第五章概率基礎(chǔ)ppt課件

1、第五章第五章 概率根底概率根底本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容n概率論的開展史概率論的開展史n隨機(jī)事件隨機(jī)事件(Random Events)n概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義n古典概型古典概型(Classical Probability)n幾何概率幾何概率Geometric Probability)n條件概率條件概率(Conditional Probability)n事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性(Independence of Events)一、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)一、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(Random experiment) (Random experiment) 為研討隨機(jī)景象規(guī)律性，往往進(jìn)展實(shí)驗(yàn)。例如：為研討隨機(jī)景象規(guī)律性，往

2、往進(jìn)展實(shí)驗(yàn)。例如：1. 拋一枚硬幣，察看正面、反面出現(xiàn)的情況。拋一枚硬幣，察看正面、反面出現(xiàn)的情況。2. 將一枚硬幣拋三次，察看出現(xiàn)正面的次數(shù)。將一枚硬幣拋三次，察看出現(xiàn)正面的次數(shù)。3. 拋一枚骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。拋一枚骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。4. 記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù)。記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù)。5. 在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。6. 記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。 這些實(shí)驗(yàn)都具有以下的特點(diǎn)：這些實(shí)驗(yàn)都具有以下的特點(diǎn)：可反復(fù)性：可在一樣條件下反復(fù)進(jìn)展可反復(fù)性：可在一樣條件下反復(fù)進(jìn)展

3、可預(yù)知性：實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚪Y(jié)果不止一個(gè)可預(yù)知性：實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚪Y(jié)果不止一個(gè), ,但能確定但能確定 一切的一切的能夠結(jié)果結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的一能夠結(jié)果結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的一切能夠結(jié)果；切能夠結(jié)果；隨機(jī)性：一次實(shí)驗(yàn)之前無(wú)法確定詳細(xì)是哪種隨機(jī)性：一次實(shí)驗(yàn)之前無(wú)法確定詳細(xì)是哪種 結(jié)果出現(xiàn)。結(jié)果出現(xiàn)。 在概率論中，我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)稱在概率論中，我們將具有上述三個(gè)特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(Random experiment)(Random experiment)，表示為，表示為E E 。 二、事件二、事件Event)n必然事件必然事件 ：某件事情在一次實(shí)驗(yàn)中一定發(fā)生：某件

4、事情在一次實(shí)驗(yàn)中一定發(fā)生n 如：如： “ “在一副撲克牌中任摸在一副撲克牌中任摸1414張，其中有兩張花張，其中有兩張花樣是不同樣是不同 就是必然事件。就是必然事件。n不能夠事件不能夠事件 ：某件事情在一次實(shí)驗(yàn)中一定不發(fā)生：某件事情在一次實(shí)驗(yàn)中一定不發(fā)生n 如：如：“在一副撲克牌中任摸在一副撲克牌中任摸1414張，其中沒(méi)有兩張花張，其中沒(méi)有兩張花樣是不同的就是不能夠事件。樣是不同的就是不能夠事件。n隨機(jī)事件隨機(jī)事件A,B,C,) A,B,C,) ：某件事情在一次實(shí)驗(yàn)中既能：某件事情在一次實(shí)驗(yàn)中既能夠發(fā)生，也能夠不發(fā)生夠發(fā)生，也能夠不發(fā)生n 如：如：“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面

5、朝上n “ “扔一枚骰子，出想扔一枚骰子，出想6 6點(diǎn)點(diǎn)“擲得奇數(shù)擲得奇數(shù)“擲得偶數(shù)擲得偶數(shù)根身手件根身手件復(fù)合事件01 ， ， . 例例1 1 對(duì)于實(shí)驗(yàn)對(duì)于實(shí)驗(yàn)E E： 將一枚硬幣連拋三次，思索正反將一枚硬幣連拋三次，思索正反面出現(xiàn)的情況，假設(shè)記面出現(xiàn)的情況，假設(shè)記“正面為正面為H H， “ “反面為反面為T T， 那么根身手件有：那么根身手件有：HHH, HHT, HTH, THHHHH, HHT, HTH, THH，HTTHTT，THTTHT，TTH TTH ， TTT TTT 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 A A“至少出一個(gè)正面至少出一個(gè)正面 HHH, HHT, HTH, THHHHH, HHT,

