高等數(shù)學(xué)常用極限求法1

1、求函數(shù)極限的方法和技巧摘要：本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個(gè)比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與彳積分學(xué)中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容，因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個(gè)比較全面的概括、綜合，力圖在方法的正確靈活運(yùn)用方面，對(duì)讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運(yùn)用極限的定義例：用極限定義證明Xim2X2 3x 2x 22-、工Mx3x2.證:由1x20取則當(dāng)0x2時(shí)，就有2x23x2x2由函數(shù)極限定義有:limx_21x2x22、利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)22假設(shè)limf(

2、x)xxolimg(x)Bxxo(I)limf(x)xxog(x)limf(x)xxolimg(x)ABxx(II)limf(x)xxog(x)limxxof(x)limg(x)ABxxo(III)lim建xxog(x)則：limf(x)xxolimg(x)X0IVlimcf(x)xx)climf(x)xxocAc為常數(shù)上述性質(zhì)對(duì)于x,x時(shí)也同樣成立例：求limx23x5x4解:xim2x23x5_223x423、約去零因式此法適用于xxo時(shí),o型o32xx16x2o例：求lim-32x2x2_2_x33x21ox(2x26x2o)解：原式" lim -2Jx 2 x35x26x(2

3、x21ox12)7x216x12lim-2(x2)(x3x10)x2(x2)(x25x6)=limx 2(x2 (x2原式= xm0x3X-0)=lim(x5)(x2)5x6)x2(x2)(x3)=!im24、通分法適用于型一，、41例:求lim(2-)x24x2x解:原式=lim4(2x)x2(2x)(2x)=lim(2-)x2(2x)(2x)=lim一x225、利用無(wú)窮小量性質(zhì)法特別是利用無(wú)窮小量與有界量之乘積仍為無(wú)窮小量的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：Ilimf(x)0Xx(II)g(x)M(M為正整數(shù))則：limg(x)f(x)0xxoi-1例：求limxsin-x0x_,.1，解

4、：由limx0而sin-1x0V1sinx6、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。I假設(shè)：lim f (x)則limf(x)(II)假設(shè)：limf(x)0 且 f(x)W0則 lim f(x)例:求以下極限1limxlimx ，解:lim(xx5)limxlim(xx 11)lim 一 x 1 x7、等價(jià)無(wú)窮小代換法都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有:lim-r存在,則 lim 也存在，且有l(wèi)im = lim例：求極限limx 021 cosx2sin x解：sin x1 cosx2 22 (x ) 22cosx1 lim 1 x 0 x sin x2X2(x )22 2x x注：在利用等價(jià)無(wú)窮小做

5、代換時(shí),般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，假設(shè)以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的無(wú)窮小量之比的“階8、利用兩個(gè)重要的極限。sinx（佻m。二1(B)lim(1x1x-)ex但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(A)limsin(x)(x)1,(x)0)(B)lim(1(x)e,(x)例：求以下函數(shù)極限ax1(1)、limx0xlncosax(2)、limx01ncosbx解：（1）令a1u,則xln(1u)于是lnaulnaln(1u)又當(dāng)x故有：lim00時(shí)，uax1ulnalimu0ln(1u)lnalimu0ln(1u)ulum0lna,1lnaln(1u)u(2)

6、、原式limx0ln(1(cosax1)ln1(cosbx1)limln(1(cosax1)x0cosax1cosbx1cosaxln1(cosbx1)cosbxcosbx1limx0cosax12sin2xlim22sin2-x2lim2asinx2號(hào)x)20-2bsinx2_/bJ(2x)/b4(2x)a2(2x)b2-2a9、利用函數(shù)的連續(xù)性適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限若f(x)在xx0處連續(xù)，則川)若£(x)是復(fù)合函數(shù)，又limf(x)xx0lim(x)xx0f(Xo)f(u)在ua處連續(xù)，則limx/f(x)fxim(x)f(a)例：求以下函數(shù)的極限xecosx5(1)、l

7、im2x01xln(1x)解：由于x 0屬于初等函數(shù)f(x)x故由函數(shù)的連續(xù)性定義有:f(0)、由電3 m(11 x)x令 x (11x)7故有:ln(1 x)lxm01n(11 x)7ln(lim (1x 01x)x) In e 110、變量替換法適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型特別地有:liml xk1 mlnk 1n、k、l為正整數(shù)。xecosx5lim7x01xln(1x)N)2x 3山 lim ()x 2x 1例：求以下函數(shù)極限n1x,lim(m、nxe 2c0sx 5 的定義域之內(nèi)。x ln(1 x)1mx解：令t=mVx則當(dāng)原式=limt1lim(1t)(11(1t)(1

8、m1、t)mn1、t)n由于lim(x2x2x1)1=lim(1x2x12x1)令:2x122x3xlim()xx2x11=lim(1x2x1)x1=lim(1tot)t211呵(1爐呵(1t”e111、利用函數(shù)極限的存在性定理且有:定理：設(shè)在x0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)<f(x)<h(x)lim g(x) lim h(x) Ax x0x x0則極限 lim f(x) 存在，且有x0limf(x)xx0例:limxnx(a>1,n>0)a解:當(dāng)k干旱西丁73n>0時(shí)，存在唯一的正整數(shù)&x<k+1時(shí)有：k,使n xx an xx a(k1)nkakn

9、a時(shí),klimkklim(k1)nkalimk(kknaklimknkanXlim-=0xa12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限limf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)及右極xxoXX0限limf(x)都存在且都等于A即有:xxolim f (x) A x xolimf(x)=limf(x)=Axxoxxo12ex,x例：設(shè)f (x) =Ix . x.x,0求 lim f (x)及 lim f (x)x 0x 1x2,x1解：Pmf(x)limo(12ex)1lim f (x) x olim (x ox .

