第七講 MATLAB的符號計算ppt課件

1、第七講 MATLAB的符號計算所謂符號計算是指在運(yùn)算時,無須事先對變量賦值,而將所得到結(jié)果以規(guī)范的符號方式來表示。MathWorks公司以Maple的內(nèi)核作為符號計算引擎Engine，依賴Maple已有的函數(shù)庫，開發(fā)了實現(xiàn)符號計算的兩個工具箱：根本符號工具箱和擴(kuò)展符號工具箱。一、符號計算根底一、符號計算根底一 定義符號變量參與符號運(yùn)算的對象可以是符號變量、符號表達(dá)式或符號矩陣。符號變量要先定義，后援用。可以用sym函數(shù)、syms函數(shù)將運(yùn)算量定義為符號型數(shù)據(jù)。援用符號運(yùn)算函數(shù)時，用戶可以指定函數(shù)執(zhí)行過程中的變量參數(shù)；假設(shè)用戶沒有指定變量參數(shù)，那么運(yùn)用findsym函數(shù)默許的變量作為函數(shù)的變量參數(shù)

2、。1、sym函數(shù) sym函數(shù)的主要功能是創(chuàng)建符號變量，以便進(jìn)展符號運(yùn)算，也可以用于創(chuàng)建符號表達(dá)式或符號矩陣。用sym函數(shù)創(chuàng)建符號變量的普通格式為： x = sym(x)其目的是將x創(chuàng)建為符號變量，以x作為輸出變量名。每次調(diào)用該函數(shù),可以定義一個符號變量。一、符號計算根底一 定義符號變量【例1】作符號計算：a,b,x,y均為符號運(yùn)算量。在符號運(yùn)算前，應(yīng)先將a,b,x,y定義為符號運(yùn)算量15byaxbyax一、符號計算根底一 定義符號變量a=sym(a); %定義a為符號運(yùn)算量，輸出變量名為ay =2/bb=sym(b);x=sym(x);y=sym(y); x,y=solve(a*x-b*y-1

3、,a*x+b*y-5,x,y) %以a,b為符號常數(shù)，x,y為符號變量即可得到方程組的解：x =3/ay =2/b一、符號計算根底一 定義符號變量【例2】知一復(fù)數(shù)表達(dá)式 z=x+i*y, 試求其共軛復(fù)數(shù),并求該表達(dá)式與其共軛復(fù)數(shù)乘積的多項式。 為了使乘積表達(dá)式x2+y2非負(fù)，這里，把變量x和y定義為實數(shù)。x=sym(x,real);y=sym(y,real);一、符號計算根底一 定義符號變量z=x+i*y; %定義復(fù)數(shù)表達(dá)式conj(z); %求共軛復(fù)數(shù)expand(z*conj(z) %求表達(dá)式與其共軛復(fù)數(shù)乘積的多項式ans =x2+y2假設(shè)要去掉x的屬性,可以運(yùn)用下面語句 x = sym(

4、x,unreal) 將x創(chuàng)建為純格式的符號變量。一、符號計算根底一 定義符號變量2、syms函數(shù)syms函數(shù)的功能與sym函數(shù)類似。syms函數(shù)可以在一個語句中同時定義多個符號變量，其普通格式為： syms arg1 arg2 argN 用于將rg1, arg2,argN等符號創(chuàng)建為符號型數(shù)據(jù)。一、符號計算根底一 定義符號變量二默許符號變量在數(shù)學(xué)表達(dá)式中，普通習(xí)慣于運(yùn)用排在字母表中前面的字母作為變量的系數(shù)，而用排在后面的字母表示變量。例如： f=ax2+bx+c表達(dá)式中的a,b,c通常被以為是常數(shù)，用作變量的系數(shù)；而將x看作自變量。一、符號計算根底例如，數(shù)學(xué)表達(dá)式 f=xn g=sin(at+

