相似三角形分類整理(超全)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第1節(jié) ：相似形與相似三角形基本概念： 1.相似形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，我們稱它們互為相似形。 2.相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形。1幾個(gè)重要概念與性質(zhì)（平行線分線段成比例定理）（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例. 已知abc, A D a B E b C F c 可得 等.（2）推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. A D E B C 由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩

2、邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. 此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.（4）定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例. （5）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段。2比例的有關(guān)性質(zhì)比例的基本性質(zhì)：如果，那么ad=bc。如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。合比性質(zhì)：如果，那么。等比性質(zhì)：如果=(b+d+n

3、0)，那么b是線段a、d的比例中項(xiàng)，則b2ad.典例剖析例1： 在比例尺是1：38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約7cm，則它的實(shí)際長度約為_Km. 若 = 則=_. 若 = 則a：b=_.3 相似三角形的判定（1） 如果兩個(gè)三角形的兩角分別于另一個(gè)三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（2） 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。（3） 三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。補(bǔ)充：相似三角形的識別方法(1)定義法：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(2)平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。注意：適用

4、此方法的基本圖形，(簡記為A型，X型)(3)三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(4)兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似。(5)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(6)一條直角邊和斜邊長對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。(7)被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似。【基礎(chǔ)練習(xí)】（1）如圖1，當(dāng) 時(shí)，ABC ADE（2）如圖2，當(dāng) 時(shí)， ABC AED。（3）如圖3，當(dāng) 時(shí)， ABC ACD。小結(jié)：以上三類歸為基本圖形：母子型或A型（3）如圖4，如圖1，當(dāng)ABED時(shí)，則 。 （4）如圖5，當(dāng) 時(shí)，則 。小結(jié)：此類圖開為基本圖開：兄弟型或X型典例剖析例1：判斷所有的等腰三角形都相

5、似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的等邊三角形都相似 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）例2：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F求證： ABF CAF.例3：如圖：在Rt ABC中， ABC=90°，BDAC于D，若 AB=6 ；AD=2； 則AC= ；BD= ；BC= ；例3：如圖：在Rt ABC中， ABC=90°，BDAC于D ，若E是BC中點(diǎn)，ED的延長線交BA的延長線于F，求證：AB : AC=DF : BF 第二節(jié)：相似三角形的判定 (一)相似三角形：定義1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，

6、叫做相似三角形溫馨提示：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè))三角形的三個(gè)角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時(shí)，這兩個(gè)(或幾個(gè))三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；對應(yīng)中線之比、對應(yīng)高之比、對應(yīng)角平線之比等于相似比。兩個(gè)鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個(gè)鈍角相等的條件。2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例相似比具有順序性例如ABCABC的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則ABCABC的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它

7、們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊(或其延長線)分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DEBC，ABCADE；這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為“預(yù)備定理”；有

8、了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)“見平行，想比例”，還要想到“見平行，想相似”(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理(1)：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理(2)：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理1或判定定理2；已有兩邊對應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2或判定定理3但是，在選擇利用判定定理2時(shí)，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等例1.如圖三角形ABC中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作一條直線交AB于D點(diǎn)，與

9、AC的延長線將于F點(diǎn)，且FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似溫馨提示：由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此，在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為“母子相似三角形”，其應(yīng)用較為廣泛如圖，可簡單記為：在RtABC中，CDAB，則ABCCBDACD直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB總結(jié)：尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧

10、正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形

11、成一整套完整的判定方法如：(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；(2)“相交線型”相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀恰耙娨粚Φ冉?，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖若圖中1=2，B=D(或C=E)，則ADEABC，該圖可看成把第一個(gè)圖中的ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的第三節(jié) 相似三角形中的輔助線一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證： 例2. 如圖，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=

12、CE，DE，BC的延長線相交于點(diǎn)F，證明：AB·DF=AC·EF。 二、作垂線例3. 如圖從 ABCD頂點(diǎn)C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：。 三、作延長線例4. 如圖，在梯形ABCD中，ADBC，若BCD的平分線CHAB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求HBC的面積。 例5. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF 四、作中線例6 如圖，中，ABAC，AEBC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。 五、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無

13、論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長線于E求證：DE2BE&

14、#183;CE 2、 等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。例2：如圖4，在ABC中，BAC=90°，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于點(diǎn)F求證：3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角

15、形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例3：如圖5，在ABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點(diǎn)，過B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DF·DG六、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明圖5AEFBDGCH例1如圖5在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延長線于H，交BE于G，求證：(1)FG / FAFB /

16、 FH (2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)BEACDMN例2如圖在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于N求：AN：AB的值； 圖CEDAFMB例3如圖過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E過點(diǎn)D作DMFC交AB于點(diǎn)M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED； (2)求證：AE×FB2AF×ED 第四節(jié) 相似三角形難題集一、分類討論：PADBQC圖例1如圖在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，ADP與QCP相似？例2如圖在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2

17、，BC3試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似 圖12ADBCP1P2P3二：相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題：1.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1AC動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)D作DHAB于H，過點(diǎn)E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；（2）當(dāng)DEG與ACB相似時(shí)，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90°，AB

18、=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時(shí)，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90°，AC6，BC8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當(dāng)ADCD時(shí)，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時(shí)，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC

19、中，BABC20cm，AC30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC？（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6）。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？三、構(gòu)造相似輔助線雙垂直模型 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求