第5章典型機械系統(tǒng)建模

1、控制相關(guān)專業(yè)研究生選修課程系統(tǒng)建模方法馬宏軍東北大學 信息學院 控制理論與導航技術(shù)研究所2013年3月逸夫樓203第第5 5章章 典型機械系統(tǒng)的建模典型機械系統(tǒng)的建模 機械系統(tǒng)遍及工程技術(shù)和社會各個領(lǐng)域，除機械設(shè)備機械系統(tǒng)遍及工程技術(shù)和社會各個領(lǐng)域，除機械設(shè)備與裝置外，還是構(gòu)成其他復雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)和基本環(huán)節(jié)，如與裝置外，還是構(gòu)成其他復雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)和基本環(huán)節(jié)，如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構(gòu)、飛機舵面?zhèn)鲃友b置、導彈發(fā)射架、控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構(gòu)、飛機舵面?zhèn)鲃友b置、導彈發(fā)射架、飛行模擬器的運動平臺等。飛行模擬器的運動平臺等。 這些系統(tǒng)建模目標多是建立這些系統(tǒng)建模目標多是建立選定參考坐標系下的系統(tǒng)運動方程和動力學方程

2、，屬于選定參考坐標系下的系統(tǒng)運動方程和動力學方程，屬于“白箱白箱”問題。因此，采用的建模方法不外乎是機理分析問題。因此，采用的建模方法不外乎是機理分析法或圖解法，對復雜的機械系統(tǒng)還可能應用辨識方法。法或圖解法，對復雜的機械系統(tǒng)還可能應用辨識方法。 在建模中，主要將利用牛頓力學定律、拉格朗日函數(shù)，在建模中，主要將利用牛頓力學定律、拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。 針對特殊的機械系統(tǒng)針對特殊的機械系統(tǒng) 機器人，其運動學及動力學機器人，其運動學及動力學分析的數(shù)學建模和仿真與傳統(tǒng)的機械動態(tài)特性研究因其多分析的數(shù)學建模和仿真與傳統(tǒng)的機械動態(tài)特性研究因

3、其多運動自由度特點，多體動力學理論基礎(chǔ)在機器人運動動力運動自由度特點，多體動力學理論基礎(chǔ)在機器人運動動力學分析中特別適用。學分析中特別適用。5.1 5.1 基于力學理論的機械系統(tǒng)建?；诹W理論的機械系統(tǒng)建模一、空間任意力系的平衡方程一、空間任意力系的平衡方程 由理論力學可知，空間任意力系平衡的必要和充分條由理論力學可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系中所有各力在三坐標軸中每一軸上的投影和分件是：力系中所有各力在三坐標軸中每一軸上的投影和分別等于零，又這些力對于這些軸的力矩的代數(shù)和也分別等別等于零，又這些力對于這些軸的力矩的代數(shù)和也分別等于零。其數(shù)學表達式為：于零。其數(shù)學表達式為：

4、0)( , 0)( , 0)(0 , 0 , 0FmFmFmFFFozoyoxzyx二、牛頓第二定律數(shù)學表達式二、牛頓第二定律數(shù)學表達式 牛頓第二定律告訴我們，物體受外力作用時，所獲得的加速度牛頓第二定律告訴我們，物體受外力作用時，所獲得的加速度大小與合力大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合大小與合力大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與合外力的方向相同。外力的方向相同。其數(shù)學表達式為：其數(shù)學表達式為： )2()( .2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在極坐標系中有在極坐標系中有在直角坐標系下有在直角坐標

5、系下有h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2 例例 5.1 測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置 如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為為m ,由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩，繩索相距為索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設(shè)物。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周期體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量J。 假設(shè)物體繞通過重

6、心的垂直軸假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度轉(zhuǎn)一個小的角度 時，夾角時，夾角 和夾角和夾角 間存在下列關(guān)系間存在下列關(guān)系 ha 因此因此ha 注意，每根繩索的受力注意，每根繩索的受力F 的垂直的垂直分量等于分量等于mg/2。F 的水平分量為的水平分量為 mg /2。兩根繩索的兩根繩索的F 的水平分的水平分量產(chǎn)生扭矩量產(chǎn)生扭矩mg a 使物體轉(zhuǎn)動。使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運動方程為：因此，擺動的運動方程為： hamgamgJ 2. 或?qū)懗苫驅(qū)懗?2. JhmgaJ由此求得擺動周期為由此求得擺動周期為JhmgaT22 得到轉(zhuǎn)動慣量得到轉(zhuǎn)動慣量JhmgaTJ22 1. 隱含的假定隱含的假定2.

