四點(diǎn)共圓(一)

1、四點(diǎn)共圓(一)第二十四講 四點(diǎn)共圓（一）【知識(shí)要點(diǎn)】四點(diǎn)共圓的判定方法：1、若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上（即這四點(diǎn)共圓）。2、若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角的和等于180度，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。3、若一個(gè)四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。5、若、兩線段相交于點(diǎn)，且，則、四點(diǎn)共圓。6、若、兩線段延長(zhǎng)后相交于點(diǎn)，且，則、四點(diǎn)共圓。7、若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。【典例精講】例1、銳角的三條高、交于，在、七個(gè)點(diǎn)中

2、能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（）A、組 B、組 C、組 D、組例2、如圖，、四點(diǎn)在同一圓上，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且。（1）證明：；（2）延長(zhǎng)到，延長(zhǎng)到，使得，證明：、四點(diǎn)共圓.例3、如圖，在梯形中，點(diǎn)，分別在邊，上，設(shè)與相交于點(diǎn)，若，四點(diǎn)共圓，求證：例4、已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，若、四點(diǎn)共圓，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、無(wú)法求出例5、在圓內(nèi)接等腰三角形的底邊上任取二點(diǎn)、，延長(zhǎng)、分別交圓于、，求證：.例6、如圖，分別是，邊上的點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，已知，為方程的兩根.（1）證明：，四點(diǎn)共圓；（2）若，求，四點(diǎn)所在圓的半徑例7、如圖，為圓的直徑，為垂直于的一條弦，垂足為，弦與交于點(diǎn)（1）

3、證明：、四點(diǎn)共圓；（2）證明：例8、如圖，在平行四邊形中，為鈍角，且，（1）求證：、四點(diǎn)共圓；（2）設(shè)線段與（1）中的圓交于、求證：例9、如圖所示，為的內(nèi)心，求證：的外心與、四點(diǎn)共圓.例10、三點(diǎn)共線，點(diǎn)在直線外，分別為，的外心求證：，四點(diǎn)共圓.例11、如圖，在中，分別是，的角平分線，是與的交點(diǎn)，若，四點(diǎn)共圓，則的內(nèi)切圓半徑為多少？例12、如圖，點(diǎn)是外接圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，使得，。證明：、四點(diǎn)共圓.例13、如圖，（1）求證：、四點(diǎn)共圓；（2）若，求線段的長(zhǎng)例14、在的邊，上分別取，使得，又點(diǎn)是的外心（1）證明：，四點(diǎn)共圓；（2）證明：在的平分線上例15、如圖，為外接圓的切線，的延長(zhǎng)線交直線

4、于點(diǎn)，、分別為弦與弦上的點(diǎn)，且，、四點(diǎn)共圓（1）證明：是外接圓的直徑；（2）若，求過(guò)、的圓的面積與外接圓面積的比值例16、如圖，銳角的內(nèi)心為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，點(diǎn)為內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)（1）求證：，四點(diǎn)共圓；（2）若，求的度數(shù)例17、如圖，在正中，點(diǎn)，分別在邊、上，且， ，相交于點(diǎn)，求證：（1），四點(diǎn)共圓；（2）【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、 如圖，是的直徑，弦，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：（1）；（2），四點(diǎn)共圓2、如圖，已知是的切線，為切點(diǎn)，是的割線，與交于，兩點(diǎn)，圓心在的內(nèi)部，點(diǎn)是的中點(diǎn)（1）證明，四點(diǎn)共圓；（2）求的大小3、如圖，已知為半圓的直徑，、分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為、，的

5、延長(zhǎng)線交于，的延長(zhǎng)線交于，為垂足（1）求證：、四點(diǎn)共圓；（2）求證：4、如圖，已知中的兩條角平分線和相交于，在上，且（1）證明：，四點(diǎn)共圓； （2）證明：平分5、如圖，已知是的直徑，是的切線，割線、分別交于、，連接、求證：6、如圖，與相交于、兩點(diǎn)，圓心在上，的弦切于點(diǎn)，及其延長(zhǎng)線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（1）求證：、四點(diǎn)共圓；（2）若，求出由四點(diǎn)、所確定圓的直徑7、如圖所示，已知切圓于，割線交圓于、，于，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接（1）求證：，四點(diǎn)共圓；（2）當(dāng)，時(shí)，求圓的半徑8、如圖，是直角三角形，以為直徑的圓交于點(diǎn)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連交圓于點(diǎn)（1）求證：，四點(diǎn)共圓；（2）求證：.9、如圖所示，在中，點(diǎn)為三角形外的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與邊相切，切點(diǎn)為，圓與邊相交于點(diǎn)，直徑與邊交于點(diǎn)，連接求證：10、如圖，在中，是直角，是線段上一點(diǎn)，以為直徑的半圓交于，連接交半圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于（1）求證、四點(diǎn)共圓； （2）若 ，求 的值11、如圖所示，是的直徑，為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，是的割線，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為求證：（1），四點(diǎn)共圓；（2）12、如圖，已知與相切于點(diǎn)，為的割線，