6、 HTH, THH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH； B=“ B=“兩次出現(xiàn)同一面兩次出現(xiàn)同一面=HHH,TTT =HHH,TTT C=“ C=“恰好出現(xiàn)一次正面恰好出現(xiàn)一次正面=HTT=HTT，THTTHT，TTH TTH n2020世紀(jì)，馮世紀(jì)，馮. .米澤斯米澤斯(Von Mises)(Von Mises)開場(chǎng)用集合論研討事件。開場(chǎng)用集合論研討事件。n1. 1. 樣本空間樣本空間n樣本點(diǎn)：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E E的每一個(gè)能夠結(jié)果的每一個(gè)能夠結(jié)果n樣本空間：樣本點(diǎn)的全體，即隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本空間：樣本點(diǎn)的全體，即隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E E的一切能夠結(jié)果組的一切能夠結(jié)果組成的集合，記為成的集合

7、，記為 。n例例1 1：擲一枚硬幣，調(diào)查出現(xiàn)向上的面，實(shí)驗(yàn)的能夠結(jié)果有：擲一枚硬幣，調(diào)查出現(xiàn)向上的面，實(shí)驗(yàn)的能夠結(jié)果有：“正面向上，正面向上，“反面向上兩個(gè)，那么樣本空間為：反面向上兩個(gè)，那么樣本空間為：三、事件的集合論定義三、事件的集合論定義1221若采用記號(hào) “正面向上”， “反面向上”則 ，“正面向上”，“反面向上”2. 2. 事件的集合論定義事件的集合論定義 事件可以看作是樣本空間的子集事件可以看作是樣本空間的子集 事件事件A A不發(fā)生不發(fā)生 不是不是A A中的點(diǎn)中的點(diǎn)事件事件A A發(fā)生發(fā)生 是是A A中的點(diǎn)中的點(diǎn)事件事件A A 子集子集A A A A根身手件、樣本點(diǎn)根身手件、樣本點(diǎn)

8、點(diǎn)元素點(diǎn)元素不能夠事件不能夠事件 空集空集必然事件、樣本空間必然事件、樣本空間 空間空間概率論解釋概率論解釋集合論解釋集合論解釋符號(hào)符號(hào)AA1 1事件的包含與相等事件的包含與相等假設(shè)假設(shè)“A“A發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生必導(dǎo)致B B發(fā)生發(fā)生 記為記為假設(shè)假設(shè) , ,那么那么 稱事件稱事件A A與與B B相等相等, ,記為記為A=B.A=B.2 2事件的和并事件的和并“事件事件A A與與B B至少有一個(gè)發(fā)至少有一個(gè)發(fā)生生, ,記作記作ABAB3 3、事件間的關(guān)系與運(yùn)算、事件間的關(guān)系與運(yùn)算ABABBA且3 3事件的積事件的積事件事件A A與與B B同時(shí)發(fā)生，記作同時(shí)發(fā)生，記作 AB ABABABn n個(gè)事件個(gè)

9、事件A1, A2, AnA1, A2, An同時(shí)發(fā)同時(shí)發(fā)生，記作生，記作 A1A2An A1A2An 4 4事件的差事件的差事件事件A A發(fā)生而發(fā)生而B B不發(fā)生不發(fā)生, ,記為記為A AB B思索：何時(shí)思索：何時(shí)A-B=?A-B=?何時(shí)何時(shí)A-B=AA-B=A？5 5互斥事件互斥事件假設(shè)事件假設(shè)事件A A與與B B不能同時(shí)不能同時(shí)發(fā)生發(fā)生, ,即即AB=,AB=,那么那么 稱事件稱事件A A與與B B互斥互斥, ,或或互不相容互不相容 BA6 6逆事件逆事件設(shè)設(shè)A A，B B為兩事件為兩事件, ,假設(shè)假設(shè)AB=AB=且且AB=,AB=,那那么稱事件么稱事件A A與與B B互為互為逆事件或?qū)α?/p>

