《偏微分方程》

1、4 分離變量法1偏微分方程教程第四章 雙曲型方程4 分離變量法24 分離變量法 分離變量法分離變量法亦稱Fourier法, 它是解混合問題的一個最普遍的基本方法. 雖然在2我們已經(jīng)利用波的反射原理討論過混合問題, 但在數(shù)學(xué)物理問題的研究中，有許多混合問題能用分離變量法求解,而不能用波的反射原理求解. 因此，分離變量法在求解偏微分方程的混合問題時特別重要，它不僅適用于波動方程， 而且也適用于熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程，以及某些形式更復(fù)雜的方程和方程組. 在這一節(jié)我們將以一維波動方程和二維波動方程的混合問題為模型，闡述分離變量法的解題過程和理論基礎(chǔ). 偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程4 分離變量法3偏

2、微分方程教程 第四章 雙曲型方程4.1 4.1 齊次波動方程的混合問題齊次波動方程的混合問題 考察兩端固定的弦的自由振動, 此問題可歸結(jié)為求方程 滿足初始條件 2000ttxxua ux l t (4.1)00( )( ) 0tt tux uxx l (4.2)及邊界條件 0000 xx luut (4.3)的解, 其中 (0)( )0(0)( )0ll 是相容性條件相容性條件. 首先，我們設(shè)法找到所有具有變量分離形式的滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3) 的非零特解.所謂函數(shù) 具有變量分離形式， ()u x t 下面我們用分離變量法來求解混合問題(4.1)-(4.3). 4 分離變量法4偏

3、微分方程教程 第四章 雙曲型方程是指它能寫成 ()( ) ( )u x tX x T t(4.4)的形式. 將(4.4)代入方程(4.1), 有 2( )( )( ) ( )X x T ta Xx T t此處 ( ) ( )0X x T t 分離變量即得 2( )1( )( )( )XxTtX xaT t(4.5)t因為等式(4.5)的左端僅與 x有關(guān), 右端僅與 t有關(guān), 因此存在常數(shù) 使得 2( )1( )( )( )XxTtX xaT t 于是得到變量被分離后的兩個常微分方程 4 分離變量法5偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程( )( )0XxX x 2( )( )0Tta T t (4

4、.6) (4.7) 現(xiàn)在我們可以通過解這兩個常微分方程來定出函數(shù) ( )X x( )T t和 由邊界條件(4.3)得 (0 )(0) ( )0utXT t ()( ) ( )0u l tX l T t 由于我們所要求的 ()u x t 是非零解，故 ( )0T t ,從而推知函數(shù) ( )X x應(yīng)滿足附加條件 (0)0( )0XX l (4.8)為此，我們需要解如下含參數(shù) 題: ( )( )0(0)( )0.XxX xXX l(4.9) 的二階線性常微分方程邊值問4 分離變量法6偏微分方程教程第四章 雙曲型方程定義定義4.14.1 使常微分方程邊值問題(4.9)具有非平凡解的那些值稱為這個邊值問

5、題的特征值; 相應(yīng)的非平凡解稱為對應(yīng)于這個特征值的特征函數(shù)特征函數(shù);尋找邊值問題(4.9)的所有特征值和特征函數(shù)的問題稱為特征值問題特征值問題或施圖姆施圖姆- -劉維爾劉維爾(Sturm-Liouville)(Sturm-Liouville)問題問題.現(xiàn)在我們來解特征值問題(4.9). 分三種情形進行討論: 1) 當 0時,方程(4.6)的通解為 12( )xxX xcec e 其中 12c c 是任意常數(shù),要使它滿足邊界條件(4.8),就必須有 12120,0.llcccec e 4 分離變量法7偏微分方程教程第四章 雙曲型方程110llee 因此 12c c 必須同時為零,從而 ( )X

6、x恒等于零.此時特征值問題(4.9)沒有非平凡解. 2) 當 0時, 方程(4.6)的通解為 12( )X xcc x11200cccl 所以 120cc, 從而 ( )0X x .此時, (4.9)也沒有非平凡解. 3) 當 0時, 方程(4.6)的通解為 12( )cossinX xcxcx由于系數(shù)行列式4 分離變量法8偏微分方程教程第四章 雙曲型方程要它滿足邊界條件(4.8), 必須 1120cossin0cclcl 由這兩個等式推得 2sin0cl 如果20c , 那么 ( )0X x 因此為了獲得非平凡解, 必須要求 20c 且 sin0l即 kl其中 k是一個任意的正整數(shù). 所以,

7、 只有當 取值為 (4.10)21 2kkkl4 分離變量法9偏微分方程教程第四章 雙曲型方程時, 特征值問題(4.9)才有非平凡解.這些離散的 k(4.9)的特征值,與這些特征值 就是特征值問題k對應(yīng)的函數(shù) ( )sin12kkk xX xckl (4.11)就是特征值 k所對應(yīng)的特征函數(shù). 對于 k方程(4.7)的通解可寫成 ( )cossin1 2kkkk ak aT tatbt kll 其中 ka和 kb都是任意常數(shù), 于是對任意的 kk kAca和 kkkBc b函數(shù) ()( )( )(cossin)sinkkkkkkakakxux tXx TtAtBtlll4 分離變量法10偏微分

