相似三角形復(fù)習(xí)課好ppt

1、4、如圖，已知如圖，已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4，點，點E是是BC上一點。上一點。(1)若若CE= 3，則，則DE=_.(2)若若CE= ，則，則DE=_. 1、如圖、如圖, AB與與CD相交于點相交于點P, A=D, 若若PA3, PB=4, PC=2, 則則PD=_3162、如圖，在、如圖，在ABC中，中，D為為AC邊上一點邊上一點DBC= A，BC= ，AC=3，則，則CD的長為的長為_6ADCB題組一：熱身訓(xùn)練題組一：熱身訓(xùn)練2.5DABCP63、如圖，梯形、如圖，梯形ABCD的對角線的對角線AC、BD相交相交于于O，G是是BD的中點若的中點若AD = 3，BC = 9，

2、則，則GO : BG = _GABDCO31021：2CABDECABDE其中其中 ：a、b、c、d 叫做組成比例的叫做組成比例的項項，線段線段 a、d 叫做比例叫做比例外項外項，線段線段 b、c 叫做比例叫做比例內(nèi)項內(nèi)項， 若若 四條線段四條線段 a、b、c、d 中，如果中，如果 （或（或a：b=c：d），那么這四條線段那么這四條線段a、b、 c 、 d 叫做叫做成比例的成比例的線段線段，簡稱，簡稱比例線段比例線段.a cb d = 比例的性質(zhì)：比例的性質(zhì)：bcaddcba= = =;dcba= =bcaddcba= = =;利用：利用：來變形：來變形：3x=5yadcb= =bcad= =

3、交換內(nèi)項交換內(nèi)項交換外項交換外項35yx= =1.若若a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= . 62、下列各組線段的長度成比例的是（、下列各組線段的長度成比例的是（ ）A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4. D .1 , 2 , 2 , 4 Dmn m= n56已知 ,求 的值.解:方法(1)由對調(diào)比例式的兩內(nèi)項比例式仍成立得：mn 65=方法(2)因為 ,所以5m=6n m6 n5= 6mn=所以53、4、已知、已知 ： x：(x+1)=(1x)：3，求，求x。.定義：

4、三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例定義：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。的兩個三角形相似。1.形狀一樣；大小不一定重合；形狀一樣；大小不一定重合；2.全等是相似的特例：相似比為全等是相似的特例：相似比為1。 兩條平行線被第三條直線所截：兩條平行線被第三條直線所截： 上線段（上線段（AEAE與與EBEB）、下線段）、下線段CFCF與與DFDF）、）、 全線段（全線段（ABAB與與CD CD ）之間對應(yīng)成比例線段。）之間對應(yīng)成比例線段。ABECDABCDEFABCDEF上上上上下下下下全全全全梯形平行梯形平行三角形平行三角形平行2、判定定理、判定定理1:兩個角對應(yīng)相等兩個角對應(yīng)相等, ,兩

5、三角形相似。兩三角形相似。3、判定定理、判定定理2:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。形相似。4、判定定理、判定定理3:三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似。5、相似三角形的傳遞性。、相似三角形的傳遞性。 反思回顧一：反思回顧一：判定兩個三角形相似的主要方法：判定兩個三角形相似的主要方法：ABCDE1 1、預(yù)備定理：、預(yù)備定理： DEBC, ADEABC。 反思回顧二反思回顧二 ：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)：1 1、相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。、相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。2 2、相似三角形的周長之比等于相似比

6、，面積、相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。之比等于相似比的平方。3 3、相似三角形對應(yīng)邊上的高線、中線、對應(yīng)、相似三角形對應(yīng)邊上的高線、中線、對應(yīng)角平分線之比都等于相似比。角平分線之比都等于相似比。三、三、相似圖形的特例相似圖形的特例圖形的位似圖形的位似l1.1.如果兩個圖形不僅相似如果兩個圖形不僅相似, ,而且每組對應(yīng)頂點所而且每組對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同一個點在的直線都經(jīng)過同一個點, ,那么這樣的兩個圖形那么這樣的兩個圖形叫做叫做位似圖形位似圖形, ,這個點叫做這個點叫做位似中心位似中心, ,這時的相似這時的相似比又稱為比又稱為位似比位似比. .l2.2.性質(zhì)：性

7、質(zhì)：l位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比離之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似圖形如何作位似圖形( (放大放大) ). .l5.5.體會位似圖形何時為體會位似圖形何時為正像正像何時為何時為倒像倒像. .l4.4.如何作位似圖形如何作位似圖形( (縮小縮小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFPDEADE繞點A旋轉(zhuǎn)ABCDE點E移到與C點重合提煉總結(jié)提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型ABCDEDEADE繞點A

8、旋轉(zhuǎn)ABCDE點E移到與C點重合提煉總結(jié)提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型ABCDEABCDEX型型DEADE繞點A旋轉(zhuǎn)ABCDE點E移到與C點重合ACB=RtCDABABCD提煉總結(jié)提煉總結(jié) ：相似三角形中常用基本圖形：A字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共邊角型公共邊角型ABCDEABCDE雙垂直型雙垂直型X型型三垂直型三垂直型連結(jié)連結(jié)CD，BE， ABE 與與ACD相似嗎？相似嗎？蝴蝶型蝴蝶型 2.如圖，已知如圖，已知AB是是 O的直徑，的直徑，C是圓是圓上一點，且上一點，且CDAB于于D,AD=3,BD=12，則則CD=_.

