2019-2020年高中數(shù)學(xué)4.2.2函數(shù)建模案例教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修1

1、019-2020 年高中數(shù)學(xué) 422 函數(shù)建模案例教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修 1導(dǎo)入新課思路1.（事例導(dǎo)入）一輛汽車在水平的公路上勻加速行駛，初速度為vo，加速度為a,那么經(jīng)過t小時(shí)它的速度為多少？在這t小時(shí)中經(jīng)過的位移是多少？試寫出它們的函數(shù)解析式，它們分別屬于哪1種函數(shù)模型？v=Vo+at,s=vot+2at2,它們分別屬于一次函數(shù)模型和二次函數(shù)模型.不僅在物理現(xiàn)象中用到函數(shù)模型，在其他現(xiàn)實(shí)生活中也經(jīng)常用到函數(shù)模型，今天我們繼續(xù)討論函數(shù)模型的應(yīng)用舉例.思路2.（直接導(dǎo)入）前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的應(yīng)用，今天我們?cè)陟柟毯瘮?shù)模型應(yīng)用的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論函 數(shù)擬合問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題1我市某企業(yè)

2、常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)需求預(yù)測(cè)：進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，前8年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量將平穩(wěn)增長(zhǎng)已知xx年為第一年，頭4年年產(chǎn)量f（x）（萬(wàn)件）如下表 所示：x1234f(x)4.005.587.008.441畫出xx年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；建立一個(gè)能基本反映.（誤差小于0.1）這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量發(fā)展變化的函數(shù)模型，并求之.2xx年（即x=7）因受到某外國(guó)對(duì)我國(guó)該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量應(yīng)減少30%試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定xx年的年產(chǎn)量應(yīng)該約為多少？2什么是函數(shù)擬合？3閱讀教材節(jié)約用氣的案例，總結(jié)建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本過程.討論結(jié)果：1如圖15,設(shè)f(x)=ax+b,代入(1,4)

3、,(3,7),a+b=4, 得|3a+b=7,35解得a= ,b=.一35f( (x) ) =2x+ 空空. .檢驗(yàn)：f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08 0,且52040 x0,即0vxv13,于是可得2y=(52040 x)x200= 40 x+520 x200,0vxv13.易知，當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值.所以，只需將銷售單價(jià)定為11.5元，就可獲得最大的利潤(rùn).變式訓(xùn)練某工廠現(xiàn)有80臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器平均每天生產(chǎn)384件產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備增加一批同類機(jī)器 以提高生產(chǎn)總量，在試生產(chǎn)中發(fā)現(xiàn)，由于其他生產(chǎn)條件沒變， 因此每增加一臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器平均每天將少生產(chǎn)4件產(chǎn)品.(1)如果增加x臺(tái)

4、機(jī)器，每天的生產(chǎn)總量為y件，請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式；(2)增加多少臺(tái)機(jī)器，可以使每天的生產(chǎn)總量最大？最大生產(chǎn)總量是多少？解：(1)設(shè)在原來(lái)基礎(chǔ)上增加x臺(tái)，則每臺(tái)生產(chǎn)數(shù)量為3844x件，機(jī)器臺(tái)數(shù)為80+x, 由題意有y=(80+x)(3844x).2(2)整理得y= 4x+64X+30 720,由y= 4x+64x+30 720,得y= 4(x8)+30 976,所以增加8臺(tái)機(jī)器每天生產(chǎn)的總量最大，最大生產(chǎn)總量為30 976件.點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)模型是現(xiàn)實(shí)生活中最常見的數(shù)學(xué)模型例2某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm607080901001101201301401501601

5、70體重6.137.909.9912.115.017.520.926.831.138.847.255.0/kg520261555（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)， 能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型， 使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū) 未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.（2）若體重超過相同身高男性體重的1.2倍為偏胖， 低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175 cm，體重為78 kg的在校男生的體重是否正常？活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖. 觀察發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線.根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，可以考慮用y=

