電磁場(chǎng)及電磁波第10講靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題

1、 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波主講教師：黃文主講教師：黃文 重慶郵電大學(xué)重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院光電工程學(xué)院 電磁場(chǎng)與無(wú)線技術(shù)教學(xué)部電磁場(chǎng)與無(wú)線技術(shù)教學(xué)部 Email: 辦公室：老辦公室：老1教教1403 2Main topic3. 鏡像法鏡像法 1. 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程2. 靜電問(wèn)題解的唯一性靜電問(wèn)題解的唯一性4. 直角坐標(biāo)系中的邊值問(wèn)題直角坐標(biāo)系中的邊值問(wèn)題 Chapter 4. 靜電問(wèn)題的解靜電問(wèn)題的解3電勢(shì)電勢(shì)V 和電場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度 E 之間的之間的關(guān)系關(guān)系是：是：對(duì)上式等式兩邊分別進(jìn)行對(duì)上式等式兩邊分別進(jìn)行散度散度操作操作在在各向媒質(zhì)的線性媒質(zhì)各向媒質(zhì)的

2、線性媒質(zhì)中中, , 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 E 的散度為的散度為V E2VV EE1. 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程4電勢(shì)電勢(shì) 的差分方程為的差分方程為2V 稱(chēng)為稱(chēng)為 泊松方程泊松方程（Poissons equation）。在沒(méi)有自由電荷在沒(méi)有自由電荷（無(wú)源）（無(wú)源） 區(qū)域區(qū)域, , 上述等式變?yōu)樯鲜龅仁阶優(yōu)?0V稱(chēng)為稱(chēng)為拉普拉斯拉普拉斯方程方程（Laplaces equation）。）。 5 泊松方程泊松方程表明表明均勻媒質(zhì)均勻媒質(zhì)中，中，V的的拉普拉斯拉普拉斯運(yùn)算運(yùn)算 (梯度的散梯度的散度度) 等于等于 / , 其中 是介質(zhì)的介電常數(shù)是介質(zhì)的介電常數(shù) (它是常數(shù)它是常數(shù)) ， 是

3、是自由電荷自由電荷體密度。體密度。 算子算子 2 , 拉普拉斯算子拉普拉斯算子，代表，代表“梯度的散度梯度的散度” 或或 “”。 因?yàn)樯⒍冗\(yùn)算和梯度運(yùn)算都涉及因?yàn)樯⒍冗\(yùn)算和梯度運(yùn)算都涉及一階空間導(dǎo)數(shù)一階空間導(dǎo)數(shù)，所以泊松，所以泊松方程是一個(gè)方程是一個(gè)二階偏微分方程二階偏微分方程 ，在二階導(dǎo)數(shù)，在二階導(dǎo)數(shù)存在存在的空間中每的空間中每一點(diǎn)，二階偏微分方程都成立。一點(diǎn)，二階偏微分方程都成立。Remarks2V 6222222222aaaaaaxyzxyzVVVVVVxyzxyzVVVVxyz 22222211VVVVrrrrrz22222222111VRVRRVRRRVsinsinsin在直角坐標(biāo)系

4、中在直角坐標(biāo)系中: :在球坐杯系中在球坐杯系中:在圓柱坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中:7邊值問(wèn)題研究方法計(jì)算法解析法積分變換法積分變換法分離變量法分離變量法鏡像法（電軸法）鏡像法（電軸法）微分方程法微分方程法保角變換法保角變換法實(shí)驗(yàn)法作圖法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量數(shù)學(xué)模擬法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法物理模擬法數(shù)值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法半解析法/半數(shù)值法格林函數(shù)法格林函數(shù)法8212121120limlim()022nndddVVE dlEE表明表明: : 在介質(zhì)分界面上，電位是在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)連續(xù)的。的。 用用電位函數(shù)電位函數(shù) V V 表示分界面上的銜接條件表

