離散變量分布與應(yīng)用

1、主要內(nèi)容 二項(xiàng)分布的概率及定義 二項(xiàng)分布的性質(zhì) 二項(xiàng)分布的應(yīng)用 率的區(qū)間估計(jì) 兩個(gè)樣本率的比較 樣本率與總體率的比較組合（組合（Combination）:從個(gè)從個(gè)n元素元素中抽取中抽取x個(gè)元素組成一組（不考慮其個(gè)元素組成一組（不考慮其順序）的組合方式個(gè)數(shù)記為順序）的組合方式個(gè)數(shù)記為!()!nnkk nk 10100 33!(3)(2)(1)322!(32)!(2)(1)(1) 1010!(10)(9)(8)(7)(6)5!25255!(105)!5!(5)(4)(3)(2)(1)knnCk或二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式2222)(bababa3223333)(babbaaba.?)(nba 01122

2、0121 1010().nnnnnnnnnnnnnnnkn kkkaba ba ba baba ba b二項(xiàng)分布的概念二項(xiàng)分布的概念 在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中的許多試驗(yàn)(或觀察)中人們感興趣的是某事件是否發(fā)生。 例如: 用白鼠作某藥物的毒性試驗(yàn)，感興趣的是白鼠是否死亡； 某新療法臨床試驗(yàn)，感興趣的是患者是否治愈； 某指標(biāo)的化驗(yàn)，感興趣的是其結(jié)果是否呈陽(yáng)性。 若稱(chēng)感興趣的事件A出現(xiàn)為“成功”，不出現(xiàn)為“失敗”，相應(yīng)的這類(lèi)試驗(yàn)就稱(chēng)為“成敗型”試驗(yàn)或稱(chēng)為Bernoulli試驗(yàn)。 Bernoulli試驗(yàn)序列試驗(yàn)序列 三個(gè)條件 (1)每次試驗(yàn)結(jié)果，只能是兩個(gè)互斥的結(jié)果之一(A或非A)。(2)每次試驗(yàn)的條件不變。

3、即每次試驗(yàn)中，結(jié)果A發(fā)生的概率不變，均為 。(3)各次試驗(yàn)獨(dú)立。即一次試驗(yàn)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果與前面已出現(xiàn)的結(jié)果無(wú)關(guān)。 二項(xiàng)分布（二項(xiàng)分布（binomial distribution）是指在只）是指在只會(huì)產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如會(huì)產(chǎn)生兩種可能結(jié)果如“陽(yáng)性陽(yáng)性”或或“陰性陰性”之一之一的的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（稱(chēng)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（稱(chēng)為n重重Bernoulli試驗(yàn)）中試驗(yàn)）中，當(dāng)每次試驗(yàn)的，當(dāng)每次試驗(yàn)的“陽(yáng)性陽(yáng)性”概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)概率保持不變時(shí)，出現(xiàn)“陽(yáng)性陽(yáng)性”的次數(shù)的次數(shù)X=0，1，2，n的一種概率分的一種概率分布。布。二項(xiàng)分布的概念概率分布 一般地構(gòu)成Bernoulli試驗(yàn)序列的n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次

4、數(shù)X有概率分布 二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù) 不同的n，不同的有不同的二項(xiàng)分布。 knknkkXp)1 ()()(n二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的性質(zhì) 二項(xiàng)分布的均數(shù)與方差二項(xiàng)分布的均數(shù)與方差 平均數(shù)為: n 標(biāo)準(zhǔn)差為：n(1-) 二項(xiàng)分布的概念所有可能結(jié)果每種結(jié)果的概率死亡數(shù) 生存數(shù)不同死亡數(shù)的概率甲 乙 丙 n-生 生 生0.20.20.2030.008生 生 死 0.20.20.8生 死 生0.20.80.2120.096死 生 生0.80.20.2生 死 死0.20.80.8死 生 死0.80.20.8210.384死 死 生0.80.80.2死 死 死0.80.80.8300.51211.000(1

5、)Xn XXnC 三只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計(jì)算(1)n XX 二項(xiàng)展開(kāi)( 0.2 +0.8 )3 = 0.23 + 30.220.8 + 30.20.82 + 0.83生存概率死亡概率 三生二生一死一生二死 三死二項(xiàng)分布的概率 設(shè)事件A出現(xiàn)的概率為。則在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰好出現(xiàn) k 次的概率為： 對(duì)應(yīng)于二項(xiàng)展開(kāi)式：()(1)kkn knP XkC 011110(1)(1)(1)(1) (1)(1)nnnkkn knnnnCn 二項(xiàng)分布示意圖 n=20,=0.5 n=5,=0.3 n=10,=0.3 n=30,=0.3 二項(xiàng)分布的圖形X 4 8 12 16 0.0 0.1