7、 系統(tǒng)的階次？系統(tǒng)的階次？3. 模型是否合理？模型是否合理？利用常識判斷利用常識判斷 4. 非線性的情況？非線性的情況？利用計算機輔助判斷利用計算機輔助判斷 5. 系統(tǒng)參數(shù)的獲取系統(tǒng)參數(shù)的獲取 例例5.25.2 單擺系統(tǒng)單擺系統(tǒng) 下圖所示的單擺系統(tǒng)下圖所示的單擺系統(tǒng) 為輸入力矩、為輸入力矩、 為輸出擺角、為輸出擺角、m為小球質(zhì)量、為小球質(zhì)量、L為擺長。為擺長。 根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程：根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程：)(tTi)(0t (t)mLL(t)mgSin (t)Ti020 這是一個非線性方程，根據(jù)這是一個非線性方程，根據(jù)Taylor級級數(shù)展開得：數(shù)展開得： !5!3503000Sin 當

8、當 很小時，高階小數(shù)可以忽略，很小時，高階小數(shù)可以忽略，則：則：00Sin 0 非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程(t)T(t)mgL (t)mLi 00.20 mmgiT第一次作業(yè)！第一次作業(yè)！例例5.3 設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)安裝在一個不計質(zhì)量的小車上，如下安裝在一個不計質(zhì)量的小車上，如下圖所示。推導系統(tǒng)數(shù)學模型。圖所示。推導系統(tǒng)數(shù)學模型。 假設(shè)假設(shè)t m , ,旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角足夠小，于是可以對運動方程做足夠小，于是可以對運動方程做線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：0 )

9、t (umlyM. 其中，其中，u( t )等于施加在小車上的外力，等于施加在小車上的外力，l 是質(zhì)量到鉸是質(zhì)量到鉸接點的距離。鉸接點處的轉(zhuǎn)矩之和為：接點的距離。鉸接點處的轉(zhuǎn)矩之和為：02 lgmmlyml. 選定兩個選定兩個2 階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：), y, y()x,x,x,x(. 4321 將將a、b兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：042 )t (uxmlxM.0342 gxxlx.(a)(b)(c)(d) 為得到為得到1階微分方程組，解出式階微分方程組，解出式（d）中的中的 , ,代入代入式（式（c c），并注意到），并注意到M m，則有

10、：，則有：.xl4)t (umgxxM. 32(e) 再解出式（再解出式（c）中的）中的 ，并代入式（，并代入式（d），可得：），可得：2.x034 )t (uMgxxMl. 于是，于是，4 4個個1 1階微分方程為：階微分方程為：)t (uMlxlgx,xx)t (uMxMmgx,xx.1 1 34.4332.21 系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：uBAXX00010000000010l /gM/mgAMl/M/1010B4321xxxxX4321xxxxX1.驗證（階次、穩(wěn)定性等）驗證（階次、穩(wěn)定性等）2.拓展（非線性、忽略因素）拓展（非線性、忽略因素）3.參數(shù)確定（白箱實驗）參數(shù)確定

11、（白箱實驗）時域時域 頻域指標反解頻域指標反解5.2 能量法推導運動方程能量法推導運動方程一、功、能、功率一、功、能、功率 如果力被認為是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量如果力被認為是努力的度量，那么功就是成就的度量，而能量就是做功的能力。功的概念沒有考慮時間的因素，就要引入功率的就是做功的能力。功的概念沒有考慮時間的因素，就要引入功率的概念。概念。 功功 機械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩機械系統(tǒng)中的功等于力與力作用的距離的乘積（或力矩與角位移的乘積），力與距離要在同一方向上度量。與角位移的乘積），力與距離要在同一方向上度量。 設(shè)力設(shè)力 F 作用于作用于 a 至至 b

