高中數(shù)學(xué)311兩角差的余弦公式課件必修4

1、第三章 三角恒等變換3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式兩角差的余弦公式1.1.公式公式:cos(-)=_.:cos(-)=_.2.2.簡(jiǎn)記符號(hào)簡(jiǎn)記符號(hào):_.:_.3.3.使用條件使用條件:,:,都是都是_._. coscos+sinsincoscos+sinsinC C(-)(-)任意角任意角判斷：判斷：( (正確的打正確的打“”“”，錯(cuò)誤的打，錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)在在cos(-)=cos cos +sin sin cos(-)=cos cos +sin sin 等式中，等式中，是任意的角是任意的角.( ).( )(2)cos 15(

2、2)cos 15的值與的值與cos 45cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 45sin 30sin 30的的值相等值相等.( ).( )(3)(3)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)cos 75cos 75cos 15cos 15+sin 75+sin 75sin 15sin 15可得為可得為 ( )( )1.2提示：提示： (1)(1)正確正確.，不僅是任意的角，而且還可以是個(gè)不僅是任意的角，而且還可以是個(gè)“團(tuán)體團(tuán)體”. .(2)(2)正確正確.cos 15.cos 15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos 45=cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 4

3、5sin 30sin 30. .(3)(3)正確正確.cos 75.cos 75cos 15cos 15+sin 75+sin 75sin 15sin 15=cos(75=cos(75-15-15)=cos 60)=cos 60= =答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)1.2【知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)撥】對(duì)公式對(duì)公式C C(-)(-)的兩點(diǎn)理解的兩點(diǎn)理解(1)(1)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：公式的左邊是差角的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：公式的左邊是差角的余弦, ,右邊的式子右邊的式子是含有同名函數(shù)之積的和式是含有同名函數(shù)之積的和式, ,可用口訣可用口訣“余余正正號(hào)相反余余正正號(hào)相反”記記憶公式憶公式.

4、 .(2)(2)公式的適用條件公式的適用條件. .公式中的公式中的,不僅可以是任意具體的角不僅可以是任意具體的角, ,也可以是一個(gè)也可以是一個(gè)“團(tuán)團(tuán)體體”, ,如如 中的中的“ ”相當(dāng)于公式中的角相當(dāng)于公式中的角,“ ”相當(dāng)于公式中的角相當(dāng)于公式中的角 . . cos()2222類型類型 一一 兩角差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用兩角差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【典型例題典型例題】1.cos 501.cos 50cos 20cos 20+sin 50+sin 50sin 20sin 20的值為的值為( )( )2.cos(-152.cos(-15) )的值為的值為( )( )3.3.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)cos(+45c

5、os(+45)cos +sin(+45)cos +sin(+45)sin =_.)sin =_.1133A. B. C. D.232326626262A. B. C. D.4444【解題探究解題探究】1.1.兩角差的余弦公式的逆用形式怎樣？?jī)山遣畹挠嘞夜降哪嬗眯问皆鯓樱?.-152.-15可以看成哪兩個(gè)特殊角的差？可以看成哪兩個(gè)特殊角的差？3.3.運(yùn)用兩角差的余弦公式的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？運(yùn)用兩角差的余弦公式的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？探究提示：探究提示：1.cos cos +sin sin =cos(-).1.cos cos +sin sin =cos(-).2.2.可以看成可以看成3030-45-45，或

6、者看成，或者看成4545-60-60. .3.3.熟記特殊角的三角函數(shù)值并靈活構(gòu)造兩角差的余弦公式的熟記特殊角的三角函數(shù)值并靈活構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式結(jié)構(gòu)形式. .【解析解析】1.1.選選C.cos 50C.cos 50cos 20cos 20+sin 50+sin 50sin 20sin 20=cos(50=cos(50-20-20)=cos 30)=cos 30= =2.2.選選C.cos(-15C.cos(-15)=cos 15)=cos 15=cos(45=cos(45-30-30) )=cos 45=cos 45cos 30cos 30+sin 45+sin 45sin 30

