上海交通大學概率統(tǒng)計連續(xù)型隨機變量機器概率分布

1、2.3 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量定義 設 X 是隨機變量, 若存在一個非負 可積函數(shù) f ( x ), 使得xttfxFxd)()(其中F ( x )是它的分布函數(shù)則稱 X 是 連續(xù)型 r.v. ，f ( x )是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡記為d.f.連續(xù)型連續(xù)型 r.v.的概念的概念-10-550.020.040.060.08xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義)(xfy p.d.f. f ( x )的性質的性質q 0)(xfq 1)(d)(Fxxf常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性 r.v.的 d.f.q 在 f ( x ) 的連續(xù)點處，)(

2、)(xFxff ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的區(qū)間內取值的概率xxFxxFxFx)()(lim)(0000 xxxXxPx)(lim000)(0 xfxttfxFxd)()(積分)()(000 xxXxPxxf線段質量長度密度注意: 對于連續(xù)型r.v.X , P(X = a) = 0其中 a 是隨機變量 X 的一個可能的取值)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)( aXP命題命題 連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強調強調 概率為概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生的事件未必不發(fā)生(發(fā)生發(fā)生)(aX )(aXxa0 x事實上對于連續(xù)

3、型 r.v. X)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(aFbFbxf ( x)-10-550.020.040.060.08abaxxfd)()()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a例例1 1 已知某型號電子管的使用壽命 X 為連續(xù)r.v., 其 d.f.為其他, 01000,)(2xxcxf(1) 求常數(shù) c (3) 已知一設備裝有3個這樣的電子管, 每個電子管能否正常工作相互獨立, 求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.)200015001700(XXP(2) 計算解解(1) 令1dd )

4、(10002xxcxxfc = 1000)200015001700(XXP(2) )20001500,1700(XXP)20001500( XP)20001500( XP)17001500(XP170015002d1000 xx200015002d1000 xx51461.4706. 05124(3)設A 表示一個電子管的壽命小于1500小時)15000()(XPAP31d1000150010002xx設在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為 Y31,3 B943231) 1 () 1(2133CPYP例例2 2 設為使 f (x) 成為某 r.v. X 在解解 由 0)(0)(2c

5、bxaxxhxf),(d.f.系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足何條件？12)()(cbxaxxfaxhbaxxh2)(,2)( 當)(02)(0 xhaxha 有最小值abcxh4/)(2min上的另外由04/2abc當且僅當 時0)(2cbxaxxh142)()(212bacdxcbxaxdxxf得.4422bac所以系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足下列條件,0a,04/2abc.4422bac可省略作業(yè)作業(yè) P83 習題二習題二16 18(1) 均勻分布均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若 X 的 d.f. 為其他, 0,1)(bxaabxf則稱 X

6、服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布均勻分布或稱 ),(baUX X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布均勻分布. 記作X 的分布函數(shù)為1, 0abaxbxbxaax,xttfxFd)()(xf ( x)abxF( x)ba, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd即 X 落在(a,b)內任何長為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關, 只與其長度成正比. 這正是幾何概型的情形. 進行大量數(shù)值計算時, 若在小數(shù)點后第k 位進行四舍五入, 則產(chǎn)生的誤差可以看作服從 的 r.v. 隨機變量kkU1021,1021應用場合應用場合例例3 3 秒表最小刻度值為0.01秒. 若計時精度

7、是取最近的刻度值, 求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X 的 d.f. 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率. 005. 0005. 0UX解解 X 等可能地取得區(qū)間005. 0005. 0其他, 0005.0,100)(xxf8.0100)004.0(004.0004.0dxXP所以上的任一值，則(2) 指數(shù)分布指數(shù)分布若 X 的d.f. 為其他, 00,)(xexfx則稱 X 服從 參數(shù)為 的指數(shù)分布)(EX記作X 的分布函數(shù)為0,10, 0)(xexxFx 0 為常數(shù)1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a b, babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(應用場合應用場

8、合 用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命 指數(shù)分布常作為各種“壽命” 分布的近似若 X (),則故又把指數(shù)分布稱為故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕永遠年輕”的分布的分布)()(tXPsXtsXP指數(shù)分布的“無記憶性無記憶性”事實上)()()(),()(sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)()(1)(1)(1)(1)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts命題解解 (1)()(tTPtFT0),(10, 0ttTPt) 0)()(tNPtTPtteet! 0)(0例例4 4 假定一大型設備在任何長為 t 的時間內發(fā)生故障的次數(shù)

9、 N( t ) (t), 求 相繼兩次故障的時間間隔 T 的概率分布; 設備已正常運行小時的情況下,再正常 運行 10 小時的概率.0,10, 0)(tettFt0,0,0)(tettft即)(ET)8108()818(TTPTTP10)10(eTP(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”(3) 正態(tài)分布正態(tài)分布若X 的 d.f. 為xexfx222)(21)(則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，0 亦稱高斯(Gauss)分布N (-3 , 1.2 )-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33f (x) 的性質的性質：q 圖形關于直線

10、x = 對稱, 即在 x = 時, f (x) 取得最大值21在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應的點處有拐點曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀f ( + x) = f ( - x) 21)()(1)()(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3q f ( x) 的兩個參數(shù)：的兩個參數(shù)： 位置參數(shù)即固定 , 對于不同的 , 對應的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同 形狀參數(shù)固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.若 1 2 則212121比x= 2 所對應的拐點更靠近直線 x=附近

11、值的概率更大. x = 1 所對應的拐點前者取 Showfn1,fn3大小-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5幾何意義 大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義 大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比正態(tài)變量的條件 若 r.v. X 受眾多相互獨立的隨機因素影響 每一因素的影響都是微小的 且這些正、負影響可以疊加則稱 X 為正態(tài) r.v.可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差； 人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學生的考試成績；一種重要的正態(tài)分布一種重要的正態(tài)分布xexx2221)(是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為xtexxtd21)(

12、22其值有專門的表供查. 標準正態(tài)分布N (0,1)密度函數(shù)5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2) 其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例5 5 設 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解210216 . 1)6 . 10(XP5 . 03 . 0 5 . 01 3 . 06915. 01 6179. 03094. 0P380 附表3例例6 6 已知), 2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一20)0(XP212224)42(XP)0(23 . 08 . 022 . 0) 0(XP解二解二 圖解法0.22 . 0)0(XP由圖-22460.050.10.150.20.3例例 3 原理設 X N ( , 2), 求)