12、連接路徑中運動的質(zhì)點連接路徑中運動的質(zhì)點 m 上，那么上，那么 F 所所作的功可一般描述為作的功可一般描述為)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機械系統(tǒng)一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機械系統(tǒng)中能有中能有勢能勢能和和動能動能兩種形式。兩種形式。 功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即： dW 表示在表示在dt 時間間隔內(nèi)所作的功。時間間隔內(nèi)所作的功。tWPdd 功率功率二、二、 能量法推導運動方程能量法推導運動方程 能量法推導運動方程的根本就是能量法推導運動方程的根本就是能量守恒定律能量守恒定律。如果系統(tǒng)沒。如果系統(tǒng)沒有能量輸

13、入和輸出，我們從系統(tǒng)總能量保持相等這一事實出發(fā)來有能量輸入和輸出，我們從系統(tǒng)總能量保持相等這一事實出發(fā)來推導運動方程。推導運動方程。 例例5.7 如右圖表示一個半徑為如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導出系統(tǒng)運動方程。體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導出系統(tǒng)運動方程。 圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。 .2 .22121 JxmT 動動

14、能能 系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為221kxU 勢能勢能 系統(tǒng)總能量為系統(tǒng)總能量為2 .2 .2212121kxJxmUT kRx 考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此，考慮到圓柱體做無滑動的滾動，因此， 。并且注意到。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 J 等于等于 ，我們得到，我們得到 Rx 221mR2 .22143kxxmUT 考慮到考慮到能量守恒定律能量守恒定律，總能量為常數(shù)，即總能量導數(shù)為零，總能量為常數(shù)，即總能量導數(shù)為零，得到得到 0 23 23dd. xkxxmxkxxxmtUT 注意到，注意到， 并不總為并不總為0，因此，因此 必須恒等于必須恒等于0，即，

15、即 .xkxxm . 23032 0 23. xmkxkxxm或或 如果將以上方程轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動運動，只要把如果將以上方程轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動運動，只要把 代入得到代入得到 Rx 032 . mk能量不守恒怎么辦！能量不守恒怎么辦！R0(1,2,)iiiimiNFFa(1,2,)iiNrR() 0(1,2,)iiiiiimiNFFarR0(1,2,)iiiiNFr()0(1,2,)iiiiimiNFarR() 0(1,2,)iiiiiimiNFFar() () () 01,2,ixiiiiyiiiiziiiiFm xxFm yyFm zziN()0(1,2,)iiiiimiNFar12,NF FF12,Nrrr

16、12,nq qq12( , )iinq qq trr110NNiiiiiiimFrar11NniijjijQqFrjQ1niijjjqqrr1Niiiimar1111()0NNnNiiiiiiji ijiijijmQmqqrFrarr10(1,2, )Niji iijQmjnqrr1111()NnnNiii iji ijijjijjrrmqmqqq rr111()()Nii iijNNiiiii iiijjmqddmmdtqdtqrrrrrriijjqqrr函數(shù)，函數(shù)，僅為時間和廣義坐標的僅為時間和廣義坐標的和和jiiqtrr無無關(guān)關(guān)與與廣廣義義速速度度jq 1ddnjiiijjjjqqqtq

17、trrr廣廣義義速速度度1niiikkkqtqrrr221niiikkjjjkqqqtqqrrrkNkkjijijiqqqtqqt122ddrrrijq rddijtqr111()()NNNiiii iiii iiiijjjddmmmqdtqdtqrrrrrr1111()NNiiiii iiijjNNiiii iiijjdmmdtqqdmmdtqqrrrrrrrr2111111()()22NNNiii iiiiiiijjjjNiiijjTmmmvqqqqTmqq rrr rrr1Nii iijjjdTTmqdtqqrriijjqqrriijjddtqqrr10(1,2, )Niji iijQm

18、jnqrr1Nii iijjjdTTmqdtqqrr(1,2, )jjjdTTQjndtqqjjVQq d()djjjTTVtqqq 12( , )0,(j1,2, )njVVV q qq tnqd()()0djjjjTVTVtqqqqd()0djjLLtqq(1,2, )jn5.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)） 將將 作為作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標，系統(tǒng)的運個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標，系統(tǒng)的運動由動由n個微分方程表示，其中廣義坐標是因變量，時間為自變量。個微分方程表示，其中廣義坐標是因變量，時間為自變量。 令令 作為系統(tǒng)在任意瞬時的勢能；作為系統(tǒng)在任意瞬時的