5、示分界面上的銜接條件 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)1 1與點(diǎn)與點(diǎn)2 2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d d，d0d0 , ,則則1211112222,nnnnVVDEDEnn 電位的銜接條件電位的銜接條件在分界面兩側(cè)：在分界面兩側(cè)：電位法向?qū)?shù)發(fā)生躍變電位法向?qū)?shù)發(fā)生躍變12VV21nnsDD1212sVVnn9Example 1.一維泊松方程的解一維泊松方程的解 類(lèi)似例類(lèi)似例4-1（P103）兩個(gè)金屬平板面積為兩個(gè)金屬平板面積為 A相距為相距為 d 形成一個(gè)平行板電容器。形成一個(gè)平行板電容器。 上平板電上平板電勢(shì)為勢(shì)為V0 , 下平板下平板接地接地。 求解求解(a)電勢(shì)分布電勢(shì)分布

6、(b)電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度(c) 各平板的各平板的電荷分布電荷分布(d)平行板電容器的平行板電容器的電容電容對(duì)給定的圖形對(duì)給定的圖形選擇選擇合適的合適的坐標(biāo)系坐標(biāo)系2. 寫(xiě)出有關(guān)的計(jì)算式和寫(xiě)出有關(guān)的計(jì)算式和邊界條件邊界條件。解解:勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位 V只是隨高度只是隨高度 z 的變化而變化的變化而變化2222222220VVVVVVxyzz 220Vz區(qū)域中的場(chǎng)方程：000zz dVVV邊界條件1000zzzVVVEVaaDEazdd ；21220VVC zCz 區(qū)域中的場(chǎng)方程：（積分兩次）12122000001010 00 0 zzz dz dVVC zCVVzCCCVVVVVCdC

7、dd4. 特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)） 3. 方程的通解方程的通解1100;slQVAQAA CdVd 0000The lower plateThe up plat;()enznnzzslnznnzzsuVVaa DD aaaddVVaa DD aaadd ：0; :nstnDEa導(dǎo)體/介質(zhì)分界面邊界條件：；指向?qū)w外部12Example 2. 同軸線同軸線內(nèi)內(nèi)導(dǎo)體半徑為導(dǎo)體半徑為 a ，電勢(shì)為，電勢(shì)為V0 ；外導(dǎo)體；外導(dǎo)體接地接地，其半徑為，其半徑為 b。求解求解(a)兩導(dǎo)體間兩導(dǎo)體間電勢(shì)分布電勢(shì)分布(b)電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度(c)內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)導(dǎo)體的電荷密度電荷

8、密度(d)每單位長(zhǎng)度每單位長(zhǎng)度的的電容電容解解: 對(duì)給定的圖形選擇合適的對(duì)給定的圖形選擇合適的坐標(biāo)坐標(biāo)系系2. 寫(xiě)出相關(guān)的計(jì)算式和寫(xiě)出相關(guān)的計(jì)算式和邊界條件邊界條件 22222201101000rrVVVVrrrrrzV rVVrrrrrrrVVV =a=b軸對(duì)稱(chēng)的場(chǎng)，且忽略邊緣效應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)圓柱體）場(chǎng)方程邊界條件：131112lnCVVrCrrrVCrC4.4.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)） 3. 3. 方程的通解方程的通解012121020000ln; 0ln/ln(ln( )/ln( )ln( )ln( )/ln(ln( )/ln(ln(rrVVCaCVC

9、bCaaCVCVbbbrVaabVVrVbabbb =a=b）, )）14000000The inner conductor; ln(ln(ln(212ln(ln(122ln(ln(nrinrrararrsrarasaaDD aVVVaabbbrraaaaVVQSabbaaaQCbbVaa：）001210(ln)ln(ln(ln(rzrrrrrVVVEVaaarrzVVCrCCaaaaabrrrrbaVDEabra）220; :nstnDEa導(dǎo)體/介質(zhì)分界面邊界條件：；指向?qū)w外部151211220nnDDEE dE dVExample 3 一個(gè)很大的平行板電容器的上下導(dǎo)體板之間距離為一個(gè)很大