6、a- bx這一函數(shù)模型來(lái)近似刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系.解：（1）以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖（圖17）.根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可以考慮用y=a-bx作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm關(guān)系的函數(shù)模型.7.9=a-b70,如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70,7.90）,（160,47.25），代入y=a-b：得仮47.25=a-b.用計(jì)算器算得a-2,b-1.02.這樣，我們就得到一個(gè)函數(shù)模型：y=2X1.02x.的關(guān)系.由計(jì)算器算得y63.98.由于78-63.981.221.2,所以這個(gè)男生偏胖.變式訓(xùn)練九十年代，政府間氣候變化專業(yè)委員會(huì)（IPCC）

7、提供的一項(xiàng)報(bào)告指出：使全球氣候逐年變 暖的一個(gè)重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO濃度增加.據(jù)測(cè)，1990年、1991年、1992年大氣中的CO濃度分別比1989年增加了1個(gè)可比單位、3個(gè)可比單位、6個(gè)可比 單位.若用一個(gè)將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式,或作出上述函數(shù)的圖像（圖18），可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高將x=175代入y=2X1.02x，得y=2X1.02175,圖17函數(shù)模擬九十年代中每年CQ濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a-bx+c（其中a,b,c為常數(shù)），且又知

8、1994年大氣中的CQ濃度比1989年增加了16個(gè)可比單位，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？2解：若以f(x)=px+qx+r作模擬函數(shù)，p+q+r=1， 則依題意得；4p+2q+r=3,9p+3q+r=6,1 :p=2，解得iq=2，r=0,i2i所以f(X)=gx+qX.(2)若以g(x)=abx+c作模擬函數(shù)，ab+c=1,2則3 ab+c=3,、ab3+c=6,8 a 所以g(x)=3易丿一3.利用f(x)、g(x)對(duì)1994年CQ濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f(5)=15可比單位，g(5)=17.25可比單位，121一/|f(5)16|v|g(5)16|，故選f(x)=x+歹 作

9、為模擬函數(shù)與1994年的實(shí)際數(shù)據(jù)較為接近思路2例1某自來(lái)水廠的蓄水池有400噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注水60噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，t小時(shí)內(nèi)供水總量為120.6t噸，其中0Wt24.(1)從供水開始到第幾小時(shí)，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸？(2)若蓄水池中水量少于80噸時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，請(qǐng)問：在一天的24小時(shí)內(nèi),有幾小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象？活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo).思路分析：首先建立函數(shù)模型，利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題.8a=3,解得b=3,2c=3,解：設(shè)供水t小時(shí)，水池中存水y噸，則y=400+60t120 6t=60(t6)

10、2+40(1t24),當(dāng)t=6時(shí)，ymin=40(噸)，故從供水開始到第6小時(shí)，蓄水池中的存水量最少，最少存水為40噸.依條件知妙芬訐2+4080JWt24,832328解得t亍，訂3= &故一天24小時(shí)內(nèi)有8小時(shí)出現(xiàn)供水緊張.例2某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1 000個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x(0vxv1)，則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8X，已知日利潤(rùn)=(出廠價(jià)一成本)X日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利潤(rùn)為y.(1)寫出y與x的關(guān)系式；(2

11、)為使日利潤(rùn)有所增加，求x的取值范圍.解：由題意，得y=60X(1+0.5x)40X(1+x)X1 000X(1+0.8x)=2 000(4x2+3x+10)(0vxv1).y即牝XI(2)要保證日利潤(rùn)有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)*0 x0,即*0 x25)購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2,貝U12300y2=(3x3x+300)+200X1.8x0.85=+3x+303(x25).xx函數(shù)y2在25，+s)上是增函數(shù)，當(dāng)x=25時(shí)，y2取得最小值為390.而390V417，該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件.拓展提升如何用函數(shù)模型解決物理問題？例：在測(cè)量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差， 使得n次測(cè)量分