19、勢能； 令令 作為系統(tǒng)在同瞬時的動能；作為系統(tǒng)在同瞬時的動能； 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 定義為定義為niQxLxLtiii, 2 , 1 , )(dd . nxxx,21 ),(21nxxxV ),(.2.1.21nnxxxxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 設(shè)廣義坐標是獨立的，令設(shè)廣義坐標是獨立的，令 是廣義坐標的變分，是廣義坐標的變分，非保守力（外力和摩擦力等）非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標上的虛功可以寫成在廣義坐標上的虛功可以寫成nxxx ,21 iniixQW 1拉格朗日方程為拉格朗日方程為例例 5.85.8 系統(tǒng)如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的系統(tǒng)

20、如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數(shù)學模型。數(shù)學模型。1c1k1M2c2k2M1y2yf解解: 選擇選擇y1，y2為廣義坐標系，為廣義坐標系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為其系統(tǒng)動能和勢能分別為)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221

21、.2.21.112211.211 0 00 0)()()()()()(yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM其其中中：矩矩陣陣形形式式：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換得得型型直直接接得得到到系系統(tǒng)統(tǒng)的的數(shù)數(shù)學學模模由由上上述述拉拉格格朗朗日日方方程程可可例例 5.9 某行星滾動機構(gòu)中有一質(zhì)量為某行星滾動機構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為 r 的實心圓柱在的實心圓柱在半徑為半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為的轉(zhuǎn)動慣量分別為

22、 , 圓柱對軸心圓柱對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量為為 ,建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運動數(shù)學模型。建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運動數(shù)學模型。 分析：該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標分別為圓筒轉(zhuǎn)角分析：該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標分別為圓筒轉(zhuǎn)角和圓柱軸心偏離角和圓柱軸心偏離角 。由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動純滾動，由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動純滾動，故在接觸點故在接觸點A處它們具有相同的線速度：處它們具有相同的線速度： 。 系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能2/2mrrrRRvA )(. 2.22.2222.22.22)(4)(2124

23、1)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg ROAOr 22)(MRrRm和和 系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。 則系統(tǒng)的勢能為則系統(tǒng)的勢能為 cos)(rRmgV 于是有拉格朗日函數(shù)于是有拉格朗日函數(shù) cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(. gRrRrRmRmM 即為該行星滾動機構(gòu)的運動數(shù)學模型。即為該行星滾動機構(gòu)的運動數(shù)學模型。例例 5.10 用拉格朗日方程建立圖示用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運動的微分方程，用系統(tǒng)運動的微分方程，用1、2

24、和和x作為廣義坐標，以矩陣的形式寫出作為廣義坐標，以矩陣的形式寫出微分方程。微分方程。 解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為2.22.221.1212121xmIIT 系統(tǒng)在同一時刻的勢能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為mgxrrkrxkV 22121)22(321)(21 拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù)為VTL mgxkrkrkrkrkrxkxxmIIL 212222212212122.22.221.11266 2121212121 利用拉格朗日方程可得利用拉格朗日方程可得01213 02212.1111. krxkrkrILLdtd 01212 0212.222.2 krkrILLdt

25、d mgFxkkrkrkrkrkrkrxmIImgFkxkrxmFxLxLdtd000012121213000000 212222.2.1211. 以以矩矩陣陣的的形形式式寫寫出出為為5.4 5.4 機器人靜力分析與動力學機器人靜力分析與動力學 計算機技術(shù)的不斷進步和發(fā)展使機器人技術(shù)的發(fā)展計算機技術(shù)的不斷進步和發(fā)展使機器人技術(shù)的發(fā)展一次次達到一個新水平。上至太空艙、宇宙飛船，下至微一次次達到一個新水平。上至太空艙、宇宙飛船，下至微機器人、深海開發(fā)，機器人技術(shù)已拓展到全球經(jīng)濟發(fā)展的機器人、深海開發(fā)，機器人技術(shù)已拓展到全球經(jīng)濟發(fā)展的諸多領(lǐng)域，成為高科技中極為重要的組成部分。人類文明諸多領(lǐng)域，成為高