5、b)根據(jù)數(shù)學(xué)式中表示自變量的習(xí)慣，默許a,b,c為符號常數(shù)，x為符號變量。假設(shè)在MATLAB中表示上述表達(dá)式，首先用syms 函數(shù)定義a，b，n，t，x為符號對象。在進(jìn)展導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時，由于沒有指定符號變量，那么系統(tǒng)采用數(shù)學(xué)習(xí)慣來確定表達(dá)式中的自變量，默許a,b,c為符號常數(shù)，x，t為符號變量。即 ： 對函數(shù)f求導(dǎo)為：df/dx 對函數(shù)g求導(dǎo)為：dg/dt一、符號計算根底二默許符號變量為了了解函數(shù)援用過程中運(yùn)用的符號變量個數(shù)及變量名，可以用findsym函數(shù)查詢默許的變量。該函數(shù)的援用格式為： findsymf,n闡明：f為用戶定義的符號函數(shù)， n為正整數(shù)，表示查詢變量的個數(shù)。 n=i,表示查詢i

6、個系統(tǒng)默許變量。n值省略時表示查詢符號函數(shù)中全部系統(tǒng)默許變量。一、符號計算根底二默許符號變量【例3 】查詢符號函數(shù) f=xn g=sin(at+b)中的系統(tǒng)默許變量。syms a b n t x %定義符號變量f=xn; %給定符號函數(shù)g=sin(a*t+b);findsym(f,1) %在f函數(shù)中查詢1個系統(tǒng)默許變量ans= x表示f函數(shù)中查詢的1個系統(tǒng)默許變量為x。一、符號計算根底二默許符號變量三 符號表達(dá)式符號表達(dá)式由符號變量、函數(shù)、算術(shù)運(yùn)算符等組成。符號表達(dá)式的書寫格式與數(shù)值表達(dá)式一樣。例如,數(shù)學(xué)表達(dá)式 其符號表達(dá)式為： 1+sqr(5*x)/2留意，在定義表達(dá)式前應(yīng)先將表達(dá)式中的字符

7、x定義為符號變量。251x一、符號計算根底四 生成符號函數(shù)將表達(dá)式中的自變量定義為符號變量后，賦值給符號函數(shù)名，即可生成符號函數(shù)。例如有一數(shù)學(xué)表達(dá)式：222),(cbyaxyxf一、符號計算根底其用符號表達(dá)式生成符號函數(shù)fxy的過程為： syms a b c x y %定義符號運(yùn)算量 fxy=(a*x2+b*y2)/c2 %生成符號函數(shù)生成符號函數(shù)fxy后，即可用于微積分等符號計算。一、符號計算根底四 生成符號函數(shù)【 例 4 】 定 義 一 個 符 號 函 數(shù) fxy=(a*x2+b*y2)/c2 ，分別求該函數(shù)對x、y的導(dǎo)數(shù)和對x的積分。syms a b c x y %定義符號變量fxy=(

8、a*x2+b*y2)/c2； %生成符號函數(shù) diff(fxy，x) %符號函數(shù)fxy對x求導(dǎo)數(shù)ans =2*a*x/c2diff(fxy， y) %符號函數(shù)fxy對y求導(dǎo)數(shù) ans =2*b*y/c2 %符號函數(shù)fxy對x求積分int(fxy， x) ans =1/c2*(1/3*a*x3+b*y2*x)一、符號計算根底四 生成符號函數(shù)二、微積分一 微積分函數(shù)1.求極限 函數(shù)limit用于求符號函數(shù)f的極限。系統(tǒng)可以根據(jù)用戶要求，計算變量從不同方向趨近于指定值的極限值。該函數(shù)的格式及功能：二、微積分 limit(f,x,a)：求符號函數(shù)fx的極限值。即計算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時，fx函數(shù)的極

9、限值。 limit(f,a)：求符號函數(shù)fx的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)fx的自變量，那么運(yùn)用該格式時，符號函數(shù)fx的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默許自變量，既變量x趨近于a。limit(f)：求符號函數(shù)fx的極限值。符號函數(shù)fx的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默許變量；沒有指定變量的目的值時，系統(tǒng)默許變量趨近于0，即a=0的情況。limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。二、微積分【例5】求極限syms x； %定義符號變量f =

