第一類(lèi)曲線積分

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§1 第一類(lèi)曲線積分的計(jì)算 設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，那么有。例：設(shè)是半圓周, 。求。 例：設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，計(jì)算第一類(lèi)曲線積分。 例：計(jì)算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點(diǎn)，的直線段。§2 第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算 一 曲面的面積（1）設(shè)有一曲面塊，它的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。（2）若曲面的方程為令，則該曲面塊的面積為。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。

2、二 化第一類(lèi)曲面積分為二重積分（1）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。（2）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令，則。例：計(jì)算，是球面，。例：計(jì)算，其中為螺旋面的一部分：。注：第一類(lèi)曲面積分通過(guò)一個(gè)二重積分來(lái)定義，這就是為什么在第一類(lèi)曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為。 §3 第二類(lèi)曲線積分一 變力做功和第二類(lèi)曲線積分的定義1.力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問(wèn)題，得 。2. 第二型曲線積分的定義 定義1 設(shè)

3、是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點(diǎn)開(kāi)始用分點(diǎn)分成個(gè)有向弧段，直至終點(diǎn)。且設(shè)。在每一弧段 上任取一點(diǎn)，作和式：。其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。設(shè)，這里表示有向線段的長(zhǎng)度。若當(dāng)時(shí)，和有極限，且它與的分法無(wú)關(guān)，也與點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，則稱(chēng)為沿曲線按所述方向的第二類(lèi)曲線積分，記作 或 。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類(lèi)曲線積分為。注：第二類(lèi)曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類(lèi)曲線積分的一個(gè)很重要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類(lèi)曲線積分的一個(gè)特征。注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時(shí)，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個(gè)方向就算作正向，否

4、則就算作負(fù)向。這時(shí)只要方向不變，曲線積分的值是與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的。二 第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算設(shè)曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：。且設(shè)是光滑的。設(shè)當(dāng)參數(shù)從調(diào)地增加到時(shí)，曲線從點(diǎn)按一定方向連續(xù)地變到點(diǎn)。設(shè)函數(shù)定義在曲線上，且設(shè)它在上連續(xù)。則。 （*）注：（*）積分下限必須對(duì)應(yīng)積分所沿曲線的起點(diǎn)，上限必須對(duì)應(yīng)終點(diǎn)。注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類(lèi)曲線積分為例：計(jì)算積分, L的兩個(gè)端點(diǎn)為A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合, 路徑為（1）直線段AB ；（2）拋物線；（3）折線閉合路徑A( 1, 1 )D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1

5、)。. 例：計(jì)算積分, 這里L(fēng) : （1）沿拋物線從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 )；（2）沿直線從點(diǎn)O( 0 , 0 )到點(diǎn)B( 1 , 2 )；（3）沿折線封閉路徑O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). 例：計(jì)算第二型曲線積分I = , 其中L是螺旋線，從到的一段。三 兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系 第一類(lèi)曲線積分與第二類(lèi)曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為 例：證明：對(duì)于曲線積分的估計(jì)式為。利用這個(gè)不等式估計(jì)：并證明。例：設(shè)平面區(qū)域有一條連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域的面積設(shè)為，推導(dǎo)用曲線積分計(jì)算面積的公式為：。§

6、;4 第二類(lèi)曲面積分一 曲面的側(cè)的概念1單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類(lèi)曲面的一個(gè)典型例子。2曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)雙側(cè)曲面的定向: 曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè). 設(shè)法向量為 ,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量, 即選“+”號(hào)時(shí)，應(yīng)有，亦即法線方向與軸正向成銳角. 類(lèi)似確定其余各側(cè)的法線方向. 封閉曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).二 第二類(lèi)曲面積分的定義先討論由顯式方程 表示的無(wú)重點(diǎn)的光滑曲面,并設(shè)在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設(shè)選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向。 現(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設(shè)為在平面上的

7、投影，從而也得到區(qū)域的一個(gè)相應(yīng)分割。如果取的是上側(cè)，這時(shí)所有算作正的。如取下側(cè)，這時(shí)所有算作負(fù)的。設(shè)有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點(diǎn)，作和式其中表示的面積。由上述所見(jiàn)，是帶有符號(hào)的，它們的符號(hào)是由所選的側(cè)來(lái)決定的。設(shè)為的致敬，記。若當(dāng)時(shí)，有確定的極限，且與曲面分割的方法無(wú)關(guān)，也點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，則稱(chēng)為沿曲面的所選定的一側(cè)上的第二類(lèi)曲面積分，記為。注：有時(shí)也會(huì)碰到幾個(gè)積分連在一起的情形，例如：。注：如果沿曲面的另一側(cè)積分，則所得的值應(yīng)當(dāng)變號(hào)。三 兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系及第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算 第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系設(shè)為曲面的指定法向, 則. 定理1 設(shè)是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù), 以的上側(cè)為正側(cè)(即), 則有 .類(lèi)似地, 對(duì)光滑曲面D, 在其前側(cè)上的積分 .對(duì)光滑曲面 D, 在其右側(cè)上的積分 .計(jì)算積分時(shí), 通常分開(kāi)來(lái)計(jì)算三個(gè)積分 , , .為此,分別把曲面投影到Y(jié)Z平面, ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算.投影域的側(cè)由曲面的定向決定. 推論 設(shè),是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),則有 =曲面的方向?yàn)樯蟼?cè), 則等式前取“”號(hào); 曲面的方向?yàn)橄聜?cè), 則等式前取“”號(hào).例：計(jì)算積分,其中是球面 在部分取外側(cè)。 例：計(jì)算積分，為球面取外側(cè). 解： 對(duì)積分, 分別用和記前半球面和后半球面