10、事件逆事件或?qū)α⑹录? . 記作記作 ，稱，稱為為B B是是A A的對(duì)立事件的對(duì)立事件A BABA解：解：A1A1： “ “至少有一人命中目的：至少有一人命中目的：A2A2： “ “恰有一人命中目的：恰有一人命中目的：A3A3：“恰有兩人命中目的：恰有兩人命中目的：A4A4：“三人均命中目的：三人均命中目的：A5A5：“三人均未命中目的：三人均未命中目的：A6A6： “ “最多有一人命中目的：最多有一人命中目的：ABC ABC ABC ABC ABC ABC A BC A BC ABCA BC A B C ABCABC例：甲、乙、丙三人各向目的射擊一發(fā)子彈，以例：甲、乙、丙三人各向目的射擊一發(fā)

11、子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目的，分別表示甲、乙、丙命中目的， 試用試用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示以下事件：的運(yùn)算關(guān)系表示以下事件：一、一、 事件的頻率事件的頻率(Frequency)(Frequency) 1. 1. 定義：設(shè)定義：設(shè)E E為任一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，為任一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，A A為其中為其中 任一事件，在一樣條件下，把任一事件，在一樣條件下，把E E獨(dú)立的獨(dú)立的反復(fù)做反復(fù)做n n次，次，nAnA表示事件表示事件A A在這在這n n次實(shí)驗(yàn)次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)中出現(xiàn)的次數(shù)( (即頻數(shù)即頻數(shù)) )。 比值比值 稱為稱為事件事件A A在這在這n n次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率(Freq

12、uency).(Frequency).nnAfAn)(2.頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)n非負(fù)性：非負(fù)性： 0 fn(A) 1；n規(guī)范性：規(guī)范性：fn()1， fn( )=0；n可加性：假設(shè)可加性：假設(shè)AB，那么，那么 fn(AB) fn(A) fn(B). n穩(wěn)定性：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)穩(wěn)定性：當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，頻率增大時(shí)，頻率fn(A)n 逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值?？蓪⒋朔€(wěn)定值記作P(A)， 作為事件作為事件A的概率的概率. 實(shí)際證明：頻率穩(wěn)定于概率實(shí)際證明：頻率穩(wěn)定于概率1 1歷史上曾有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，試圖證明拋擲歷史上曾有人做過(guò)實(shí)驗(yàn)，試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的時(shí)機(jī)均等

13、。勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的時(shí)機(jī)均等。 2 2男性別比率穩(wěn)定于男性別比率穩(wěn)定于0.50.5n一個(gè)孕婦生男生女偶爾，但是就整個(gè)國(guó)家和大城市而言，從人口普查資料中看到，男性占全體人數(shù)的比例幾乎年年不變，約為0.5。人口普查人口普查總?cè)藬?shù)（億）總?cè)藬?shù)（億）男性人數(shù)男性人數(shù)比例比例第一次（第一次（19531953）5.825.823.023.020.5180.518第二次（第二次（19641964）6.956.953.573.570.5130.513第三次（第三次（19821982）10.0810.085.195.190.5150.515第四次（第四次（19901990）11.3411.345.855.

14、850.5160.516 第五次（第五次（20002000）12.6612.666.536.530.5160.516定義：設(shè)有隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，定義：設(shè)有隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)，事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動(dòng)，那么稱該數(shù)事件的發(fā)生頻率穩(wěn)定在某數(shù)附近擺動(dòng)，那么稱該數(shù)為事件的概率為事件的概率(Probability)(Probability)，記為：，記為：注：注：1 1 事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是事件出現(xiàn)的概率是事件的一種屬性。也就是說(shuō)完全決議于事件本身的結(jié)果，是先于實(shí)驗(yàn)客觀存說(shuō)完全決議于事件本身的結(jié)果，是先于實(shí)驗(yàn)客觀存在的。在的。 2 2 概率的統(tǒng)計(jì)

