1.2第一類曲線積分ppt課件

1、8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)量值函數(shù)的曲線積分?jǐn)?shù)量值函數(shù)的曲線積分二、第一類曲線積分的概念二、第一類曲線積分的概念四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義三、第一類曲線積分的計(jì)算三、第一類曲線積分的計(jì)算一、問題的提出一、問題的提出五、小結(jié)五、小結(jié) 作業(yè)作業(yè)( (第一類曲線積分第一類曲線積分) )8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分第八章第八章積分學(xué)積分學(xué) 定積分定積分 二重積分二重積分 三重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間域區(qū)間域 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 積分學(xué)

2、積分學(xué)積分域積分域8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分一、問題的提出一、問題的提出實(shí)例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量實(shí)例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 任任取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM

3、 近似值近似值精確值精確值近似近似8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分二、第一類曲線積分的概念二、第一類曲線積分的概念,),( ,),( , ),(,., .),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL 并作和并作和作乘積作乘積任意取定的一點(diǎn)任意取定的一點(diǎn)個(gè)小段上個(gè)小段上為第為第又又個(gè)小段的長度為個(gè)小段的長度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用有界有界上上在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1、定義、定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分

4、微積分.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf 即即記作記作第一類曲線積分第一類曲線積分上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)的極限存在的極限存在這和這和時(shí)時(shí)長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧積分弧積分和式積分和式8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分注意：注意：2( , ) ,(,)Liif x y dsfLL 、若若存存在在, ,則則它它與與 和和 有有關(guān)關(guān), ,而而與與 的的分分法法的的取取法法無無關(guān)關(guān). .1( ,), , (

5、 , ) .Lf x yLLf x y ds 、當(dāng)當(dāng)在在光光滑滑曲曲線線弧弧 上上連連續(xù)續(xù) 或或者者在在上上有有界界并并且且只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí) 則則第第一一類類 曲曲線線積積分分存存在在8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分3( , )LMx y ds 、物物理理意意義義：曲曲線線型型構(gòu)構(gòu)件件的的質(zhì)質(zhì)量量 4: ; A( , )LLLdsf x y ds 弧弧長長柱柱面面、幾幾何何意意義義8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分推廣：推廣：( , , )f x y z 函函數(shù)數(shù)在在空空間間曲曲線線弧弧上上對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分為為.),

6、(lim),(10iniiiisfdszyxf 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分2 2、性質(zhì)、性質(zhì) .),(),(),(),() 1 ( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分三、第一類曲線積分的計(jì)算三、第一類曲線積分的計(jì)算定理：定理： 22( , ),( ),() ( ),( ),( ) , , ( , ) ( ), ( )( )( )()Lf x yLLxx

7、ttx tyy ty tf x y dsf x ty txtyt dt 設(shè)設(shè)在在曲曲線線弧弧 上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 其其中中在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分注意：注意：2; 、定定積積分分的的下下限限一一定定要要小小于于上上限限3 3、 計(jì)算步驟計(jì)算步驟: : 寫出寫出L L的參數(shù)方程的參數(shù)方程( (關(guān)鍵關(guān)鍵) ) 表為定積分并計(jì)算表為定積分并計(jì)算1,( , );LLf x y ds 、若若 是是封封閉閉曲曲線線 記記為為8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分4 4、特殊情形、特殊

8、情形(1):( ).L yy xaxb2( , ) , ( ) 1( ).bLaf x y dsf x y xyx dx )(ba 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分(2):( ).L xx ycyd 2( , ) ( ), 1( ).dLcf x y dsf x yyxy dy )(dc (3)( ).Lrr 極極坐坐標(biāo)標(biāo)：22( )( )dsrrd 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分例例1 1、2 , (0,0), (1,1)LIyds Lyx 計(jì)計(jì)算算是是介介于于之之間間的的部部分分。1(5 51)12 例例2、22222, ,0.Laxy dsL

9、xoyxyax y 求求其其中中 為為面面圓圓弧弧2a8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分例例3、(),(1,0),(1,1),(0,1).Lxy dsLABC 求求其其中中 為為以以為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形邊邊界界3+ 28.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分推廣：推廣：:( ),( ),( ). ()xx tyy tzz tt 222( , , ) ( ), ( ), ( )( )( )( )()f x y z dsf x t y t z txtytzt dt 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分222() ,cos ,sin ,02

10、xyz dsxt ytz tt 求求其其中中 為為位位于于的的一一段段弧弧。例例4、22 2(34)3 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分例例5、22222, 0.xyzaIx dsxyz 求求其其中中 為為圓圓周周323a 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義(1)( , )1,;Lf x yLds 弧弧長長當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)(2)( , )( , ),f x yLx y當(dāng)當(dāng)表表示示立立于于 上上的的柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的高高時(shí)時(shí).),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線

11、積分微積分微積分(3)( , ),x yL 當(dāng)當(dāng)表表示示 的的線線密密度度時(shí)時(shí);),( LdsyxM ,)4(軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量軸軸及及曲曲線線弧弧對對yx22,.xyLLIydsIxds8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分(5) 曲曲線線弧弧的的質(zhì)質(zhì)心心坐坐標(biāo)標(biāo)., LLLLdsdsyydsdsxx 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分2a 求求半半徑徑為為 ，中中心心角角為為的的均均勻勻質(zhì)質(zhì)量量圓圓弧弧對對 其其對對稱稱軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量。31(sin2 )2a 6 例例 、8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分2259xy橢

12、橢圓圓柱柱面面+=1+=1被被平平面面z=yz=y及及z=0z=0所所截截，求求位位于于第第一一、二二卦卦限限內(nèi)內(nèi)所所截截部部分分的的側(cè)側(cè)面面積積。7 例例 、159ln54 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分22,xyedsL L L求求其其中中 如如圖圖所所示示oxy3:Lyx 2222:Lxya 1L練練習(xí)習(xí) 8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分五、小結(jié)五、小結(jié)1 1、第一類曲線積分的概念、第一類曲線積分的概念2 2、第一類曲線積分的計(jì)算、第一類曲線積分的計(jì)算3 3、第一類曲線積分的應(yīng)用、第一類曲線積分的應(yīng)用8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分

13、微積分微積分思考題：思考題：第一類曲線積分的定義中第一類曲線積分的定義中 的符號的符號可能為負(fù)嗎？可能為負(fù)嗎？is 思考題解答：思考題解答：is 的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧的符號永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度段的長度. .8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 已知橢圓已知橢圓134:22yxL周長為周長為a , 求求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:8.18.1 第一類曲線積分第一類曲線積分微積分微積分2. 設(shè)均勻螺旋形彈簧設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于求它關(guān)于 z 軸