2018年高三高三數(shù)學經(jīng)典二輪復(fù)習專題三---三角函數(shù)與平面向量

1、專題三三角函數(shù)與平面向量知識網(wǎng)絡(luò)圖解同角二渤瞬贓基彳關(guān)系式考情分析及命題趨勢1三角函數(shù)是基本的初等函數(shù)目前，我們對三角函數(shù)性質(zhì)的了解，全面地反映了我們在高中階段 對函數(shù)性質(zhì)的研究所要達到的深度和廣度三角函數(shù)自成體系（定義、圖象、性質(zhì)、三角公式及變換等） 同時通過它，又與數(shù)形緊密地聯(lián)系在一起.2平面向量在高中數(shù)學體系中獨立成章向量可以和數(shù)一樣運算，同時向量將數(shù)與形統(tǒng)一了起來， 以向量為工具可以有效地解決數(shù)學和物理學科中的許多問題要認真體會在正、余弦定理的推理過程中向 量所起的作用.3對于三角函數(shù)，應(yīng)熟練掌握其基礎(chǔ)知識，把握住三角函數(shù)圖象的幾何特征，靈活應(yīng)用（正用、逆用、變用）三角公式；靈活變換角

2、，如a= （a+$ B；運用 7 方程與函數(shù)思想對于向量，應(yīng)理解其運算的深層次意義，比如 a b 把長度、角度、數(shù)相聯(lián)結(jié)又比如通過丨a | =、a2可將向量問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題注意用坐標處理向量對于解析（立體）幾何問題，比如平行、垂直，有時先用向量表達，再通過向 量的運算來處理，最后把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)，這種方法比較簡單.4從近年考試說明和高考試題來看，對三角函數(shù)要求并不高題型多為選擇題和解答題高考三衢變換三角副K平面向量牌料三角形誘導(dǎo)公式期】差公式二倍角公式性瞬弦運理平行築件 垂直條件對度問題 宦比分成坐標公式 平移問題2二對向量的要求也基本如此，但要求有逐漸加強之勢因此，對三角函數(shù)的復(fù)習應(yīng)注意基礎(chǔ)

3、性，對向量的復(fù) 習應(yīng)注意綜合性.第 12 課時三角變換主干知識整合i 三角恒等變換是一種基本技能，從題型上一般表現(xiàn)為對三角式的化簡、求值與證明對所給三角 式進行三角恒等變換時，除需使用三角公式外，一般還需運用代數(shù)式的運算法則或公式如平方差公式、 立方差公式等對三角公式不僅要掌握其原形”，更要掌握其 變形”，解題時才能真正達到運用自如，左右逢源的境界.2 在運用三角公式進行三角變換時，要從三角函數(shù)名稱和角的差異雙角度去綜合分析，再從差異的 分析中決定三角公式的選取一般變換的規(guī)律是：切割化弦，異名化同名，異角化同角，高次化低次，無 理化有理.3三角函數(shù)式的化簡、求值、證明(1) 三角函數(shù)式的化簡、

4、求值、證明三種題型使用的工具是一致的，方法也是相通的；(2 )倍角公式和萬能公式都建立了 2a與a a與蘭的關(guān)系，正切函數(shù)起主要作用；真題新題探究【例 1】 2018 年湖北已知 6sina+siacos a 2cos =0, a , n,求 sin(2a+ )的值.23【分析】 通過已知的條件式，求出角a的一個三角函數(shù)值，然后利用同角三角函數(shù)公式與兩角和等公式求解.【解】解法一：由已知，有(3sina+2cosa)( 2sinacosa)=0 得 3sina+2cosa=0 或 2sinacos a=0,由此知 cosa,0 aM.2兀2即a , n于是 tanav0, - - tan aa

5、sin =sinacosa+(cos2asin2a)n sin(2a+ )=sin2a3JI-cos+cos232二32sin a cosa . 3-J-sin2a cos2a 22 2 2cos a -sin a tana . 3 1 -tan a-:-:- =-:- 十- *-:-sin2a cos2a tan2a 121 tan2a將tana=3代入得sin(2a+)=131(3)2 -解法二：由已知 cosa,0 a上，即卩a22 2 2sina=sin3=sin( 3 a)=n有故 OWa琢,6sin?a6tan?a+sinacos2aos2()=()+tan -a2=0,(3tan