10、的平行板電容器的上下導(dǎo)體板之間距離為d，電位分別為，電位分別為V0 和和0。 在下板上面放置介質(zhì)板，其相對(duì)介電常數(shù)為在下板上面放置介質(zhì)板，其相對(duì)介電常數(shù)為 r 厚度為厚度為 0.8d。求解求解 E 和和 D 。d0.8d00VyxD2D1E2E116(1)(1) 求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域(2)(2) 分區(qū)：由于填充兩種介質(zhì)，因此場(chǎng)量在分界面上會(huì)分區(qū)：由于填充兩種介質(zhì)，因此場(chǎng)量在分界面上會(huì) 發(fā)生突變，因此，分成兩個(gè)子區(qū)域發(fā)生突變，因此，分成兩個(gè)子區(qū)域(3)(3) 建立坐標(biāo)系：豎直向上為建立坐標(biāo)系：豎直向上為y y軸方向，建立坐標(biāo)系軸方向，建立坐標(biāo)系(4)(

11、4) 場(chǎng)分布分析：在兩種介質(zhì)中都是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位場(chǎng)分布分析：在兩種介質(zhì)中都是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位V V只是隨高度只是隨高度y y的變的變化而變化化而變化 V(y)V(y)，而與，而與x x，z z無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，(5)(5) 寫(xiě)出場(chǎng)方程與邊界條件：待求量是兩個(gè)區(qū)域的電位寫(xiě)出場(chǎng)方程與邊界條件：待求量是兩個(gè)區(qū)域的電位V V1 1 、V V2 2 ，場(chǎng)方程：場(chǎng)方程：泊松方程（有源）泊松方程（有源）oror拉普拉斯方程（無(wú)源）拉普拉斯方程（無(wú)源） d0.8d00VyxD2D1E2E117區(qū)域區(qū)域1：區(qū)域區(qū)域2：210V 因?yàn)樵谠搮^(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷分布220V 因?yàn)樵谠搮^(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷分布221222222221111

12、11222222222222222222200VVVVyxzVVVVVVxyzyVVVVVVxyzy，只是 的函數(shù)，因此0d0.8d00VyxD2D1E2E118 1200120.80.8121212120.80.80.80.80 1 ; 2y34yy dydydydydydydVVVVVVVVVnnyy求解區(qū)域的邊界：分界面上的銜接條件：分界面法線方向?yàn)?方向 寫(xiě)出通解：寫(xiě)出通解：112234;VC yCVC yC一維邊值問(wèn)題一維邊值問(wèn)題BVP電位的邊界條件，兩個(gè)介質(zhì)的銜接條件：電位的邊界條件，兩個(gè)介質(zhì)的銜接條件：2212220; 0VVyy 介質(zhì)區(qū) 空氣域19120200000021211

13、21123443233231313131310002210044100230.8d=0.2d4,555;4yy drrrVCCVCyVCd CCCdVC yCdVC y dCCCVCVCCCVVVVVVVCCddVdVV 由表達(dá)式（）由表達(dá)式（）由表達(dá)式（）由表達(dá)式（）即：12004545;rrrVVyy ddV20121001200110220200011202255;4455;4455()44yryyyyrrryryrrnsrrlowernrrupnyyVEVayVVVVaaaaydydVVEaEaddaDEEDVVDddDaDDa 0005544rryyrrVaad d0.8d00Vyx

14、D2D1E2E121唯一性定理唯一性定理: 滿足給定滿足給定邊界條件邊界條件的的泊松方程泊松方程（其中拉普拉斯方程是（其中拉普拉斯方程是特例）的解是唯一解。特例）的解是唯一解。 唯一性定理唯一性定理并不代表并不代表求解靜電問(wèn)題只有唯一一種方法。求解靜電問(wèn)題只有唯一一種方法。 唯一性定理的含義是：唯一性定理的含義是：無(wú)論以何種方法無(wú)論以何種方法求解，滿足邊界條件的靜電求解，滿足邊界條件的靜電問(wèn)題的解是問(wèn)題的解是唯一唯一可能的解?？赡艿慕?。甚至甚至猜測(cè)猜測(cè)得到的解也是正確的惟一解。得到的解也是正確的惟一解。2. 靜電問(wèn)題解的唯一性靜電問(wèn)題解的唯一性邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程描述物理量數(shù)學(xué)物理方程

