初中與高中數(shù)學(xué)銜接中的因式分解

1、初中與高中數(shù)學(xué)銜接中的因式分解初中與高中數(shù)學(xué)銜接中的因式分解大連理工大學(xué)附屬高級中學(xué)金鐘植高中數(shù)學(xué)中，式子的恒等變形是非常重要的數(shù)學(xué)變換，其中因式分解尤為重要。根據(jù)需要，在對一些式子整體分解或局部分解是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作為學(xué)生必須具備的基本技能，但由于初中階段新的課程標(biāo)準(zhǔn)中對因式分解，較以往的標(biāo)準(zhǔn)降低了要求，所以剛上高中的學(xué)生來說，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中遇到或多或少的困難。為此，本文根據(jù)高中階段所需要的有關(guān)因式分解的要求，將初中階段所學(xué)的因式分解的基礎(chǔ)上加以補(bǔ)充和拓寬。 現(xiàn)行的初中教材中，因式分解只介紹兩種方法，即“提取公因式法”和“運(yùn)用公式法”。實(shí)際因式分解還有兩種方法需要掌握，即“十字相乘法”和“分組

2、分解法”，而這兩種方法在高中數(shù)學(xué)中都有用途，所以本文對因式分解的本質(zhì)介紹的前提下，重點(diǎn)介紹后兩種方法。一、因式分解的概念在現(xiàn)行初中教材中的因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式。由概念不難看出，因式分解的本質(zhì)就是經(jīng)過恒等變形，將一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的“乘積”的形式。所以過程是恒等變形，結(jié)果是化成“乘積”的形式，所以關(guān)鍵是如何進(jìn)行恒等變形的問題?！疤崛」蚴椒ā毙枰倪^程是：將多項(xiàng)式每個(gè)項(xiàng)中所含的相同“結(jié)構(gòu)”，即公因式提出來；“運(yùn)用公式法”是從多項(xiàng)式的特殊“結(jié)構(gòu)”，即逆向運(yùn)用乘法公式的形式，運(yùn)用公式分解因式。這里還需要補(bǔ)充高中階段能用到的適合分解因式的公式還有：二、十字相乘法我們來

3、觀察又有在我們學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算時(shí)有：因此在分解因式中有注意觀察上式的系數(shù)。對于一個(gè)關(guān)于某個(gè)字母的二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式，它的常數(shù)項(xiàng)可看作兩個(gè)數(shù)，a與b的積，而一次項(xiàng)系數(shù)恰是a與b的和，它就可以分解為(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab時(shí)，用此方法分解因式關(guān)鍵在于a與b的值的確定。如何確定，看下面的“十字相乘”與分解因式之間的對應(yīng)關(guān)系：即二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解以后重新相乘再加得到一次項(xiàng)系數(shù)，進(jìn)而可以分解因式。這樣的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式關(guān)鍵在于a與b的值的確定。所以用“十字相乘法”分解因式的結(jié)構(gòu)必須是“二次三項(xiàng)式”的形式。例1：分解因式：（1）（2）分析

4、：用十字相乘法分解因式時(shí)，首先要找準(zhǔn)各項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，然后利用來分系數(shù)，使得左邊兩數(shù)乘積為二次項(xiàng)系數(shù)，右邊兩項(xiàng)乘積為常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘后結(jié)果作和，應(yīng)與一次項(xiàng)系數(shù)同，這樣就分解出來了。評注：十字相乘時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解后的搭配問題，比如：（1）中十字相乘也可以有其他的方式，但這種方式只適合于多項(xiàng)式，而不是。所以對每個(gè)二次三項(xiàng)式的分解因式，利用十字項(xiàng)乘法時(shí)，需要選擇恰當(dāng)?shù)拇钆洳拍艹晒?。同步練?xí)：（1）（2）（3）（4）例2：分解因式（1）（2）分析：要想用十字相乘法分解因式，應(yīng)具備二次三項(xiàng)式的條件，有些多項(xiàng)式可以看作關(guān)于某個(gè)整體的二次三項(xiàng)式，也可以照上例方法進(jìn)行因式分解，如（1）可以看

5、作關(guān)于的二次三項(xiàng)式（2）可以看作關(guān)于（a+b）的二次三項(xiàng)式。同步練習(xí)：（1）（2）（3）例3：分解因式（1）（2）分析：當(dāng)多項(xiàng)式中出現(xiàn)兩個(gè)字母時(shí)，分解同前，只不過常數(shù)項(xiàng)也會(huì)出現(xiàn)字母，如（1）可以看作關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則y就當(dāng)作常數(shù)處理。（2）應(yīng)先進(jìn)行公因式的提取，再分解，記住，提取公因式是分解因式的第一步。同步練習(xí)：（1）（2）例4：分解因式：（1）（2）分析：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，數(shù)的分解不太容易，應(yīng)不斷試一試幾種可分的情況，同時(shí)注意符號的合理匹配。同步練習(xí)：（1）（2）三、分組分解法先看一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式：。這個(gè)題目結(jié)構(gòu)非常清楚，有公因式，所以直接提取即可。但如果待分解因式的多項(xiàng)式是，