6、a+2(2tan二tan2 13(tana=舍去)， 2sin2a+cosa=1 cos2a =1 +ta ncosa =3132sina= .J13nsin(2a+ )3n：=sin2a cos+cos23sin=sinacos22(2cosa1)=133 29 _1=空2131326【評本題主要考查對三角函數(shù)同角關(guān)系和兩角和及倍角公式的掌握，正確地選用公式并注意題設(shè)中角的范圍,【例2】是解此題關(guān)鍵.已知 f (0)=sin20+sin (0+a+sin2(0+3,其中 OWaW nW試問a 3為何值時，f (0)為與B無關(guān)的定值.【分若 f (0為與0無關(guān)的定值，則有 f( 0 ) = f

7、 (-a)= f (-3)= f (二)，即可求 a3,再20把a、3代入,【解看 f (B)是否為定值.設(shè) f (0)=sin20+sin (0+ +sin2(0+3為與B無關(guān)的定值,則 f (0)=f(- a=f(- 3)n=f(222222曰 sin疋2=1+cosa2小+cos3JI二a=,3反之，若33JIa=,32 2f( 0)=sin0+in (3，則3jisin2(二21 .=sin0#sin712 22 -cos)2(_si n3cos寸)222=sin2丁2(】sin2寸4jia=,3所以，當33產(chǎn)2r (定值).3二時，f (0)為與0無關(guān)的定值.3244424【評析】

8、本題是用先特取再反代的方法求解這種逆向思維的解題過程應(yīng)值得重視.3【例 3】 已知 f (x)=2sin ( x+ )cos( x+ )+cos2( x+ )-、32 222(1)試化簡 f (x)的解析式；(2 )若 0,n,試求出使 f (x)為偶函數(shù)時的B的值；(3 )在(2)成立的條件下，求滿足f( x)1且 x n n的集合.【分析】 通過和角公式與降次方法以及輔助角公式可將f( x)化簡為形如 Asin (3X+0)或 Acos(曲+心的函數(shù)，再根據(jù)題設(shè) f ( x) =f ( x)與 氏:0,n可確定B的值，利用 f (x)的單調(diào)性或圖象法，可得出簡單的不等式 f(x)1且 x

9、L 二，二的解集【解】(1)Tf (x) =sin (2x+0)+V3cos(2x+日)一J3=sin ( 2x+0)+V3cos (2x+0)2兀、=2 sin (2x+0 -)3n f(x)=2 sin (2x+0+).3(2) 依題意f(x) =f (x)，二0 = +knk 乙又00,n, 0=時，f(x)為偶函數(shù).326二1二5二丄口&,2si n( 2x+)蘭1,cos2x蘭一，k兀+Ex蘭k+ ，kZ(3) 由(2)即解 2二 2二66一兀Ex蘭兀，I一兀蘭x蘭兀， 一兀蘭X蘭兀滿足題意的 x 的集合是-5,， 6 6 6 6【評析】 本題主要考查可化為 Asin(3X+

10、的函數(shù)的性質(zhì)，熟練地進行三角函數(shù)式的化簡，會運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解決問題是此題獲解的關(guān)鍵.【例 4】 若函數(shù) f (x) = a+bcosx+ csinx 的圖象過點 A ( 0, 1 )和 B ( , 1 )且 x 0,時 f (x)2 22恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.【分析】 將點 A, B 的坐標代入函數(shù)式，求得 a, b, c 的關(guān)系后，通過消元，可得到含參數(shù) a 的三 角函數(shù)式，然后根據(jù) f (x)的值域轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a 的不等式.【解】 由已知 A (0, 1)與 B ( , 1)在 f (x)的圖象上，2 f ( 0) =a+b=1, f ( ) =a+c=1.2 b=c=1

11、 a,3 : x 0, , 一 (+ f (x) =a+ (1 a) (cosx+sinx)=a+2(1 a)JIsin(x+ )42:sin( x+一) 1244424依題意，只需對 f (x)的最小值與 1 a 的正負進行討論:當 awl 時，1f (x) 1 時，a+2(1 a)W(x)1只要 a+、.2(1 一 a) 2，解得 a 4+3.2,1va4+3.、2.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是 2 , 4+3、一2.【評析】 本題考查三角函數(shù)式的化簡與三角函數(shù)性質(zhì)運用的能力，其中代入消元和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.方法技巧提煉1.三角變換常用的方法技巧有切割化弦法，升幕降幕法、輔助元素法