26、科技中極為重要的組成部分。人類文明的發(fā)展、科技的進步已和機器人的研究、應用產(chǎn)生了密不的發(fā)展、科技的進步已和機器人的研究、應用產(chǎn)生了密不可分的關(guān)系。人類社會的發(fā)展已離不開機器人技術(shù)，而機可分的關(guān)系。人類社會的發(fā)展已離不開機器人技術(shù)，而機器人技術(shù)的進步又對推動科技發(fā)展起著不可替代的作用。器人技術(shù)的進步又對推動科技發(fā)展起著不可替代的作用。 1818世紀瑞士世紀瑞士的寫字偶人的寫字偶人哈工大爬壁機器人哈工大爬壁機器人爬纜索機器人爬纜索機器人仿人機器人仿人機器人北航仿生魚北航仿生魚管道機器人管道機器人 排雷機器人排雷機器人 “索杰納索杰納”火星車火星車 引導機器人引導機器人 工業(yè)機器人工業(yè)機器人 機器人

27、，特別是其中最有代表性的關(guān)節(jié)型機器人，機器人，特別是其中最有代表性的關(guān)節(jié)型機器人，實質(zhì)上是由一系列關(guān)節(jié)連接而成的空間連桿開式鏈機構(gòu)。實質(zhì)上是由一系列關(guān)節(jié)連接而成的空間連桿開式鏈機構(gòu)。要研究機器人，就必須對其運動學和動力學有一個基本的要研究機器人，就必須對其運動學和動力學有一個基本的了解。了解。 穩(wěn)態(tài)下研究的機器人運動學分析只限于靜態(tài)位置問穩(wěn)態(tài)下研究的機器人運動學分析只限于靜態(tài)位置問題的討論，未涉及機器人運動的力、速度、加速度等動態(tài)題的討論，未涉及機器人運動的力、速度、加速度等動態(tài)過程。實際上，機器人是一個復雜的動力學系統(tǒng)，機器人過程。實際上，機器人是一個復雜的動力學系統(tǒng)，機器人系統(tǒng)在外載荷和關(guān)

28、節(jié)驅(qū)動力矩系統(tǒng)在外載荷和關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩( (驅(qū)動力驅(qū)動力) )的作用下將取得靜的作用下將取得靜力平衡，在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩力平衡，在關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩( (驅(qū)動力驅(qū)動力) )的作用下將發(fā)生運動變的作用下將發(fā)生運動變化。機器人的動態(tài)性能不僅與運動學因素有關(guān)，還與機器化。機器人的動態(tài)性能不僅與運動學因素有關(guān)，還與機器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機構(gòu)的位置、傳動裝置等人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機構(gòu)的位置、傳動裝置等對動力學產(chǎn)生重要影響的因素有關(guān)。對動力學產(chǎn)生重要影響的因素有關(guān)。 機器人動力學主要研究機器人運動和受力之間的關(guān)系，機器人動力學主要研究機器人運動和受力之間的關(guān)系，目的是對機器人進行控制、優(yōu)化設(shè)計和仿真

29、。機器人動力目的是對機器人進行控制、優(yōu)化設(shè)計和仿真。機器人動力學主要解決動力學正問題和逆問題兩類問題：動力學正問學主要解決動力學正問題和逆問題兩類問題：動力學正問題是根據(jù)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力題是根據(jù)各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力( (或力矩或力矩) )，求解機器人的運動，求解機器人的運動( (關(guān)節(jié)位移、速度和加速度關(guān)節(jié)位移、速度和加速度) )，主要用于機器人的仿真；動，主要用于機器人的仿真；動力學逆問題是已知機器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求力學逆問題是已知機器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關(guān)節(jié)力解所需要的關(guān)節(jié)力( (或力矩或力矩) )，是實時控制的需要。，是實時控制的需要。 本節(jié)首先通過實例介紹與機器人