10、( x * ( e x p ( s i n ( x ) ) + 1 ) -2*(exp(tan(x)-1)/sin(x)3； %確定符號表達(dá)式w=limit(f) %求函數(shù)的極限w = -1/2xeextgxxx3sin0sin) 1(2) 1(lim二、微積分2. 微分函數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達(dá)式s求微分。該函數(shù)的普通援用格式為： diff(s,v,n)二、微積分闡明： 運(yùn)用diffs沒有指定微分變量和微分階數(shù)，那么系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默許變量對符號表達(dá)式s求一階微分。 運(yùn)用diffs，v或diffs，symv 格式，表示以v為自變量，對符號表達(dá)式s求一階微分。 運(yùn)用diffs

11、，n格式，表示對符號表達(dá)式s求n階微分，n為正整數(shù)。 運(yùn)用diffs，v，ndiffs，n，v 格式，表示以v為自變量，對符號表達(dá)式s求n階微分?！纠?】求導(dǎo)數(shù)：x = sym(x); %定義符號變量t = sym(t);diff(sin(x2) %求導(dǎo)運(yùn)算ans =2*cos(x2)*xdxxd2sin二、微積分3積分函數(shù)積分函數(shù)ints ，v，a，b)可以對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求積分。其援用格式為： ints ，v，a，b)闡明：運(yùn)用ints格式，表示沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默許變量對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求一階積分。運(yùn)用ints，v格式，表示以v為自

12、變量，對被積函數(shù)或符號表達(dá)式s求一階不定積分。運(yùn)用積分函數(shù)時，假設(shè)給定 a、b兩項，表示是進(jìn)展定積分運(yùn)算。a、b分別表示定積分的下限和上限。不指定積分的下限和上限表示求不定積分。二、微積分【例7】求下述積分。求積分：syms xint(1/(1+x2) ans =atan(x)dxx211二、微積分4. 級數(shù)(級數(shù)求和)級數(shù)求和運(yùn)算是數(shù)學(xué)中常見的一種運(yùn)算。例如： f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn函數(shù)symsum可以用于此類對符號函數(shù)f的求和運(yùn)算。該函數(shù)的援用時，應(yīng)確定級數(shù)的通項式s，變量的變化范圍a和b。該函數(shù)的援用格式為： symsum(s, a,b)二、微積分【 例 8

13、 】 求 級 數(shù) 的 和 : 鍵 入 ：1/12+1/22+1/32+1/42+ syms k symsum(1/k2,1,Inf) %k值為1到無窮大ans =1/6*pi2其結(jié)果為：1/12+1/22+1/32+1/42+ =2/6二、微積分三、簡化方程表達(dá)式1.因式分解factor函數(shù)的功能為：把多項式S分解為多個因式，各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。格式為： factor(s)三、簡化方程表達(dá)式【例9】將表達(dá)式(x9-1)分解為多個因式。syms xfactor(x9-1)ans =(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)2.嵌套將符號多項式s用嵌套方式表示，即用多層括號的方式表示。

14、Horner函數(shù)可以實現(xiàn)此功能。該函數(shù)的格式為： horner(s)三、簡化方程表達(dá)式【例10】將表達(dá)式x3-6*x2+11*x-6用嵌套方式表示。syms xhorner(x3-6*x2+11*x-6)ans =-6+(11+(-6+x)*x)*x四、解方程解方程函數(shù)的格式為：solve(expr1,expr2,.,exprN,var1,var2,.varN) 或 solve(expr1,expr2,.,exprN) 其 功 能 為 ： 求 解 代 數(shù) 方 程 組expr1,expr2,.,exprN的根，未知數(shù)為var1,var2,.varN。闡明：假設(shè)不指明符號表達(dá)式expr1,expr2,.,exprN的值，系統(tǒng)默以為0。例如給出一個表達(dá)式x2-3*x-8,那么系統(tǒng)將按x2-3*x-8=0進(jìn)展運(yùn)算；四、解方程【例11】解代數(shù)方程：a*