15、描述物理量隨時(shí)間和空間隨時(shí)間和空間的變化特性。對(duì)特定的區(qū)域的變化特性。對(duì)特定的區(qū)域和時(shí)間，方程的解基于和時(shí)間，方程的解基于初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件，它們又稱(chēng)為，它們又稱(chēng)為定解條件定解條件。靜電場(chǎng)與靜電場(chǎng)與時(shí)間時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解程的解僅僅決定于決定于邊界條件邊界條件。定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件根據(jù)給定邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的根據(jù)給定邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題。 此處邊界條件實(shí)際上是指給定的此處邊界條件實(shí)際上是指給定的邊值邊值，它，它不同于不同

16、于前一章描前一章描述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量述靜電場(chǎng)的邊界上場(chǎng)量變化變化的邊界條件。的邊界條件。23根據(jù)已知區(qū)域邊界條件（定解條件）的不同，電位邊值問(wèn)題分為根據(jù)已知區(qū)域邊界條件（定解條件）的不同，電位邊值問(wèn)題分為三類(lèi)：三類(lèi)：第一類(lèi)第一類(lèi)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)問(wèn)題問(wèn)題是給定區(qū)域是給定區(qū)域邊界上邊界上的電位值：的電位值：第二類(lèi)第二類(lèi)紐曼紐曼(Neumann)問(wèn)題問(wèn)題是給定區(qū)域邊界上的電位的是給定區(qū)域邊界上的電位的法向?qū)?shù)值法向?qū)?shù)值：第三類(lèi)第三類(lèi)混合邊值問(wèn)題混合邊值問(wèn)題在區(qū)域的在區(qū)域的一部分邊界上一部分邊界上給定電位值，給定電位值，另一部分邊界上另一部分邊界上給定電位的法給定電位的法向?qū)?/p>

17、數(shù)值。向?qū)?shù)值。 2 fS2 gSn求解方法：均為求解方法：均為分離變量法。分離變量法。242222220VVVxyz 在在直角直角坐標(biāo)中，標(biāo)量電位坐標(biāo)中，標(biāo)量電位V 的拉普拉斯方程為的拉普拉斯方程為( , , )( ) ( ) ( )V xyzX x Y y Z z令令代入上述式子，除以代入上述式子，除以X(x)Y(y)Z(z) 得到得到0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX每一項(xiàng)都每一項(xiàng)都只是一個(gè)坐標(biāo)變量只是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)的函數(shù) 。為了使式子對(duì)為了使式子對(duì) x、y和和 z 的所有的所有值都成立，三項(xiàng)中值都成立，三項(xiàng)中每一項(xiàng)每一項(xiàng)都必須為都必須為常數(shù)常數(shù)。令常數(shù)為令常數(shù)為 ,

18、 可得可得222 , ,zyxkkk3. 直角坐標(biāo)中的邊值問(wèn)題直角坐標(biāo)中的邊值問(wèn)題250dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz 三個(gè)分離常數(shù)并非相互獨(dú)立，而是滿足以下條件：三個(gè)分離常數(shù)并非相互獨(dú)立，而是滿足以下條件：0222zyxkkk 三維三維偏偏微分方程可分離為三個(gè)微分方程可分離為三個(gè)常常微分方程微分方程, 而常微分方程的解而常微分方程的解很容易得到。很容易得到。xkxkxxBAxXjjee)(xkDxkCxXxxcossin)(或或其中其中 A, B, C, D 為需要確定的常數(shù)為需要確定的常數(shù) 。kx ，ky ，kz 稱(chēng)為分離常數(shù)稱(chēng)為分離常數(shù), 可以是可以是