10、x、一1)lim ( . x 1) x o由limf(x)limf(x)xoxolimf(x)1xo又limx 1lim f (x) lim x 1x 1f (x) lim x2x 1lim ( xx 11) o由f(1o)f(1o)limf(x)不存在x113、羅比塔法則適用于未定式極限定理：假設(shè)(i)limf(x)0,limg(x)0xxoxXo(ii)f與g在xo的某空心鄰域u°(xo)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0'(iii)limUx)A(A可為實(shí)數(shù)，也可為或)，則xx0g(x)'.f(x).f(x)八limlim,Axxog(x)xxog(x)此定理是對(duì)o型而言，對(duì)

11、于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。o注：運(yùn)用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為。，時(shí)不可求導(dǎo)。o2、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，假設(shè)遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。'4、當(dāng)lim上必不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用xag(x)另外方法。例：求以下函數(shù)的極限xe (1ln(12x)12 x7)limxln x(ao,xo)解：令f(x)=ex(12x)2,g(x)=ln(1x2)f (x) ex

12、(1 2x) 2, g (x)2x1 x2f"(x) ex (1 2x)32,g"(x)22(1x2)2 2(1 x )由于ff(o)o,gg(o)o但f(o)2,g(o)2從而運(yùn)用羅比塔法則兩次后得到lim ex(12x)12x 0 ln(1 x )limex (1 2x) 122x2 X ex (1 2x)lim 2x 02(1 x )22(1 x )由limxln x,limx故此例屬于 一型，由羅比塔法則有:ln x lim x xlimxxa 1 axlimXaax0(a 0,x 0)14、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方

13、便，以下為常用的展開(kāi)式:1、 ex 1 x2!n xn!o(xn)3 X2、sin x x 一 3!5!1)n2n 1 x(2n 1)!o(x2n)24x x 3、cosx 1 一 2!4!1)n2n x(2n)!2n 1o(x)4、 ln(1 x)2 x x -2n(1)n1 ± o(xn)nL(1) 25、(1 x) 1 x -)x22!(1) (n1)xnO(xn)n!c12nn、6、 1xxxo(x)1 x上述展開(kāi)式中的符號(hào)o(xn)都有:.o(xn)limn0x0xn例：求limOK、2(a0)x0解：利用泰勒公式，當(dāng)x0有Ji一xx1-o(x)2lxmoa2xax=M0v

14、'a(1xJ1-)a.a=M012xa12(T)o(x)1-o(x)aa上=lim2a-x0xo(x)_1_lim-2-ax0xo(x)12.a15、利用拉格朗日中值定理定理：假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:(I)f(II)f在閉區(qū)間上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f(b)f(a)ba此式變形可為：f(b)bf(a)af(a(ba)(01)例：求xelimx0xsinxesinx解：令f(x)對(duì)它應(yīng)用中值定理得sinxef(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx)(01)即sinxexsinxf(sinx(xsinx)(01)f(x)ex連續(xù)_

15、87;_»limf(sinx(xsinx)f(0)1x0xsinx從而有：lim-1x0xsinx16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即假設(shè)R(x)P(x)Q(x)ma°xm1a1xam(a0,b00)nb°xn1b1x(a0bn(I)當(dāng)x時(shí),有a0mn.P(x)limlimma°xm1a1xb0am0mnxQ(x)xb°xnb1xn1bnmn(II)當(dāng)x0時(shí)有：假設(shè)Q(x0)0則limP以0)x0Q(x)Q(x0)假設(shè)Q(x0)0而P(x0)0則lim旦x0Q(x)假設(shè)Q(x0)0,P(x0)0,則分別考慮假設(shè)x0為P(x)0的s重

16、根,即：P(x)(xx0)sP1(x)也為Q(x)0的r重根，即:Q(x)(xx°)rQ1(x)可得結(jié)論如下：0,srP(x)(xx0)srP1(x)Px。)limlim,srxx°Q(x)x%Q(x)Q1(x0),sr例：求以下函數(shù)的極限limx(2x3)20(3x2)30(2x1)50x33x2x44x3解：分子，分母的最高次方相同，故limx(2x 3)20 (3x 2)30 = 220 330(2x 1)502(2)30 P(x) x3 3x 2,P(1) 0Q(x)x44x3,Q(1)0P(x),Q(x)必含有x-1之因子，即有1的重根故有:x33x2(x1)2(

17、x2)x21limlim-2-2lim-x1x44x3x1(x1)2(x22x3)x1x22x32(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。例：求lim(xuxx.x)x,解：lim(x.xx.x)x二、多種方法的綜合運(yùn)用上述介紹了求解極限的基本方法，然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們?cè)诮忸}中要注意各種方法的綜合運(yùn)用的技巧，使得計(jì)算大為簡(jiǎn)化。例：求limx0d21cosx22xsinx解法一:limx 01 cosx22x sin xlimx 0 2x22xsin x22：2x cosx 2xsin

18、 x一一 2 sin x lim 22x 0 x cosx2 sin xlim x 0 2 cosx2 sin xx_ 1 sin x2 *22- x注：此法采用羅比塔法則配合使用兩個(gè)重要極限法。解法二:21 cosxlim 2x 0 x sin x22sin2 =lim 22x 0 x sin x2.一 xsin lim 22x 0 x2.一 xsin 21注：此解法利用“三角和差化積法”2 sin x2- xx22配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三：2x lim 一 x 0 4x.2sin x 121cosxlim-22x0xx2xsinxlim3-x04x注：此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換法以及羅比塔法則解法四：2.1 cosxlim 22x 0 x sin x2.1 cosxlim4x 0 x42x2 sin x2 22 (x )lim -4X 0 x42x2 sin x注：此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:d21 cosxlim 2x