12、，“1 的代換法等.2 .對于三角公式要記憶準確(在理解基礎(chǔ)上)，并要注意公式成立的條件，在應(yīng)用時，要認真分析,合理轉(zhuǎn)化，避免盲目性.第 13 課時三角函數(shù)圖象與性質(zhì)主干知識整合1 .三角函數(shù)的圖象包括： y=sinx、y=cosx、y=tanx 的圖象； 五點法畫出 y=Asin (此+$)的簡圖; 利用平移和伸縮變換畫出y=Asin(sx+O)的圖象.對三角函數(shù)圖象要從對稱軸和有界性雙角度去把握，對稱性包括對稱軸和對稱中心兩個關(guān)鍵要素，這是高考命題的一個熱點.2 .三角函數(shù)的性質(zhì)包括：奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值.其中對三角函數(shù)性質(zhì)的研究要 首先建立在定義域的基礎(chǔ)之上.而求三角函數(shù)的定義域

13、往往要解三角不等式， 解三角不等式的方法一般表 現(xiàn)為圖象法或三角函數(shù)線法.對三角函數(shù)性質(zhì)的考查總是與三角變換相結(jié)合.一般解題規(guī)律是先對三角函數(shù)關(guān)系式進行三角變換, 使之轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式，再利用換元法轉(zhuǎn)化為對基本三角函數(shù)性質(zhì)的研究.真題新題探究11【例 1】已知函數(shù) f (x)是定義在(一丄，丄)上的奇函數(shù)且為減函數(shù)，又函數(shù)滿足f (1 sinx)33+f (1 sin x)v0，求 x 的取值范圍.【分析】 把題目中的抽象的不等式轉(zhuǎn)化為具體的不等式，再化簡.112【解】 由題意得一-v1 sinxv, vsinx13334又1v1sin2xv1vsinxw 1.從而 2L6 sin

14、2x 1,2sin x+sinx2v0，10, OW喲是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點 M( ,0)對稱，且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)，求3和0的值.42【分析 抓住函數(shù) f( x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱，且有f( x)=f( x),又圖象關(guān)于點 M(蛍0)4對稱，則有f (- x)=f(3x)，這兩點是解決本題的關(guān)鍵.44【解 由 f (x)是偶函數(shù)，得 f ( x) =f ( x).即 sin( 3X+0)=sin( wx+)， cos sin x=cos sin3對任意 x 都成立，且w0，所以得 cos =0f(1sinx)vf(sin2x1).(2kn+,2kn+arcs(k Z

15、).43仙兀自然cos=0，最后，對求出的3分類討論，驗證是否滿足題意.依題設(shè)0W n所以得=.23 :-由 f(x)的圖象關(guān)于點3:3:M(- ,0)對稱，得取得f (3x)二-f ( x)得 x=0,得f( )= 一f(444443 ,3兀、f()=0.4Tf(匹)=前(匚443鳥-：=cos-4又30，得2)3蔦丄 二=+knk=0,1,2,2當 k=0 時,423二當 k=1 時,3=2,2兀f (x) =sin( x )在32JI3wn- cos=0.420) (2k+1),k=0,1,2,川3n:0, 上是減函數(shù)；2JTf (x) =sin(2x)在0,上是減函數(shù);2 23, f

16、(x) =sin( x )在323 =-或3=23【評析本小題考查三角函數(shù)的圖象和單調(diào)性、當 k 時,所以，綜合得:3兀3TI力.解答本題的關(guān)鍵是得到f ( )=sin(40,上不是單調(diào)函數(shù).2奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能兀3國兀)=cos式后，立即聯(lián)想到點 M 的坐標(匚，0 ),42442X【例 3】 已知函數(shù) f (x) =a(cossinx)+b2(1 )當 a=1 時，求 f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當 av0, x 0,兀時，f (x)的值域是3, 4,求 a, b 的值,【分析】 關(guān)鍵是把 f (x)的表達式化成單角的三角函數(shù).【解】(1) / a=1,2x二

17、f (x)=2 cos sin x b2=sin x+cosx+b_l=.2sin(x )+1 + b,y=sinx 的單調(diào)遞增區(qū)間是2k兀K ,2kn,kZ.22當 2k 兀一一w(+nn即 2kn3二JI n一,k Z 時 f (x)時是增函數(shù),24244f (x)單調(diào)遞增區(qū)間是2k n-3:3兀2k n,k Z.4，4(2)由(1 )得 f (x) =. 2asin(x )+a+b,42二sin(x) w 1.Ta0, Cv n即 B+2C= 3兀 兀-(B=2C)或 B=2C 一2 2JI或 2C B=.2 2由 si nA ( sin B+cosB) si nC=0 得sinAsin