12、別得到a, a2,an共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量的物理量的最佳近似值”a是這樣一個(gè)量：與其他近似值比較a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從a, a3,，an推出的a=_.活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：此題應(yīng)排除物理因 素的干擾，抓準(zhǔn)題中的數(shù)量關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題.2 2解：由題意可知，所求a應(yīng)使y=(aaj+(aan)最小，丄十2x2z222、由于y=na2(a1+a2+an)a+(a1+a2+an).若把a(bǔ)看作自變量，則y是關(guān)于a的二次函數(shù)，于是問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.因?yàn)閚0, 二次函數(shù)f(a)的圖像開口方向向上，1當(dāng)a=-(a1+a2+a

13、n)時(shí)，y有最小值，n1所以a=(ai+a2+an)即為所求.n點(diǎn)評(píng)：此題在高考中是具有導(dǎo)向意義的試題，它以物理知識(shí)和簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，并以物理學(xué)科中的統(tǒng)計(jì)問題為背景，給出一個(gè)新的定義，要求學(xué)生讀懂題目， 抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，即y=(aai)2+(aa2)2+(aan)：然后運(yùn)用函數(shù)的思想方法去解決問題.解題關(guān)鍵是將函數(shù)式化成以a為自變量的二次函數(shù)形式，這是函數(shù)思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.課堂小結(jié)1鞏固函數(shù)模型的應(yīng)用.2初步掌握函數(shù)擬合思想，并會(huì)用函數(shù)擬合思想解決實(shí)際問題.作業(yè)習(xí)題42 B組1,2.設(shè)計(jì)感想本節(jié)通過事例引入課題，接著通過事例讓學(xué)生感受什么是函數(shù)擬合；

14、思路1例1是函數(shù)模型的應(yīng)用，例2是函數(shù)擬合的應(yīng)用， 這都是本節(jié)的重點(diǎn).因此本節(jié)選用了多個(gè)地市的模擬 試題進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，其中開放性函數(shù)擬合問題更值得關(guān)注.本節(jié)素材鮮活豐富， 結(jié)構(gòu)合理有序，難度適中貼近高考.備課資料備選例題【例1】 某車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為2萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元， 已知總收益R(總收益指工廠出售產(chǎn)品的全部收入，它是成本與總利潤(rùn)的和，單位：元)是年產(chǎn)量Q單位：件)的函數(shù)，滿足關(guān)系式：400Q-比，OWQC 400,R=f(Q=i280 000,Q400,求每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少元？300Q-20 000,0WQW400,解：y=R10

15、0Q-20 000=2(Q Z).60 000-100Q, Q40012(1)0WQW400時(shí)，y= 2( Q- 300)+25 000,當(dāng)Q=300時(shí)，ymax=25 000.(2) Q 400時(shí)，y=60 000100Qri+2時(shí)，圓G與圓G相離；(2)當(dāng)I=ri+r2時(shí)，圓G與圓C2外切；(3)當(dāng)|ri-T vlvri+r2時(shí)，圓C與圓C2相交；(4)當(dāng)I= |ri-中時(shí)，圓C與圓C2內(nèi)切；(5)當(dāng)Iv|ri-r2|時(shí)，圓Ci與圓C2內(nèi)含.3.情態(tài)與價(jià)值觀讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想(二) 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)與難點(diǎn)：用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系(

16、三) 教學(xué)設(shè)想教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入i.初中學(xué)過的平面幾何 中，圓與圓的位置關(guān)系有幾 類？教師引導(dǎo)學(xué)生回憶、舉例， 并對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)； 學(xué)生回 顧知識(shí)點(diǎn)時(shí)，可互相交流結(jié)合學(xué) 生已有知識(shí) 以驗(yàn)，啟發(fā) 學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué) 習(xí)興趣概念形成2判斷兩圓的位置關(guān)系， 你有什么好的方法嗎？利用連心線的長(zhǎng)與兩圓半徑和、差的關(guān)系教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中 的相關(guān)內(nèi)容，注意個(gè)別輔導(dǎo)，解 答學(xué)生疑難，并引導(dǎo)學(xué)生自己總 結(jié)解題的方法學(xué)生觀察圖形并思考，發(fā)表 自己的解題方法引導(dǎo)學(xué) 生明確兩圓 的位置關(guān) 系， 并發(fā)現(xiàn)判斷和解決 兩圓的位置 關(guān)系的方 法應(yīng)用舉例3.例3你能根據(jù)題目， 在同一個(gè)直角坐標(biāo)