15、定義只是描畫性的。概率的統(tǒng)計(jì)定義只是描畫性的。 3 3 通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作通常只能在充分大時(shí)，以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值為事件概率的近似值monto calomonto calo方法的根本方法的根本思想思想 pAP)(二、二、 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義n1.1.定義：假設(shè)對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)定義：假設(shè)對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E E所對(duì)應(yīng)的樣本空間所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每中的每一事件一事件A A，均賦予一實(shí)數(shù)，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)P(A)，集合函數(shù)，集合函數(shù)P(A)P(A)滿足條件：滿足條件： n(1) (1) 非負(fù)性：非負(fù)性：P(A) 0P(A) 0；n(2) (2) 規(guī)范性：規(guī)范性：

16、P()P()1 1； n(3) (3) 可列可加性：可列可加性：n 設(shè)設(shè)A1A1，A2A2，是一列兩兩互不相容的事件，是一列兩兩互不相容的事件，n 即即AiAjAiAj，(ij)(ij)，i,ji,j1,2, 1,2, 有有 n P( A1A2 ) P( A1A2 ) P(A1) P(A1) P(A2)+P(A2)+n 那么稱那么稱P(A)P(A)為事件為事件A A的概率。的概率。2. 2. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 例例. .在在1 11010這這1010個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求 1 1取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率， 2 2取到的數(shù)即不能被取

17、到的數(shù)即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率， 3 3取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。 n解解: :設(shè)設(shè)A=“A=“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被2 2整除整除; B=“; B=“取到的數(shù)能被取到的數(shù)能被3 3整整除。那么除。那么nP(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10P(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10n(1) P(A B)= P(A)+P(B)-P(AB)=7/10 (1) P(A B)= P(A)+P(B)-P(AB)=7/10 n(2)(2)n(3) P(A-B)

18、 =P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5(3) P(A-B) =P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5n () 1() 1 7/10 3/10PA BPA B “ “古典概型是最簡(jiǎn)單、最直觀的概率模型。古典概型是最簡(jiǎn)單、最直觀的概率模型。 定義：假設(shè)某實(shí)驗(yàn)定義：假設(shè)某實(shí)驗(yàn)E E滿足：滿足：1.1.有限性：樣本空間有限性：樣本空間1,2 , ,n 1,2 , ,n 2.2.等能夠性：等能夠性：P(1)=P(2)=P(n)P(1)=P(2)=P(n)。那么稱那么稱E E為古典概型也叫等能夠概型。為古典概型也叫等能夠概型。 設(shè)在古典概型中，實(shí)驗(yàn)設(shè)在古典概型中，實(shí)驗(yàn)E E共有共有n

19、n個(gè)根本件，個(gè)根本件，事件事件A A包含了包含了m m個(gè)根身手件，那么事件個(gè)根身手件，那么事件A A的概率為的概率為nmAP)( 二、概率的古典定義二、概率的古典定義例：恣意投擲兩枚均勻的硬幣，求例：恣意投擲兩枚均勻的硬幣，求A “恰好發(fā)恰好發(fā)生一個(gè)正面向上的概率。生一個(gè)正面向上的概率。n解：實(shí)驗(yàn)的一切結(jié)果：解：實(shí)驗(yàn)的一切結(jié)果： n正，正正，反反，正反，反正，正正，反反，正反，反n根據(jù)硬幣的均勻性、對(duì)稱性、拋的恣意性，四種結(jié)果具有根據(jù)硬幣的均勻性、對(duì)稱性、拋的恣意性，四種結(jié)果具有等能夠性，這是一個(gè)古典概型。等能夠性，這是一個(gè)古典概型。nA A 正、反反、正正、反反、正 n所以，概率所以，概率P

20、=2/4P=2/40.50.5例：有三個(gè)子女的家庭，設(shè)每個(gè)孩子是男是女的例：有三個(gè)子女的家庭，設(shè)每個(gè)孩子是男是女的概率相等，那么至少有一個(gè)男孩的概率是多少概率相等，那么至少有一個(gè)男孩的概率是多少? ?n解：設(shè)解：設(shè)H=“H=“某個(gè)孩子是男孩，某個(gè)孩子是男孩，A=“A=“至少有一個(gè)男至少有一個(gè)男孩孩 n實(shí)驗(yàn)一切結(jié)果為：實(shí)驗(yàn)一切結(jié)果為：nHHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，TTHTTH，THTTHT，TTT TTT n事件事件A=HHHA=HHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，TTHTTH，THTTHTn 從而，從而，n=8n=8，m=7