7、sin 30= =3.cos(+453.cos(+45)cos +sin(+45)cos +sin(+45)sin )sin =cos(+45=cos(+45-)=-)=答案：答案：3.2232162.222242.222【拓展提升拓展提升】應(yīng)用兩角差的余弦公式的三個(gè)注意點(diǎn)應(yīng)用兩角差的余弦公式的三個(gè)注意點(diǎn)(1)(1)在差角的余弦公式中，在差角的余弦公式中，既可以是單角，也可以是既可以是單角，也可以是復(fù)角復(fù)角. .(2)(2)要注意誘導(dǎo)公式的應(yīng)用要注意誘導(dǎo)公式的應(yīng)用. .(3)(3)公式的應(yīng)用具有靈活性，解題時(shí)要注意正向、逆向和變公式的應(yīng)用具有靈活性，解題時(shí)要注意正向、逆向和變式形式的選擇式形式

8、的選擇. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】cos 80cos 80cos 20cos 20+sin 80+sin 80sin 160sin 160的值是的值是 ( )( )A.0 B. C. D.A.0 B. C. D.【解析解析】選選B.B.原式原式cos 80cos 80cos 20cos 20+sin 80+sin 80sin 20sin 20=cos(80=cos(80-20-20)=)=1232121.2類型類型 二二 給值給值( (式式) )求值求值 【典型例題典型例題】1.1.已知已知cos(+)= cos(-)= cos(+)= cos(-)= 則則cos cos cos cos 的的值

9、為值為( )( )A.0 B. C.0A.0 B. C.0或或 D.0D.0或或2.2.已知已知sin = ( )sin = ( )且且cos = ( )cos = ( )，求求cos(-)cos(-)的值的值. .45，45 ，4545452,33,234，0,2【解題探究解題探究】1.cos(+)= 1.cos(+)= 應(yīng)如何利用兩角差的余弦公式應(yīng)如何利用兩角差的余弦公式展開(kāi)？展開(kāi)？2.2.欲求欲求cos(-)cos(-)的值，由已知，還必須先求得哪些量的值？的值，由已知，還必須先求得哪些量的值？探究提示：探究提示：1.+1.+可以看成可以看成-(-)-(-)，利用兩角差的余弦公式展開(kāi)即可

10、，利用兩角差的余弦公式展開(kāi)即可. .2.2.欲求欲求cos(-)cos(-)的值必須求出的值必須求出cos cos 的值和的值和sin sin 的值的值. .45【解析解析】1.1.選選A.A.由條件得，由條件得， cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =左右兩邊分別相加可得左右兩邊分別相加可得cos cos =0.cos cos =0.2. 2. 得得又又cos = (0, )cos = (0, )，得，得sin =sin =所以所以cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =

11、4coscoscos cos sin sin ,5 45 ，23sin ,( ,),32 5cos .3 34，274，3 52 7.12【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】在題在題2 2中若沒(méi)有中若沒(méi)有( )( )這一條件，又如何這一條件，又如何求求cos(-)cos(-)的值？的值？【解析解析】若沒(méi)有若沒(méi)有( )( )，則則cos = cos = 或或cos =-cos =-又又cos = ( ), cos = ( ), 得得sin =sin =所以所以 或或3,23,25353，34，0,274，3 52 7cos12 3 52 7cos.12 【拓展提升拓展提升】給值求值的解題策略給值求值的解題策略(

12、1)(1)已知某些角的三角函數(shù)值已知某些角的三角函數(shù)值, ,求另外一些角的三角函數(shù)值求另外一些角的三角函數(shù)值, ,要要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系, ,即拆角與湊角即拆角與湊角. .(2)(2)解題過(guò)程中要根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換解題過(guò)程中要根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換. .常常見(jiàn)角的變換有：見(jiàn)角的變換有：=(-)+=(-)+；2=(+)+(-)2=(+)+(-)；2=(+)-(-).2=(+)-(-).22 ；【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】若若，均為銳角，均為銳角，則則cos cos 等于等于( )( )A. B. C. A. B. C. 或

13、或 D.D.【解題指南解題指南】cos cos 可化為可化為coscos(+)-(+)-，需求出需求出cos cos 和和cos(+)cos(+)的值，由的值，由sin = sin = sin(+)= sin(+)= 的值，確定出的值，確定出+的范圍的范圍. .2 53sin sin55 ，2 552 5252 5252 552 5252 55，35【解析解析】選選B. B. 因?yàn)橐驗(yàn)?，均為銳角，均為銳角，且且所以所以+為鈍角，為鈍角，又由又由sin(+)= sin(+)= 得得cos(+)=cos(+)=由由sin = sin = 得得cos =cos =所以所以cos cos coscos

