò)點(diǎn)P的弦的中點(diǎn)為D(x ,y) ,因?yàn)镃D⊥PD ,所以 =0 ,即(x+2 ,y-6)•(x ,y-5)=0 ,化簡(jiǎn)得軌跡方程x2+y2+2x-11y+30=0.【點(diǎn)撥】在研究與弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題時(shí) ,注意運(yùn)用“平方差法 ,即設(shè)弦AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2)

37、,中點(diǎn)為(x0 ,y0) ,由 得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.該法常用來(lái)解決與弦的中點(diǎn)、直線的斜率有關(guān)的問(wèn)題.【變式訓(xùn)練3】圓的方程為x2+y2-6x-8y=0 ,設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD ,那么四邊形ABCD的面積為()A.106 B.206 C.306 D.406【解析】選B.圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程(x-3)2+(y-4)2=25 ,過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC=10 ,最短弦為BD=252-12=46 ,S=12AC•BD=206.總結(jié)提高1.解決直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系有代數(shù)法和幾何法兩種 ,用幾何法解題時(shí)

38、要注意抓住圓的幾何特征 ,因此常常要比代數(shù)法簡(jiǎn)捷.例如 ,求圓的弦長(zhǎng)公式比擬復(fù)雜 ,利用l=2R2-d2(R表示圓的半徑 ,d表示弦心距)求弦長(zhǎng)比代數(shù)法要簡(jiǎn)便.2.處理直線與圓 ,圓與圓的位置關(guān)系 ,要全面地考查各種位置關(guān)系 ,防止漏解 ,如設(shè)切線為點(diǎn)斜式 ,要考慮斜率不存在的情況是否合題意 ,兩圓相切應(yīng)考慮外切和內(nèi)切兩種情況.3.處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí) ,特別是有關(guān)交點(diǎn)問(wèn)題時(shí) ,為防止計(jì)算量過(guò)大 ,常采用“設(shè)而不求的方法.8.5直線與圓的綜合應(yīng)用典例精析題型一直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用【例1】圓C：(x-1)2+(y-2)2=25及直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m&

39、;isin;R).(1)求證：不管m為何值 ,直線l恒過(guò)定點(diǎn);(2)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;(3)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的弦長(zhǎng)及此時(shí)直線的方程.【解析】(1)證明：直線方程可寫作x+y-4+m(2x+y-7)=0 ,由方程組 可得所以不管m取何值 ,直線l恒過(guò)定點(diǎn)(3,1).(2)由(3-1)2+(1-2)2=5<5 ,故點(diǎn)(3,1)在圓內(nèi) ,即不管m取何值 ,直線l總與圓C相交.(3)由平面幾何知識(shí)可知 ,當(dāng)直線與過(guò)點(diǎn)M(3,1)的直徑垂直時(shí) ,弦|AB|最短.|AB|=2r2-|CM|2=225-(3-1)2+(1-2)2=45 ,此時(shí) k=-1kCM ,即-2m+

40、1m+1=-1-12=2 ,解得m=-34 ,代入原直線方程 ,得l的方程為2x-y-5=0.【點(diǎn)撥】解決弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí) ,可利用弦長(zhǎng)的幾何意義求解.【變式訓(xùn)練1】假設(shè)函數(shù)f(x)=-1beax的圖象在x=0處的切線l與圓C：x2+y2=1相離 ,那么P(a ,b)與圓C的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不能確定【解析】選B.f(x)=-1beax⇒f′(x)=-abeax⇒f′(0)=-ab.又f(0)=-1b ,所以切線l的方程為y+1b=-ab(x-0) ,即ax+by+1=0 ,由l與圓C：x

41、2+y2=1相離得1a2+b2>1⇒a2+b2<1 ,即點(diǎn)P(a ,b)在圓內(nèi) ,應(yīng)選B.題型二和圓有關(guān)的對(duì)稱問(wèn)題【例2】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,曲線x2+y2+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱 ,又滿足 • =0.(1)求m的值;(2)求直線PQ的方程.【解析】(1)曲線方程可化為(x+1)2+(y-3)2=9 ,是圓心為(-1,3) ,半徑為3的圓.因?yàn)辄c(diǎn)P ,Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱 ,所以圓心(-1,3)在直線x+my+4=0上 ,代入得m=-1.(2)因?yàn)橹本€PQ與直線y=x+4垂直

42、,所以設(shè) P(x1 ,y1) ,Q(x2 ,y2) ,那么直線PQ的方程為y=-x+b.將直線y=-x+b代入圓的方程 ,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0 ,Δ=4(4-b)2-4×2(b2-6b+1)>0 ,解得2-32 x1+x2=b-4 ,x1x2=b2-6b+12 ,y1y2=(-x1+b)(-x2+b)=b2-b(x1+x2)+x1x2=b2+2b+12 ,因?yàn)?• =0 ,所以x1x2+y1y2=0 ,即b2-6b+12+b2+2b+12=0 ,得b=1.故所求的直線方程為y=-x+1.【點(diǎn)撥】平面

43、向量與圓的交匯是平面解析幾何的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容 ,解題時(shí) ,一方面要能夠正確地分析用向量表達(dá)式給出的題目的條件 ,將它們轉(zhuǎn)化為圖形中相應(yīng)的位置關(guān)系 ,另一方面還要善于運(yùn)用向量的運(yùn)算解決問(wèn)題.【變式訓(xùn)練2】假設(shè)曲線x2+y2+x-6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線kx-y+4=0對(duì)稱;OP ⊥OQ ,那么直線PQ的方程為.【解析】由知直線kx-y+4=0過(guò)圓心(-12 ,3) ,所以k=2 ,故kPQ=-12.設(shè)直線PQ的方程為y=-12x+t ,與圓的方程聯(lián)立消去y ,得54x2+(4-t)x+t2-6t+3=0.(*)設(shè)P(x1 ,y1) ,Q(x2 ,y2) ,由于OP&a

44、mp;perp;OQ ,所以x1x2+y1y2=0 ,即x1x2+(-12x1+t)(-12x2+t)=0 ,所以(x1+x2)(-12t)+54x1x2+t2=0.由(*)知 ,x1+x2=4(t-4)5 ,x1x2=4(t2-6t+3)5 ,代入上式 ,解得t=32或t=54.此時(shí)方程(*)的判別式Δ>0. 從而直線的方程為y=-12x+32或y=-12x+54 ,即x+2y-3= 0或2x+4y-5=0為所求直線方程.題型三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】求與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】曲線x2+y2-12x-12y+54=0可化為(x-6)2+(y-6)2=18 ,它表示圓心為(6,6) ,半徑為32的圓.作出直線x+y-2