30、速度和靜力有關(guān)的雅本節(jié)首先通過實例介紹與機器人速度和靜力有關(guān)的雅可比矩陣，在機器人雅可比矩陣分析的基礎(chǔ)上進行機器人可比矩陣，在機器人雅可比矩陣分析的基礎(chǔ)上進行機器人的靜力分析，討論動力學的基本問題，對機器人的動態(tài)特的靜力分析，討論動力學的基本問題，對機器人的動態(tài)特性作簡要論述，以便為機器人編程、控制等打下基礎(chǔ)。性作簡要論述，以便為機器人編程、控制等打下基礎(chǔ)。一、一、 機器人雅可比矩陣機器人雅可比矩陣 機器人雅可比矩陣機器人雅可比矩陣( (簡稱雅可比簡稱雅可比) )揭示了操作空間與關(guān)揭示了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。雅可比不僅表示操作空間與關(guān)節(jié)空間節(jié)空間的映射關(guān)系。雅可比不僅表示操作空間與關(guān)節(jié)

31、空間的速度映射關(guān)系，也表示二者之間力的傳遞關(guān)系，為確定的速度映射關(guān)系，也表示二者之間力的傳遞關(guān)系，為確定機器人的靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩以及不同坐標系間速度、加速度和機器人的靜態(tài)關(guān)節(jié)力矩以及不同坐標系間速度、加速度和靜力的變換提供了便捷的方法。靜力的變換提供了便捷的方法。 1 1、機器人雅可比的定義、機器人雅可比的定義 在機器人學中，雅可比是一個把關(guān)節(jié)速度向量在機器人學中，雅可比是一個把關(guān)節(jié)速度向量 變換變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量為手爪相對基坐標的廣義速度向量v 的變換矩陣。在機器的變換矩陣。在機器人速度分析和靜力分析中都將用到雅可比，現(xiàn)通過一個例人速度分析和靜力分析中都將用到雅可比，現(xiàn)通過一個例

32、子來說明：子來說明： q 下下圖為二自由度平面關(guān)節(jié)型機器人圖為二自由度平面關(guān)節(jié)型機器人(2R(2R機器人機器人) )，端點，端點位置位置X X、Y Y與關(guān)節(jié)與關(guān)節(jié)1 1、2 2的關(guān)系為：的關(guān)系為：112 12112 12ccssXllYll1212( ,)( ,)XXYY 即圖圖5.1 二自由度平面關(guān)節(jié)型機器人簡圖二自由度平面關(guān)節(jié)型機器人簡圖將其微分得22112211dYdYdYdXdXdX即212121ddYYXXdYdX2121YYXXJ令可將上式簡寫為 JddX 21 d dddYdXdX；式中： J 稱為圖示2R機器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運動d與手部作業(yè)空間微小位移dX

33、的關(guān)系。若對式 J 進行運算，則圖示2R機器人的雅可比可寫為112 122 12112 122 12l sl sl sl cl cl cJ從從J 中元素的組成可見，中元素的組成可見，J 陣的值是關(guān)于陣的值是關(guān)于1 1及及2 2的函數(shù)。的函數(shù)。5.25.1Tnq ,q ,q 21qiiq 推而廣之，對于n自由度機器人，關(guān)節(jié)變量可用廣義關(guān)節(jié)變量q表示， ，當關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時 ；當關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時 ， 反映了關(guān)節(jié)空間的微小運動。機器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X表示，它是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，X=X(q)，并且是一個6維列矢量。 反映了操作空間的微小運動，它由機器人末端微小線位移和微小角

34、位移(微小轉(zhuǎn)動)組成。因此，式5.1可寫為：iidq Tndq,dq,dqd 21qTZYX,dZ,dY,dXdXqqJXd)(d 式中：J(q)是6n維偏導數(shù)矩陣，稱為n自由度機器人速度雅可比，可表示為：5.3 nZZZnYYYnXXXnnnTq.qqq.qqq.qqqZ.qZqZqY.qYqYqX.qXqX)(212121212121qXqJ5.4 2 2、機器人速度分析、機器人速度分析 利用機器人速度雅可比可對機器人進行速度分析。對利用機器人速度雅可比可對機器人進行速度分析。對式式( (5.35.3) )左、右兩邊各除以左、右兩邊各除以dt 得得 dtd)(dtdqqJX.)(qqJXv