6、0.2 0.3 0.4 n =20 =0.5 P(X) 0 2 4 n =5 =0.3 0 2 4 6 n =10 =0.3 4 8 12 16 n =30 =0.3 累計(jì)概率P(Xk) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=k)P(Xk) = P(X=k)+P(X=k+1)+P(X=n)P(Xk) = 1 P(Xk+1)二項(xiàng)分布的均數(shù)和方差如果XB(n,p)，則：的均數(shù)：的均數(shù)：的方差：的方差：的標(biāo)準(zhǔn)差：的標(biāo)準(zhǔn)差：2(1)(1)XXXnnn 2.3 率的抽樣分布及其性質(zhì) 在n足夠大時(shí)，樣本率 p 的分布近似正態(tài)分布。 率的均數(shù)和方差XB(n, p)，p=X/n樣本率的均數(shù)：樣本率的均數(shù)：樣

7、本率的標(biāo)準(zhǔn)差：樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差：(率的標(biāo)準(zhǔn)誤率的標(biāo)準(zhǔn)誤) (1)ppsn 3.1 率的可信區(qū)間估計(jì)=?n, Xp=X/nn 較大時(shí), 可用正態(tài)近似法： 率的 95%的CI: 例7.7 n=329, X=29: p=29/329=0.0881, sp=0.0156 0.08811.960.0156=(0.0575, 0.1187) (5.75%, 11.87%) (1.96, 1.96)pppspsn 較小時(shí), 查表法(直接計(jì)算概率法) 例7.5 n=25, X=3。p=12%. (3%, 31%) 例7.6 n=10, X=8。p=80%. 先查n=10, X1=2。p1=20%. (3%, 5

8、6%) 得: (1-56%, 1-3%)=(44%, 97%)率的可信區(qū)間的不對(duì)稱(chēng)性 0.1 0.2 0.3 0.5n10 045 356 7651981n20 132 64412542773n30 227 83915493169n40 324 93517473466n50 322103418453665率的可信區(qū)間的性質(zhì) 只有=0.5時(shí)是對(duì)稱(chēng)的； n越大，區(qū)間越窄； 對(duì)同一n， 越接近0.5，分布越寬，越接近0或1，分布越窄；兩樣本率的比較( n 較大時(shí)) 例7.9 n1=80, X1=23; p1=28.75%;n2=85, X2=13; p2=15.29%.H0: 1 = 2; H1:

9、12 , =0.05 1212ppppus 121212120.28750.15292.0920.0643411(1)()0.06434ppppccppussppnn 因?yàn)閡0.05=1.96，故按0.05水準(zhǔn)，拒絕H0,接受H1,可以認(rèn)為該地區(qū)男、女肺吸蟲(chóng)感染率不同，男性感染率高于女性。樣本率與總體率的比較( n 較小時(shí)) 例7.8 0 = 0.01，p1=1/400，H0: 1 = 0; H1: 1 0 . =0.05(單側(cè))P(X1)=P(X=0)+P(X=1) =0.99400 + 4000.994000.01 =0.0905 (直接計(jì)算概率法)按0.05水準(zhǔn)，不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該

10、地新生兒染色體異常率低與一般新生兒。樣本率與總體率的比較( n 較大時(shí))(1)ppun 二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件 各觀察單位的觀察結(jié)果只能是相互對(duì)立的兩種結(jié)果之一； 某事件出現(xiàn)的概率不變； n次試驗(yàn)條件相同， n個(gè)觀察對(duì)象同質(zhì)，且相互之間不影響(例如，無(wú)傳染性、聚集性等)。Poisson 分布的概念 Poisson分布主要用于描述在單位時(shí)間(空間)中稀有事件的發(fā)生數(shù)。醫(yī)學(xué)衛(wèi)生領(lǐng)域中有些指標(biāo)服從Poisson分布， 例如：放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)；在單位容積充分搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)；野外單位空間中的某種昆蟲(chóng)數(shù)等。 Poisson 分布是一種離散型分布。 用以描述罕見(jiàn)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。 在醫(yī)

11、學(xué)研究中，常見(jiàn)的觀察例數(shù)n很大，但實(shí)際發(fā)生的數(shù)目很小的情況。 Poisson分布一般記作: ()Poisson分布的正態(tài)近似分布的正態(tài)近似 =3 =5 =10 =20Poisson分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 均數(shù)均數(shù) Poisson分布只有一個(gè)參數(shù) 。這個(gè)參數(shù)就是Poisson分布的總體均數(shù)。不同的 對(duì)應(yīng)于不同的Poisson分布。 方差方差 總體均數(shù)等于總體方差，它是Poisson分布的特征。計(jì)算公式 遞推公式： exxXPx!)(11xXPxxXP樣本率與總體率比較 設(shè)一般人群食管癌患病率為30/10萬(wàn)，某研究者為了解當(dāng)?shù)厥彻馨┗疾÷适欠窀哂谝话闳巳?，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?00人，結(jié)果6人患食管癌。請(qǐng)作統(tǒng)計(jì)推斷。 39140.00000001 0860.99999986-1! 515. 0! 415. 0! 315. 0! 215. 0! 115. 0! 015. 01615