14、(+)-(+)-cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)cos+sin(+)sin =2 53sin sin55 ，3545 ，2 5555，2 5.25類型類型 三三 利用三角函數(shù)值求角利用三角函數(shù)值求角 【典型例題典型例題】1.1.已知已知 且且，為銳角，則為銳角，則+的的值是值是( )( )2.2.a=(cos ,sin )=(cos ,sin )，b=(cos ,sin )=(cos ,sin )，00且且ab= = 求證：求證：-=-=510sin sin ,510 ，37A. B. C. D.4442212，.3【解題探究解題探究】1.1.要求角需要求什么？要求角需要

15、求什么？2.2.若若a=(x=(x1 1,y,y1 1) )，b=(x=(x2 2,y,y2 2) )，則，則ab會(huì)得到什么結(jié)果？會(huì)得到什么結(jié)果？探究提示：探究提示：1.1.要求角需要求該角的一種三角函數(shù)值要求角需要求該角的一種三角函數(shù)值. .2.2.ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .【解析解析】1.1.選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)?且且,為銳角，為銳角，所以所以則則cos(+)=coscos(+)=cos-(-)-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=cos cos -sin sin =cos cos -sin s

16、in =又因?yàn)橛忠驗(yàn)?+0+，所以，所以+=+=2.2.ab=cos cos +sin sin =cos(-)=cos cos +sin sin =cos(-)=又又0 0 所以所以0- 0- 故故-=-=510sin ,sin ,510 2 53 10cos cos .510 ，22，.412，2，2，.3【拓展提升拓展提升】已知三角函數(shù)值求角的解題步驟已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍. .(2)(2)求所求角的某種三角函數(shù)值求所求角的某種三角函數(shù)值. .為防止增解最好選取在上述為防止增解最好選取在上述范圍內(nèi)

17、單調(diào)的三角函數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù). .(3)(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】已知已知，為銳角，為銳角，cos = sin(+)cos = sin(+)= = 求求.【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)闉殇J角，且為銳角，且cos =cos =所以所以 又又，為銳角，為銳角，所以所以+（ ），），17，5314，17，24 3sin 1cos7 ，54 3sin3sin 147 ，,2所以所以所以所以cos =coscos =cos(+)-(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =cos(+)cos +sin(+)sin = =又又為銳角，故為

18、銳角，故2511cos(13)1414 ，1115 34 31()1471472，.3 【易錯(cuò)誤區(qū)易錯(cuò)誤區(qū)】忽略角的范圍致誤忽略角的范圍致誤 【典例典例】已知已知，均為銳角，且均為銳角，且則則-=_.-=_.2 510cos cos ,510 ，【解析解析】因?yàn)橐驗(yàn)椋鶠殇J角，所以均為銳角，所以所以所以cos(-)=cos cos +sin sin cos(-)=cos cos +sin sin = =又又sin sin sin sin ，所以所以00 所以所以 -0-0,sin -sin =sin 0,cos -cos =cos 0,cos -cos =cos 0,則則(sin -sin )

19、(sin -sin )2 2+(cos -cos )+(cos -cos )2 2=1=1，且，且.即即cos(-)= (0 ),cos(-)= (0 ),則則-=-=答案：答案：02，122.331.cos 661.cos 66cos 36cos 36+cos 24+cos 24cos 54cos 54的值為的值為( )( )【解析解析】選選C.cos 66C.cos 66cos 36cos 36+cos 24+cos 24cos 54cos 54=cos 66=cos 66cos 36cos 36+sin 66+sin 66sin 36sin 36=cos(66=cos(66-36-36)=cos 30)=cos 30= =131A.0 B. C. D.2223.22.2.若若a=(cos 60=(cos 60,sin 60,sin 60) )，b=(cos 15=(cos 15,sin 15,sin 15) )，則則ab=( )=( )【解析解析】選選A.A. ab=cos 60=cos 60cos 15cos 15+sin 60+sin 60sin 15sin 15=cos(60=cos(60-15-1