19、實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)也可以是也可以是虛數(shù)虛數(shù)。如果如果 kx 為為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù), 關(guān)于變量關(guān)于變量 x 的方程解可以寫(xiě)作（表的方程解可以寫(xiě)作（表4-1，P119)26xxBAxXee)(xDxCxXcoshsinh)(或或 關(guān)于變量關(guān)于變量 y 和和 z 的方程的解具有的方程的解具有相同的形式相同的形式。這些解的。這些解的乘積乘積就是就是最初的偏微分方程的解。最初的偏微分方程的解。 分離常數(shù)分離常數(shù) 也可以為虛數(shù)。如果為也可以為虛數(shù)。如果為虛數(shù)虛數(shù)，可以寫(xiě)為，可以寫(xiě)為 , 式子式子關(guān)于變量關(guān)于變量 x 的解變?yōu)榈慕庾優(yōu)閖xkxk 已知的已知的邊界條件邊界條件將決定恰當(dāng)?shù)膶Q定恰當(dāng)?shù)慕獾男问浇獾男问?，及常?shù)，及

20、常數(shù)A和和B或或C或或C和和D的選取。的選取。2222220VVVxyz27 Example. （例（例4-6，p120)兩塊接地的半無(wú)限大平行電極板相距兩塊接地的半無(wú)限大平行電極板相距d。與這兩塊電極板垂直且絕緣的。與這兩塊電極板垂直且絕緣的第三塊電極板保持恒定電位第三塊電極板保持恒定電位V0。求由電極板圍成區(qū)域內(nèi)的電位分布。求由電極板圍成區(qū)域內(nèi)的電位分布。解解: 選擇選擇直角直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系。 因?yàn)殡姌O板在因?yàn)殡姌O板在z-方向是無(wú)限大方向是無(wú)限大, 所求區(qū)域電位與所求區(qū)域電位與z 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 為為二二維問(wèn)題。電位的拉普拉斯方程為變?yōu)椋壕S問(wèn)題。電位的拉普拉斯方程為變?yōu)椋?2220VVxydx

21、yV = 0V = 0V = V0O28( , )( ) ( )V xyX x Y y用用分離變量法分離變量法，令，令凹槽內(nèi)凹槽內(nèi)電位的邊界條件電位的邊界條件 可表示為可表示為為滿足邊界條件為滿足邊界條件 和和 , Y(y) 的解可以選為的解可以選為( , )0 V xd ( , 0)0V xykBykAyYyycossin)(0(0, )VyV( , )0Vy( , 0)0V x( , )0 V xd 3, 2, 1, ,ndnky 從邊界條件從邊界條件 , 在在y = 0時(shí)有時(shí)有V = 0 ，于是常數(shù)于是常數(shù) B = 0。為滿足 , 常數(shù)常數(shù) ky 為為( , )0 V xd ( , 0)

22、0V xdxyV = 0V = 0V = V0O220, , zyxykkkk 令 為實(shí)數(shù)29ydnAyYsin)(可得可得因?yàn)橐驗(yàn)?，得到，得到022yxkkdnkxj 常數(shù)常數(shù) kx 為為虛數(shù)虛數(shù), X(x) 的解為的解為xdnxdnDCxXee)(因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x 時(shí)時(shí)，V = 0, 常數(shù)常數(shù)C = 0, 且且xdnDxXe)( , )esinnxdnV x yCyd那么那么其中常數(shù)其中常數(shù)C = AD .dxyV = 0V = 0V = V0O30因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng) x = 0時(shí)時(shí) V = V 0, 可得可得0sinnVCyd 上式右邊部分為變量上式右邊部分為變量, 因?yàn)橐驗(yàn)?C 和和 n 的

23、值沒(méi)有確定的值沒(méi)有確定. 為滿足為滿足x = 0處的條件處的條件, 解的解的線性組合線性組合 也是一個(gè)解也是一個(gè)解, 可得可得1( , )esinnxdnnnV x yCyd為滿足邊界條件為滿足邊界條件 x = 0, V = V0 , 有有01sin, 0nnnVCyydd( , )esinnxdnV x yCyddxyV = 0V = 0V = V0O31 上式右邊為上式右邊為傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)。利用傅立葉級(jí)數(shù)各項(xiàng)之間的利用傅立葉級(jí)數(shù)各項(xiàng)之間的正交性正交性，系，系數(shù)數(shù) Cn 可以求得可以求得041( , )esinnxdnVnV x yynd最后，凹槽中的最后，凹槽中的電位電位為為 5,

