行列式在高中幾何中的應用——三階行列式的應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上行列式在高中幾何中的應用三階行列式的應用 向量作為溝通代數與幾何的橋梁被引入高中數學，大大簡化了幾何問題運算量；在立體幾何中常用法向量來解決距離問題，夾角問題，于是求法向量又是一個新問題。行列式在求法向量時比較簡潔，明快，并且三階行列式還可以求點到平面的距離，四面體，平行六面體的體積一、行列式的定義階行列式的定義：符號第1行第2行第行第1列第2列第列叫做階行列式其中表示行列式中第行第列上的元素，即第一下標表示行數，第二下標表示列數如表示第行第列上的元素這里只介紹三階行列式的運算規(guī)定以及應用二階行列式的定義：符號 三階行列式的定義：符號叫做三階行列式（等號右邊是運算結果

2、）下面舉例說明三階行列式在高中幾何中的應用二、利用三階行列式求法向量1定義：設平面內不共線的兩個的向量的坐標為，則行列式叫平面的一個法向量，記為例：直棱柱中，為棱的中點求平面的一個法向量如圖，建立空間直角坐標系，則，取面內兩個不共線向量，則平面的一個法向量為：；2應用舉例（1）證明線面平行：平面的一個非零法向量是，平面外一條直線的一個非零方向向量是，則平面的充要條件是（2）求二面角：面面，面的一個非零法向量是，面的一個非零法向量是，則二面角的大小為：或【例1】正三棱柱的側棱長為，底面邊長為，是的中點（I）證明：平面；（）求二面角的余弦值解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系：，則：， 則，平

3、面的一個法向量為：即，所以平面（）面的一個法向量為：，面的一個法向量為：，則，因此二面角的余弦值為（3）求異面直線的公共法向量：與是異面直線， 向量是直線的方向向量，是直線的方向向量，則異面直線與的一個公共法向量是：法向量求兩異面直線距離的基本思想：在空間中取兩條異面直線和，且他們的一個法向量為，因為直線，記垂足為，記垂足為，則線段的長就是異面直線和的距離，如圖，記法向量與的夾角為，則，即，故其中、分別為兩異面直線上的任意點，并且此兩點必須分居在兩直線上【例2】已知正方體的棱長為求異面直線與的距離解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是異面直線與的一個法向量為分別在異面直線與各取一點、，異面

4、直線與的距離為三、利用三階行列式求平面方程定理：過三點、的平面的方程為：定理：若平面的方程為：，則平面外一點到平面的距離為： 【例3】已知正方形的邊長為，平面，、分別是、的中點，求點到平面的距離解：依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系：，則：， 則平面的方程為：即：亦即：所以到平面的距離為： 四、利用三階行列式求四面體的體積定理：記平行六面體的一個頂點引出的三邊所對應的向量、，則平行六面體的體積為：說明：定理中的三向量只要是平行六面體的同一頂點引出的都可以，如、等都行定理：記四面體的一個定點引出的三邊所對應的向量坐標分別為：、，則四面體的體積為：說明：1.定理中的三向量只要是四面體的同一頂點引出的都可以，如、等都行2.事實上，所以 【例4】已知正四棱柱，點是棱上的中點，截面與底面所成的角為，求三棱錐的體積解：記與交點為，由正方形性質知是中點且，是棱上的點，易知，則，所以 ，所以，建立如圖所示的空間直角