函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、2022-3-271二二 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三三 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四四 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五五 初等函數(shù)求導(dǎo)的小結(jié)初等函數(shù)求導(dǎo)的小結(jié)六六 思考判斷題思考判斷題第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則一一 和、差、積、商的求導(dǎo)法則和、差、積、商的求導(dǎo)法則2022-3-272一一 和、差、積、商的求導(dǎo)法則和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理2并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)們們的的和和在在點點則則它它處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)們們的的差差在在點點則則它它處處可可

2、導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(),(xxxvxu);()( )()(xvxuxvxu 定理定理12022-3-273證證(1)(1)()()(xvxuxf 設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 (2)(2)略略. .hxvhxvxuhxuh)()()()(lim0 )()(xvxu 2022-3-274推論推論)()()( )()()()1(2121xfxfxfxfxfxfmm 例例1 1.ln23的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxxy 解解xxxy12322022-3-275定理定理3并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)們們的的積積在在點點則則它它處處可可導(dǎo)

3、導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(),(xxxvxu);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 推論推論);( )()2(xfCxCf wuvwvuvwuuvw )3(注意注意:);()( )()(xvxuxvxu 2022-3-276例例2 2.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 并并且且處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點分分母母不不為為零零們們的的商商則則它它處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()

4、()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu定理定理42022-3-277證證),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 2022-3-278hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在xxf注意注意:.)()()()(xvxuxvx

5、u 2022-3-279例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 同理可得同理可得xxy2sec)(tan xxy2csc)(cot 2022-3-2710例例4 4.sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得例例5 5).(,0,0,sin)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.xx

6、xycotcsc)(csc 2022-3-2711解解, 1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) x,0時時當(dāng)當(dāng) xxxfcos)( ,0時時當(dāng)當(dāng) x10)0sin(lim)0(0 hhfh10lim)0(0 hhfh. 1)0( f.0, 10,cos)( xxxxf2022-3-2712二二 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y), 0

7、(xIxxx 法則法則2022-3-2713于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)因因為為xf0,0yx必必有有時時所所以以當(dāng)當(dāng))0)( yxyxfx0lim)( 故故yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即即是即是反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).2022-3-2714例例1 1.arcsinsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為直接函數(shù)，求為直接函數(shù)，求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xyyx 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在所以所以)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2si

8、n11 同理可得同理可得211x 211)(arccosxx 2022-3-2715例例2 2.arctantan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為直直接接函函數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xyyx 解解,)2,2(tan內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yIyx, 0sec)(tan2 yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在所所以以),( xI)(tan1)(arctan yxy2sec1 y2tan11 同理可得同理可得211x 211)cot(xxarc 2022-3-2716例例3 3, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在故故 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)

9、在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx .log 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為直直接接函函數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xayyax 2022-3-2717三 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t（Chain Rules)：).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)證明證明,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點由由uufy )(lim00ufuyu 所以所以)0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則2022-3-2718xyx0lim故故)(lim00

10、 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 注注1：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，即因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變量求導(dǎo)等于因變量對中間變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自乘以中間變量對自變量求導(dǎo)變量求導(dǎo). .2022-3-2719注注2 ),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例4 4.tanln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.tan,lnxuuy dxdududydxdy xu2sec1 xxcossin1 2022-3-2720

11、例例5 5.)cos(ln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xey 解解xevvuuy ,cos,lndxdvdvdududydxdy )tan()sin(1xxxeeevu 注：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以注：熟練以后，可以不寫出中間變量，此例可以這樣寫：這樣寫： )cos()cos(1)cos(ln xxxeeedxdy)tan( )()cos()sin(xxxxxeeeee 2022-3-2721例例6 6.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy練習(xí)：練習(xí)：.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos

12、11sin2xexx 2022-3-2722四、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)chxshx )(shxchx )(xchthx21)( 211)(xarthx 211)(xarshx 11)(2 xarchx2022-3-2723)11(1122xxxx 211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar只證明其中一個公式只證明其中一個公式2022-3-2724例例8 8.)arctan(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)shxy 解解)(112 shxxshychxxsh 211xshchx21 2022-3-2725xxxxxxxCtanse

13、c)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 五五 小結(jié)小結(jié)2022-3-27262211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）

14、)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 2022-3-27273 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為的的則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決決.2022-3-2728六六 思考判斷題思考判斷題1 冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定可導(dǎo)。冪函數(shù)在其定義域內(nèi)一定可導(dǎo)。 2 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出