24、 3, , 1n0dxyV = 0V = 0V = V0Electric field linesEquipotential surfaces04, if is odd 0 , if is even nVnCnn3220Ea4RqR2030Ea()4Ea()4RRqRaRqRRaa點(diǎn)電荷和帶電的球殼、球體在點(diǎn)電荷和帶電的球殼、球體在RaRa的區(qū)域中產(chǎn)生的場(chǎng)是是相等的，的區(qū)域中產(chǎn)生的場(chǎng)是是相等的，稱(chēng)為這三種源是稱(chēng)為這三種源是相互等效相互等效的的. .注注：在：在RaR0)上每一個(gè)點(diǎn)的電位。上每一個(gè)點(diǎn)的電位。s(1)chap2：感應(yīng)電荷很難求：感應(yīng)電荷很難求20,QVx yd z (2)直接解方程直

25、接解方程:34yQd半空間問(wèn)題半空間問(wèn)題x點(diǎn)電荷感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，靜態(tài)平衡后，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，電力線與其點(diǎn)電荷感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，靜態(tài)平衡后，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，電力線與其正交。而這種電力線的分布與以正交。而這種電力線的分布與以xozxoz平面為對(duì)稱(chēng)面，在（平面為對(duì)稱(chēng)面，在（0 0，d d，0 0）處點(diǎn)電荷）處點(diǎn)電荷Q Q，（0 0，d d，0 0）處有）處有Q Q 的一對(duì)點(diǎn)電荷在的一對(duì)點(diǎn)電荷在y0y0空間的空間的電力線分布相似。電力線分布相似。P(3)(3)另辟蹊徑：另辟蹊徑： ( (等效原理等效原理) )感應(yīng)感應(yīng)（極化）電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，由（極化）電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，由假想假想的簡(jiǎn)單電荷（像點(diǎn)電荷的簡(jiǎn)

26、單電荷（像點(diǎn)電荷 線電荷等）分布產(chǎn)生的場(chǎng)來(lái)線電荷等）分布產(chǎn)生的場(chǎng)來(lái)等效等效(4)(4)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：引入像電荷后求得的場(chǎng)，是不是原問(wèn)題的場(chǎng)？引入像電荷后求得的場(chǎng)，是不是原問(wèn)題的場(chǎng)？判斷的依據(jù)判斷的依據(jù) （uniquenessuniqueness theoremtheorem）是不是滿足原問(wèn)題的場(chǎng)方程邊界條件？是不是滿足原問(wèn)題的場(chǎng)方程邊界條件？011( , , )4QV x y zRR222222;RxydzRxydz000RRyyVV 因?yàn)椋?5Image ChargeImage method V(x,0, z) = 0yQQ( , , )P x y z根據(jù)場(chǎng)疊加原理，寫(xiě)出點(diǎn)電荷和鏡像電荷在根據(jù)

27、場(chǎng)疊加原理，寫(xiě)出點(diǎn)電荷和鏡像電荷在上半空間任意一點(diǎn)上半空間任意一點(diǎn) P P 處產(chǎn)生的場(chǎng)的表達(dá)式處產(chǎn)生的場(chǎng)的表達(dá)式BVP BC（判斷的條件）（判斷的條件）20,0,;0;0yxyzQVx yd zVV 等效問(wèn)題的場(chǎng)就是原問(wèn)題的場(chǎng)等效問(wèn)題的場(chǎng)就是原問(wèn)題的場(chǎng)36鏡像法鏡像法 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 以一個(gè)或幾個(gè)以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷等效電荷代替代替邊界邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的的非均勻非均勻空間變成無(wú)限大的空間變成無(wú)限大的均勻均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化。依據(jù)：惟一性依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉?lái)的定理。等效電荷的引入不能改變?cè)瓉?lái)的邊界條件邊界條件。這些等效電荷通常處于原電荷的這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置鏡像位置，因此稱(chēng)為因此稱(chēng)為鏡像電荷鏡像電荷，而這種方法