18、B+sinAcosB sin (A+B) =0./ sin Asi nB+si nAcosB sin AcosB cosAs inB=0.即 sinB(sinAcosA)=0./ sinBMQ/ cosA=sinA.由 A (0, n),知TtA=.4從而 B+C=，知4JI_3兀B+2C= 不合要求.2所以 A= , B=,3再由 2C B=，得 B= , C=23124本題主要考查三角形問題等知識，關(guān)鍵是運用代換式【評C=12sin (A+B) =sinC.的【例2】2018 年湖北在厶 ABC 中，已知 AB=4-6, cosB=, AC 邊上的中線 BD=5，求 si nA36【解解法

19、一：設(shè) E 為 BC 的中點，連接DE,貝UDE / AB,且 DE=1AB=仝6，設(shè) BE=x.23在厶 BDE 中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED22BE-EDcosZBED,5=x2+8+2 衛(wèi) x,解得 x=1 , x=3363（舍去） .62 21故由正弦定理得23, sinA=70sin A V301428of 21故 BC=2，從而 AC2=AB2+BC22AB BCCOSB=，即 AC=33_221又 sin B=30，故 一236 sin A J306sinA14解法二：以 B 為坐標原點,BC 為 x 軸正向建立直角坐標系，且不妨設(shè)點A 位于第一象限.由呻=型則，BA

20、=設(shè) BC= （x,0）則 BD=（6JI-4 3x 2汀由條件得IBD1=（443x）2（235）2=5從而 x=2,x= 14（舍去）.3故CA=（二口33COSA=BA CABA CA809 99 9916 803.1414 sinA=. 1-COS2A=.7014解法三：如圖 3 14 1 所示，過 A 作 AH 丄 BC 交 BC 于 H,延長 BD 到 P使 BD=DP，連結(jié) AP、PC過 P 作 PN 丄 BC 交 BC 的延長線于 N ,貝 U14 1HB=ABCOSB=4, AH= ,3BN=BP2PN2八BP2AH2 BC=BN CN=2 ,HC=3，AC=AH2HC2尋（

21、25）10，而 CN=HB=-33【評析】 解法一通過中位線，利用余弦定理和正弦定理求解；解法二通過建立坐標系，利用向量數(shù)量積求解；解法三構(gòu)造圖形，通過幾何途徑求解.31【例 3】已知銳角三角形 ABC 中，sin( A+B)=，sin (AB) = _ .55(1) 求證：tanA=2 tanB ;(2) 設(shè) AB=3，求 AB 邊上的高.【分析】 利用兩角和與兩角差的正弦公式，可得到這兩個角正切關(guān)系式，再根據(jù)三角形中內(nèi)角和定理與平面幾何知識，可求出所給角的正切值與已知邊上的高.sin A cos B + cos A sin B由已知sin A cos B cosAsin B21 + ，得

22、sinAcosB=,，得 cosA -sinB=.55兩式相除，得tanA=2，即 tanA=2 tanB.tan B兀3(2) VA+BVn又 Sin ( A+B)=-,25 cos (A+B ) = Js in2(A + B)=-(3)2= - , tan (A+B)=-.554即tan A tanB= 3，將 tanA=2tanB 代入此式，整理得，2tan2B 4tanB 1=0.1 -tan A tan B 4解得 tan B=2一6，舍去負值，tanB=26，于是 tan A=2：；76.2 2設(shè) AB 邊上的高為 CD，則AB=AD + DB = C+C =3C乞乞,tan A

23、tan B 2+6由 AB=3，得 CD=2+6，故 AB 邊上的高為 2+, 6.【評析】 本題主要考查對兩角和與兩角差三角公式的掌握及運用能力，注意銳角三角形中隱含的條件，會把已知線段分解為被高線分成的兩線段的和，從而得到所求的高的關(guān)系式是解決此題的重要一步.【例 4】 將一塊圓心角為 120,半徑為 20cm 的扇形鋼片裁出一塊矩形鋼片，如圖3 14 2 中有兩種裁法：使矩形一邊在扇形的一條半徑OA 上，或者讓矩形一邊與弦 AB 平行，試問哪種裁法能使截得的矩形鋼片面積最大？并求出這個最大值.3515(1)【證明】圖 3 14-2【分析】 依題意，利用平面幾何知識與三角函數(shù)公式，分別求出

24、兩種裁法下所得矩形鋼片的面積的最大值，然后比較兩個最值的大小后作出結(jié)論.【解】 如圖甲，要使矩形面積最大，則0 為其一頂點且另一頂點 M 在AB上，設(shè)/ MOA=B,則矩形 PMNO 的面積 S!=20 sin 20cos0=2,0sin20當0=45 時，有最大值，為 200cm2;如圖乙，設(shè)/ MOA=0,在厶 OMQ 中，由正弦定理得 QM=0M馴日馴日.sin 120由圖形的對稱性知， / AOB 的平分線 OC 為其對稱軸，于是 MN=2OMsin ( 600),2矩形 PQMN 的面積 S2=QM- MN=2 OM32sin0sin60 0）=:800 3COS（2=一6O0）一c