35、 或或表表示示為為5.55.6 q q 式中：v為機器人末端在操作空間中的廣義速度； 為機器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)為確定關(guān)節(jié)空間速度 與操作空間速度v 之間關(guān)系的雅可比矩陣。 式中：右邊第一項表示僅由第一個關(guān)節(jié)運動引起的端點速度；右邊第二項表示僅由第二個關(guān)節(jié)運動引起的端點速度；總的端點速度為這兩個速度矢量的合成。因此，機器人速度雅可比的每一列表示其他關(guān)節(jié)不動而某一關(guān)節(jié)運動產(chǎn)生的端點速度。 對于圖5.1所示2R機器人而言，J(q)是式(5.2)所示的22矩陣。若令J1，J2分別為式(5.2)所示雅可比的第1列矢量和第2列矢量，則式(5.6)可寫為：2.1.21JJv1211( )

36、f t22( )ft1qJv式中：J1稱為機器人逆速度雅可比。圖圖5.15.1所示二自由度機器人手部的速度為：所示二自由度機器人手部的速度為： 假如已知的 及 是時間的函數(shù)，即 ， ，則可求出該機器人手部在某一時刻的速度v=f (t)，即手部瞬時速度。 反之，假如給定機器人手部速度，可由式(5.6)解出相應的關(guān)節(jié)速度為：5.721222122111122112211211221221112212211 clclclslslslclclclslslslyX)()(vvv例例 5.115.11 如圖5.2所示的二自由度機械手，手部沿固定坐標系X0 軸正向以1.0m/s的速度移動，桿長l1=l2=0

37、.5 m。設(shè)在某瞬時1=30，2=60，求相應瞬時的關(guān)節(jié)速度。 圖5.2 二自由度機械手手爪沿X0 方向運動示意圖112 122 12112 122 12ssscccllllllJ解解 由式由式(5.2)(5.2)知，二自由度機械手速度雅可比為知，二自由度機械手速度雅可比為因此，逆雅可比為因此，逆雅可比為2 122 121112 12112 121 22cs1ccssslllllll lJ1JvT1,0v12 122 12112 12112 121 22210cs1ccssslllllll l 12112c1rad/s2 rad/ss0.5l 11221212cc4 rad/sssll由式由式

38、(5.7)(5.7)可知，可知，且，且，即，即vX=1m/s，vY=0，因此，因此二、機器人動力學方程二、機器人動力學方程 機器人動力學的研究有牛頓機器人動力學的研究有牛頓- -歐拉法、拉格朗日法、高歐拉法、拉格朗日法、高斯法、凱恩法及羅伯遜斯法、凱恩法及羅伯遜- -魏登堡法等。本節(jié)介紹動力學研魏登堡法等。本節(jié)介紹動力學研究常用的牛頓究常用的牛頓- -歐拉方程和拉格朗日方程。歐拉方程和拉格朗日方程。 1 1、 歐拉方程歐拉方程 歐拉方程又稱為牛頓歐拉方程又稱為牛頓- -歐拉方程，應用歐拉方程建立機歐拉方程，應用歐拉方程建立機器人機構(gòu)的動力學方程是指：研究構(gòu)件質(zhì)心的運動使用牛器人機構(gòu)的動力學方程

39、是指：研究構(gòu)件質(zhì)心的運動使用牛頓方程，研究相對于構(gòu)件質(zhì)心的轉(zhuǎn)動使用歐拉方程。歐拉頓方程，研究相對于構(gòu)件質(zhì)心的轉(zhuǎn)動使用歐拉方程。歐拉方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關(guān)系。方程表征了力、力矩、慣性張量和加速度之間的關(guān)系。 質(zhì)量為m、質(zhì)心在C點的剛體，作用在其質(zhì)心的力F的大小與質(zhì)心加速度aC 的關(guān)系為 cmaF 式中：F、aC為三維矢量。式(2.21)稱為牛頓方程。 5.8 欲使剛體得到角速度為、角加速度為的轉(zhuǎn)動，則作用在剛體上力矩M的大小為 (5.95.9) 式中：M、均為三維矢量； 為剛體相對于原點通過質(zhì)心C并與剛體固結(jié)的剛體坐標系的慣性張量。式(5.95.9)即為歐拉方程。 在三維空