8、方程教程 第四章 雙曲型方程滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3). 由于方程(4.1)是線性齊次的, 根據(jù)疊加原理, 對任何有限個特解的線性組合也是它的解. 對于無窮級數(shù) 1()(cossin)sinkkkk ak aku x tAtBtxlll(4.12)由級數(shù)理論知, 只要級數(shù)(4.12)及它對 x和 t逐項求導(dǎo)兩次后所得的級數(shù)都一致收斂時，其和函數(shù)()u x t 將仍是方程(4.1)滿足邊界條件(4.3)的解.現(xiàn)在的問題是設(shè)法確定常數(shù) kA和 kB使級數(shù)(4.12)及它對 x和 t逐項求導(dǎo)兩次后所得的級數(shù)都一致收斂, 且和函數(shù)滿足初始條 件(4.2). 這里先對級數(shù)(4.12) 關(guān)于

9、t形式求導(dǎo), 得 1()(sincos)sinkkkuk ak ak akxtAt Btxtllll (4.13)4 分離變量法11偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程利用初始條件(4.2), 在(4.12)和(4.13)中令 0t 得 11( )sin,( )sin.kkkkkxAxlkakxBxll由此可知, 如果函數(shù) ( )x和 ( ) x在區(qū)間 0l上都能展成Fourier正弦級數(shù), 那么它們的系數(shù) kA和 kk aBl就由 002( )sin2( )sinlklkk xAxdxllk xBxdxk al(4.14) 給出. 4 分離變量法12偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程下面我們來

10、證明, 當初始數(shù)據(jù) ( )x和 ( )x(4.14)確定的 kA和 kB作系數(shù)的級數(shù)(4.12)就是混合問題(4.1)-(4.3) 的解為此, 我們只要能證得級數(shù)(4.12)及對它逐項求導(dǎo)兩次后所得級數(shù)都一致收斂就行了( )f x在區(qū)間 0 l 上有直到 m階的連續(xù)導(dǎo)數(shù), 1m 階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù),且當 p為偶數(shù)時 ()()(0)( )0ppffl若把函數(shù) ( )f x展開成正弦級數(shù) 1()sinkkkfxaxl滿足一定的條件時 ,由引理引理4.54.5 設(shè)函數(shù) 4 分離變量法13偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程 證證: : 由假設(shè)知, 函數(shù) (1)( )mfx可在區(qū)間 0 l 上展為Fouri

11、er m為奇數(shù)時, 展開式為 (1)(1)1( )sinmmkkkfxaxl則級數(shù)1mkkka是收斂的.級數(shù).當4 分離變量法14偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程其中 1212(1)(1)0( )( )002(1)(1)001012( )sin22( )sin( )cos22( )cos( )sin2( 1)( )sin( 1)mmlmmkllmmllmmmlmkafxxdxllkkkfxxfxxdxlll llkkkkfxxfxxdxl lllllkkf xxdxlllk kal4 分離變量法15偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程當 m為偶數(shù)時, 展開式為 (1)(1)(1)01( )co

12、s2mmmkkakfxaxl同樣可以推得 21(1)( 1)0 1 2mmmkkkaakl 根據(jù)貝塞爾(F.W. Bessel)不等式, 有 2(1)(1)20122(1)(1)(1)20012( )12( )2lmmkklmmmkkafx dxmlaafx dxml為 奇 數(shù)為 偶 數(shù)4 分離變量法16偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程由此可見, 無論 m是奇數(shù)還是偶數(shù), 都有 (1)21mkka 即 2221mkkka 利用Cauchy不等式, 得 1222211111mmmkkkkkkkak akkakk 所以級數(shù) mkka收斂. 引理證畢. 4 分離變量法17偏微分方程教程 第四章 雙

13、曲型方程(0)( )(0)( )(0)( )0lll 定理定理 4.114.11 設(shè)在區(qū)間 0l 上, 函數(shù) ( )x且三階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù), 函數(shù)( )x端點同時滿足相容性條件相容性條件 二次連續(xù)可微 連續(xù)可微且二階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù),在 則由級數(shù)(4.12)定義的函數(shù)()u x t 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且是混合問題(4.1)-(4.3)的解.4 分離變量法18偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程 證證: : 由引理4.5知, 級數(shù) 2211kkkkkAkB都是收斂的, 因而級數(shù)(4.12)關(guān)于 x和 t數(shù)也都是一致收斂的, 而且分別收斂于函數(shù) ()u x t 級數(shù)(4.12)所定義的函數(shù) ()u x t 是定解問題(4.1)-(4.3)的解. 逐項微分二次后所得的級的相應(yīng)導(dǎo)數(shù),所以定理證畢.4 分離變量法19偏微分方程教程 第四章 雙曲型方程第一步第一步: : 令 (