25、os60 .【評析】 本題主要考查運用三角知識解決實際問題的最值能力，其中依題意，引入?yún)?shù)0,列出矩形的面積的表達式是解題的關(guān)鍵.方法技巧提煉1.解三角形時，要根據(jù)條件正確選擇正、余弦定理以及三角變換式.2 要充分發(fā)揮圖形的作用，注意三角形外接圓半徑在正弦定理中的轉(zhuǎn)化功能.第 15 課時三角與平面向量的綜合當0=30 時，S2有最大值為2cm ,又400 33200故用第二種方法可截得的矩形鋼片面積最大，最大面積為400一332cm .NOP AO Q（甲）Q主干知識整合1. 平面向量的重點內(nèi)容包括：向量的概念；向量加法及減法的定義及運算法則(三角形法則和 平行四邊形法則)；向量共線的充要條件

26、；平面向量基本定理及應(yīng)用；平面向量的坐標表示及應(yīng)用； 線段的定比分點坐標公式及應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的定義、運算律及應(yīng)用.2.向量本身具有 數(shù)”與 形”的雙重身份，因此在解題中應(yīng)充分運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，三角形法則是向量加法和減法的根本法則，具體運用時要注意和向量與差向量的方向性平面向量的數(shù)量積為向量與數(shù)量”之間架起了溝通的橋梁，只有掌握好平面向量數(shù)量積的定義及運算律， 才能在解題中得心應(yīng)手.3 禾 U 用向量的思想方法解決有關(guān)問題，如平行與垂直、夾角及平面幾何的相關(guān)問題，突出向量的工 具作用成為高考命題的新亮點.真題新題探究若函數(shù) y=2sin2x 的圖象按向量 c = ( m, n) |m

27、|v才平移后得到函數(shù) y=f (x)的圖象，求實數(shù)n 的值.【解 (1)依題設(shè) f (x) =2cos2x+ , 3sin2x=1+2sin查運算能力.【例 2已知 a、b 是兩個向量，且 a= (1,(1 )求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式 y=f (x)及其單調(diào)遞增區(qū)間；n(2 )若 x0,求函數(shù) y=f (x)的最大值、最小值及其相應(yīng)的x 的值.2【分析利用向量的數(shù)量積的坐標運算公式：ab=X1X2+y1y2，易求出函數(shù)表達式，然后借助三角函數(shù)的基本性質(zhì)來解題.【1設(shè)函數(shù) f (x) =a b，其中向量a= (2cosx, 1), b = (cosx, /3sin2x), x R.(1)右

28、 f (x) =1 J3,且 x3，求x；n nn n5n一一$ 尙，一W2+_ -,3326 6(2)函數(shù) y=2sin2x 的圖象按向量nnn - 2x+-= 一，即卩 x= 一一.634c = (m, n)平移后得到函數(shù) y=2sin2 (x m) +n 的圖象，即函數(shù)y=f (x)的圖象.由(1)得 f (x) =2sin2 x+竊 +1me n，【評析本題主要考查平面向量的概念和計算、m=-, n=1.三角函數(shù)的恒等變換及其圖象變換的基本技能，考m、,3cosx), b= ( cos2x , sinx) , x R，定義：y=a b由 1+2sin 2x+6，得 sin【解 a= (

29、1,誦 cosx), b= (cos2x, sinx),n1.3+2-y=cos單調(diào)遞增區(qū)間是k , k(k Z)36ab=cos2x+ .12(1)若點P 的坐標為(Xo, yo),B為 PM 與 PN 的夾角，求 tan9n n2n(2)由 x0 ,得一$W2$弓2333f(x)min=0,此時 x=2 ；3f ( X)max=，此時nx=6.【評析】關(guān)鍵是抓住向量的基本運算，如用坐標運算表示向量的加、減法, 表示向量平行、垂直的條件等.【例3】設(shè) a=(1+cosa,sina,b=(1cos3sin3,c=(1,0),a(0,n, 3( n2n,a與 c 的夾角為氛b與c的夾角為$,且9-嗨，求的值sin寧【分析】先由已知找到9、9與a、3關(guān)系，由99=二，求得_,6 2進而求得.asin_2【解】由 a=(2cosb=(2sin2(0,I aP,2sin2n, 3cosotOfOf,2sin cos)=2 COS (sin ,COS )2 2 222 2pppp)=2s in(si n ,cos )22222