40、間運動的任一剛體，其慣性張量 可用質(zhì)量慣性矩IXX、IYY、IZZ和慣性積IXY、IYZ、IZX為元素的33階矩陣或44階齊次坐標矩陣來表示。通常將描述慣性張量的參考坐標系固定在剛體上，以方便剛體運動的分析。這種坐標系稱為剛體坐標系(簡稱體坐標系)。IIMccIcIc 2 2、 拉格朗日方程拉格朗日方程 在機器人的動力學研究中，主要應用拉格朗日方程在機器人的動力學研究中，主要應用拉格朗日方程建立起機器人的動力學方程。這類方程可直接表示為系統(tǒng)建立起機器人的動力學方程。這類方程可直接表示為系統(tǒng)控制輸入的函數(shù)，若采用齊次坐標，遞推的拉格朗日方程控制輸入的函數(shù)，若采用齊次坐標，遞推的拉格朗日方程也可建

41、立比較方便而有效的動力學方程。也可建立比較方便而有效的動力學方程。 對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總定義為系統(tǒng)總動能動能Ek與總勢能與總勢能Ep之差，即之差，即L=Ek Ep (5.10) d()diiiLLtqqF1,2,in 由拉格朗日函數(shù)由拉格朗日函數(shù)L所描述的系統(tǒng)動力學狀態(tài)的拉格朗所描述的系統(tǒng)動力學狀態(tài)的拉格朗日方程為日方程為 (5.11) 式中：式中：n為連桿數(shù)目；為連桿數(shù)目；qi 為系統(tǒng)選定的廣義坐標，為系統(tǒng)選定的廣義坐標，F(xiàn)i為作用在第為作用在第i個坐標上的廣義力或力矩個坐標上的廣義力或力矩。 3 3、 平面關(guān)節(jié)機器人動力學分析平面關(guān)節(jié)機

42、器人動力學分析 機器人是一個非線性的復雜動力學系統(tǒng)。動力學問題機器人是一個非線性的復雜動力學系統(tǒng)。動力學問題的求解比較困難，而且需要較長的運算時間，因此，簡化的求解比較困難，而且需要較長的運算時間，因此，簡化解的過程，最大限度地減少工業(yè)機器人動力學在線計算的解的過程，最大限度地減少工業(yè)機器人動力學在線計算的時間是一個受到關(guān)注的研究課題。機器人動力學問題有兩時間是一個受到關(guān)注的研究課題。機器人動力學問題有兩類：類： (1) (1) 給出已知的軌跡點上的給出已知的軌跡點上的 、 及及 ，即機器人關(guān)即機器人關(guān)節(jié)位置、速度和加速度，求相應的關(guān)節(jié)力矩向量節(jié)位置、速度和加速度，求相應的關(guān)節(jié)力矩向量。這對。

43、這對實現(xiàn)機器人動態(tài)控制是相當有用的。實現(xiàn)機器人動態(tài)控制是相當有用的。 (2) (2) 已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，求機器人系統(tǒng)相應的各瞬時已知關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，求機器人系統(tǒng)相應的各瞬時的運動。也就是說，給出關(guān)節(jié)力矩向量的運動。也就是說，給出關(guān)節(jié)力矩向量，求機器人所產(chǎn)，求機器人所產(chǎn)生的運動生的運動 、 及及 ，這對機器人的運動模擬是非常有用這對機器人的運動模擬是非常有用的。的。例例 5.125.12 以圖以圖5.35.3的的二自由度機器人二自由度機器人為例，推導機器人動為例，推導機器人動力學方程力學方程。圖圖5.3 5.3 二自由度機器人動力學方程的建立二自由度機器人動力學方程的建立第第1 1步、選定廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力步、選定廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力 選取笛卡兒坐標系。連桿選取笛卡兒坐標系。連桿1 1和連桿和連桿2 2的關(guān)節(jié)變量分別的關(guān)節(jié)變量分別是轉(zhuǎn)角是轉(zhuǎn)角1 1和和2 2，關(guān)節(jié)，關(guān)節(jié)1 1和關(guān)節(jié)和關(guān)節(jié)2 2相應的力矩是相應的力矩是1 1和和2 2。連桿。連桿1 1和連桿和連桿2 2的質(zhì)量分別是的質(zhì)量分別是m1和和m2，桿長分別為，桿長分別為l 1和和l 2，質(zhì)心，質(zhì)心分別在分別在k1和和k2處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為處，離關(guān)節(jié)中心的距離分別為p1和和p2。111sXp111cYp 222111 1XYp2112 12ssXlp