21、m=7nP(A) = m/n= 7/8 P(A) = m/n= 7/8 1.1.幾何概型：假設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)具有兩個(gè)特征：幾何概型：假設(shè)一個(gè)實(shí)驗(yàn)具有兩個(gè)特征： 1 1每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)，且全體可以用一個(gè)有度量的每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)，且全體可以用一個(gè)有度量的 幾何區(qū)域來(lái)表示幾何區(qū)域來(lái)表示 2 2每次實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果等能夠的。每次實(shí)驗(yàn)的各種結(jié)果等能夠的。 那么稱這樣的實(shí)驗(yàn)是幾何概型。那么稱這樣的實(shí)驗(yàn)是幾何概型。2.2.幾何概率：設(shè)幾何概型的樣本空間可表示成有度量的區(qū)域，幾何概率：設(shè)幾何概型的樣本空間可表示成有度量的區(qū)域，記為記為 ，事件，事件A A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域記為所對(duì)應(yīng)的區(qū)域記為A A，那么定義事件，那

22、么定義事件A A的概率為：的概率為：( )( )( )m AP AmA的度量的度量一幾何概型的定義一幾何概型的定義n例例 某人發(fā)現(xiàn)他的表停了，他翻開收音機(jī)想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，某人發(fā)現(xiàn)他的表停了，他翻開收音機(jī)想聽電臺(tái)報(bào)時(shí)，試求它等待的時(shí)間不超越試求它等待的時(shí)間不超越1010分鐘的概率。分鐘的概率。 n解：由于電臺(tái)每隔解：由于電臺(tái)每隔6060分鐘分鐘( (即即1 1小時(shí)小時(shí)) )報(bào)時(shí)一次報(bào)時(shí)一次, ,因此，可因此，可以為此人翻開收音機(jī)的時(shí)辰處在以為此人翻開收音機(jī)的時(shí)辰處在00，6060上任何一點(diǎn)都是上任何一點(diǎn)都是等可等可 能的，其樣本點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)，樣本空間就是區(qū)間能的，其樣本點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)，樣本空間就是區(qū)

23、間=0=0，6060。設(shè)事件。設(shè)事件A=“A=“等待時(shí)間不超越等待時(shí)間不超越1010分鐘，那分鐘，那么導(dǎo)致事件么導(dǎo)致事件A A發(fā)生的樣本點(diǎn)是翻開收音機(jī)的時(shí)辰處于區(qū)間發(fā)生的樣本點(diǎn)是翻開收音機(jī)的時(shí)辰處于區(qū)間5050，6060上的任一點(diǎn)。上的任一點(diǎn)。 這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為10(10(單位單位: :分分) ) 。而而的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 60( 60(單位單位: :分分) )。由幾何概率的定義，。由幾何概率的定義，( )10( )1/6()60Am AP Am的度量的度量n例布豐問(wèn)題平面上有間隔為例布豐問(wèn)題平面上有間隔為d d的一族平行線，向此平面恣的一族平行線，向此平面恣意投擲一長(zhǎng)為意投擲一長(zhǎng)為l(ld)l(l0P(B)0，那么事，那么事件件B B曾經(jīng)發(fā)生的條件下，事件曾經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A A發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率P(B|A)P(B|A)定義為：定義為：P(AB)P(B|A)P(B)例：甲乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來(lái)的氣候記錄知道例：甲乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來(lái)的氣候記錄知道一年中雨天的比例占一年中雨天的比例占2020，乙市占，乙市占1414，兩地同時(shí)下雨占，兩地同時(shí)下雨占1212，試求：試求：1 1甲市下雨的條件下，乙市出現(xiàn)雨天的概率甲市下雨的條件下，乙市出現(xiàn)雨天的概率2 2乙市出現(xiàn)雨天的條件下，