6、就不能直接提取公因式了，原因是把待分解的多項(xiàng)式由變形為比這個(gè)更原始的結(jié)構(gòu)，但我們知道兩個(gè)式子是恒等的。這種情況下，分解因式的過程自然就是：。這樣分解因式的方法叫做分組分解法，即將多項(xiàng)式適當(dāng)分組后經(jīng)過局部分解，化成可以整體分解的結(jié)構(gòu)，最終可以整體分解的方法。不難看出，運(yùn)用分組分解法分解因式時(shí)，關(guān)鍵是分組，如何分組是這種方法運(yùn)用當(dāng)中的難點(diǎn)。如何突破這個(gè)難點(diǎn)呢？分組的方式一般是多樣的，其中首先要考慮能夠局部分解，將多項(xiàng)式化成可以整體分解的結(jié)構(gòu)。例5 分解因式：（1）（2）（3）（1）分析：在多項(xiàng)式中，第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有公因式，而第二項(xiàng)和第四項(xiàng)也有公因式，這樣觀察到局部有公因式可提取，即可完成分組這個(gè)關(guān)

7、鍵步驟。評注：這個(gè)多項(xiàng)式分組的方式還有一種，即第一項(xiàng)與第四項(xiàng)組合，第二項(xiàng)與第三項(xiàng)組合。如何分組關(guān)鍵就是能否局部分解。由于整體分解時(shí)運(yùn)用的是“提取公因式法”，所以這種分組分解法可叫做“間接提取公因式法”。（2）分析：在多項(xiàng)式中，前三項(xiàng)是完全平方式，而第四項(xiàng)除了負(fù)號也是完全平方形式，這樣前三項(xiàng)分成一組，最后一項(xiàng)分成另一組就可以構(gòu)造平方差的結(jié)構(gòu)。（2）解：評注：這個(gè)多項(xiàng)式的分解因式中，其他分組的方式是不能進(jìn)行分解因式的，比如前兩項(xiàng)組合在一起，后兩項(xiàng)組合在一起，雖然都能局部分解，但不能進(jìn)行整體分解，所以這種分組的方式是失敗的。在對多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)沒有觀察清楚的前提下，分組失敗是經(jīng)常出現(xiàn)的，但只要注意分組的

8、方向，即恒等變形過程中，化成能夠在局部分解的前提下，又能整體分解的結(jié)構(gòu)，就能達(dá)到分解因式的目的。由于整體分解時(shí)運(yùn)用的是“運(yùn)用公式法”，所以這種分組分解法可叫做“間接運(yùn)用公式法”。（3）分析：在多項(xiàng)式中，前三項(xiàng)是完全平方的結(jié)構(gòu)，第四和第五有公因式3，最后一項(xiàng)做為常數(shù)項(xiàng)，即可構(gòu)造十字相乘法的結(jié)構(gòu)。（2）此題是二元二次多項(xiàng)式的特殊結(jié)構(gòu)（三個(gè)二次項(xiàng)構(gòu)成完全平方式），實(shí)際只要是可分解的二元二次多項(xiàng)式，其他結(jié)構(gòu)的分解因式也可以經(jīng)過局部分解，最后整體分解時(shí)也可運(yùn)用十字相乘法分解，所以第一種方法是有局限性的。由于整體分解時(shí)運(yùn)用的是“十字相乘法”，所以這種分組分解法可叫做“間接十字相乘法”。同步練習(xí)：（1）（2

9、）(3) *例6 分解因式：分析：根據(jù)多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，經(jīng)過分組和局部分解將它化成關(guān)于的二次三項(xiàng)的結(jié)構(gòu)（或廣義的十字相乘的結(jié)構(gòu)），然后運(yùn)用十字相乘法。評注：本題除了上述兩種方法之外，只要是經(jīng)過分組和局部分解把多項(xiàng)式化成二次三項(xiàng)的形式，都能利用十字相乘法分解因式。比如：經(jīng)過分組和局部分解化成關(guān)于的二次三項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，不難看出，把多項(xiàng)式可以看成關(guān)于的二次三項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)等。同步練習(xí)：（1）*例7 分解因式：分析：這個(gè)多項(xiàng)式不能直接運(yùn)用上面所介紹的四種方法分解因式，原因是不屬于三種方法的任何一種結(jié)構(gòu)形式。但由于將這個(gè)多項(xiàng)式可以看做關(guān)于的二次式：即，則容易想到配方成：，這樣就可以分解因式。評注：另一個(gè)角度看

10、，實(shí)際是將合并后的多項(xiàng)式還原成原來的結(jié)構(gòu)：即，這樣的過程我們可以說成是“填項(xiàng)或拆項(xiàng)分組法”，是“間接分組分解法”的一種。初中階段，我們更多的是“合并”同類項(xiàng)，但實(shí)際數(shù)學(xué)變形當(dāng)中，“拆同類項(xiàng)”也是非常重要的，而且不同的是：“合并”的結(jié)果是唯一的，但“拆”的形式是無窮多種（如：），所以“拆”的時(shí)候要根據(jù)我們需要的結(jié)構(gòu)“拆”得準(zhǔn)才可以。除了“填項(xiàng)或拆項(xiàng)分組法”這種“間接分組分解法”以外，有的多項(xiàng)式首先化簡才能分組，這種分解因式的方法也屬于“間接分組分解法”，這種方法就叫做“化簡分組法”。比如：多項(xiàng)式的分解因式問題。同步練習(xí):四、因式分解方法的系統(tǒng)歸類綜上所述，整個(gè)高中階段的分解因式需要我們掌握的方法可歸類為：注意：1因式分解的方法多樣性是由多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的多樣性引起的，即針對不同結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式，采用不同的方法分解因式，所以如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒P(guān)鍵是觀察多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征。觀察的的順序?yàn)椋嚎词欠裼泄蚴娇词欠窆浇Y(jié)構(gòu)看是否二次三項(xiàng)式看是否可分組，以