17、系中畫出 兩個(gè)方程所表示的圓嗎？你教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少 學(xué)生利用“圖形”求，對(duì)這些學(xué) 生應(yīng)該給矛表?yè)P(yáng)同時(shí)強(qiáng)調(diào)，解培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)從中發(fā)現(xiàn)了什么？析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科應(yīng)用舉例4根據(jù)你所畫出的圖形， 可以直觀判斷兩個(gè)圓的位置 關(guān)系如何把這些直觀的事 實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？師：?jiǎn)l(fā)學(xué)生利用圖形的特 征，用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問 題生：觀察圖形，并通過思考， 指出兩圓的交點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為兩 個(gè)圓的方程聯(lián)立方程組后是否有 實(shí)數(shù)根，進(jìn)而利用判別式求解進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解 決問題、 分 析問題的能 力利用判 別式來(lái)探求 兩圓的位置 關(guān)系5從上面你所畫出的圖 形，你能發(fā)現(xiàn)解決兩個(gè)圓的位 置的其它

18、方法嗎？師：指導(dǎo)學(xué)生利用兩個(gè)圓的 圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)、連心線長(zhǎng)的 關(guān)系來(lái)判別兩個(gè)圓的位置生：互相探討、交流，尋找 解決問題的方法，并能通過圖形 的直觀性，利用平面直角坐標(biāo)系 的兩點(diǎn)間距離公式尋找解題的途 徑進(jìn)一步 激發(fā)學(xué)生探 求新知的精 神，培養(yǎng)學(xué) 生6.如何判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系呢？師：對(duì)于兩個(gè)圓的方程，我 們應(yīng)當(dāng)如何判斷它們的位置關(guān)系 呢？引導(dǎo)學(xué)生討論、交流，說出 各自的想法，并進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)， 補(bǔ)充完善判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系 的方法從具體 到一般總結(jié) 判斷兩個(gè)圓 的位置關(guān)系 的一般方法7閱讀例3的兩種解法， 解決第137頁(yè)的練習(xí)題師：指導(dǎo)學(xué)生完成練習(xí)題生：閱讀教科書的例3，并完成第137頁(yè)的練

19、習(xí)題鞏固方法， 并培養(yǎng) 學(xué)生解決問 題的能力方法拓展延伸8若將兩個(gè)圓的方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？師：引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生相交弦所在直線的方程的求法生：通過判斷、分析，得出 相交弦所在直線的方程得出兩個(gè)圓的相交 弦所在直線 的方程9兩個(gè)圓的位置關(guān)系是師：引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證結(jié)論進(jìn)一步否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個(gè)圓中的一個(gè)圓的關(guān)系呢？生：互相討論、交流，驗(yàn)證 結(jié)論.驗(yàn)證相交弦的方程.歸納總結(jié)10.課堂小結(jié)：教師提出下列問題讓學(xué)思考：(1)通過兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷，你學(xué)到了什么？(2)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？(3)如何利用兩個(gè)圓的相交弦來(lái)判斷它們的位置關(guān)系？回顧、 反思、總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)體 系.課外作業(yè)布置作業(yè)：見習(xí)案4.2第二課時(shí)學(xué)生獨(dú)立完成鞏固深化所學(xué)知識(shí).備選例題_ 2 2 2 2 2例1已知圓G：x+y-2mx+ 4y+