9、)(BEAECEDEEDBEAECE=或6OCDBA 1.如圖，已知如圖，已知 O的兩條弦的兩條弦AB、CD交于交于E，AE=BE=6,ED=4，則，則CE=_.CDBAE9BDADCD=2題組二：題組二：蝴蝶型蝴蝶型雙垂直型雙垂直型A AB BC CD DE EOO如圖如圖,O,O是是ABCABC的外接圓的外接圓,AB=AC.,AB=AC.求證求證:AB:AB2 2=AEAD=AEAD證明：連接證明：連接BDBDAB=ACAB=ACADB=ABEADB=ABE又又BAD=EABBAD=EABABDABDAEBAEBABACAEAB=ABAB2 2=AEAD=AEADABAC= =練習(xí)：練習(xí)：

10、A AB BC CD DE EOO構(gòu)造所需的相似基本圖形，是我們常構(gòu)造所需的相似基本圖形，是我們常用的一種解決幾何問題的方法。用的一種解決幾何問題的方法。 公共邊角型公共邊角型ABCDMEFN題組三：題組三：復(fù)雜圖形復(fù)雜圖形 基本圖形基本圖形分解分解ACDMEACMFN3、如圖、如圖,AC是是 ABCD的對角線的對角線,且且AE=EF=FC,求（求（1）SAMF: SCNF （2）SDMN: SACD 。X型型3、如圖:在RtABC中,C為直角,CDAB于點 D,AD=4，BD=1，則CD= AC= ABC ACD CBDAC2 =ADABCD2 =ADBDBC2 =BDABACBC=ABCD

11、 （2011杭州中考題杭州中考題）梯形梯形ABCD中，中，ABCD，AB=2BC=2CD，對角線，對角線AC與與BD相交于點相交于點O，線段，線段OA，OB的中點分別為的中點分別為E，F(xiàn)。若直線。若直線EF與線段與線段AD，BC分別相交于點分別相交于點G，H，求求 的值。的值。復(fù)雜圖形復(fù)雜圖形 基本圖形基本圖形分解分解 從復(fù)雜圖形中分解出相似基本圖從復(fù)雜圖形中分解出相似基本圖形，可以使我們較快找到解題思路。形，可以使我們較快找到解題思路。A字型字型X型型如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，為坐標(biāo)原點，矩形矩形OABC如圖放置，如圖放置，OA=8，AB=6，將矩形，

12、將矩形OABC繞點繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn) 度得到四邊度得到四邊形形OABC ，此時，此時OA，BC分別與直線分別與直線BC相相交于點交于點P，Q，當(dāng)矩形，當(dāng)矩形OABC的頂點的頂點B落在落在y軸正半軸上時，軸正半軸上時，求（求（1）點）點P坐標(biāo)坐標(biāo) （2）BQBP的值的值。復(fù)雜圖形復(fù)雜圖形 基本圖形基本圖形分解分解yQCBAOxPABC題組四：題組四： 如圖，已知拋物線的對稱軸為直線如圖，已知拋物線的對稱軸為直線X=4.X=4.且與且與x x軸交于軸交于A A、B B兩點，與兩點，與y y軸交于軸交于C C點點, , A(2,0),C(0,3)A(2,0),C(0,3)（1 1

13、）求此拋物線的解析式；）求此拋物線的解析式；（2 2）拋物線上有一點）拋物線上有一點P P，滿足，滿足PBC=90PBC=90，求點，求點P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；ABPCOxyX=423Q復(fù)雜圖形復(fù)雜圖形 基本圖形基本圖形分解分解（3 3）在（）在（2 2）的條件下，問在）的條件下，問在y y軸上是否存在點軸上是否存在點E E，使得以，使得以A A、O O、E E為頂點的三角形與為頂點的三角形與OBCOBC相似？相似？若存在，求出點若存在，求出點E E的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由存在，請說明理由. .題組四：題組四：構(gòu)造構(gòu)造基本相似圖形轉(zhuǎn)基本相似圖形轉(zhuǎn)化問題化問題學(xué)會從復(fù)雜圖形中學(xué)會

14、從復(fù)雜圖形中分解分解出基本圖形出基本圖形2、相似基本、相似基本圖形的運用圖形的運用分類思想分類思想轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想1、相似三角形的判定和性質(zhì)。、相似三角形的判定和性質(zhì)。挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 如圖，如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點上，其余兩個頂點分別在分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：解：設(shè)正方形設(shè)正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD與與

15、PN相交于點相交于點E。設(shè)正方形設(shè)正方形PQMN的邊長為的邊長為x毫米。毫米。因為因為PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80 x80=x120例1 、如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CDAB,BEAC,CD與BE相交于點O，圖中有哪些三角形相似？ABCEDO連接連接DE、BC，圖中又有哪，圖中又有哪些相似些相似練習(xí)、ADE和ABC有公共頂點A，1= 2， ABC= ADE,試說明（1） ADEABC （2） ABDACEABCED12例例2、在、在ABC中中,AB=5,AC=4,E是是AB上上一點一點,AE=

16、2, 在在AC上取一點上取一點F,使以使以A、E、F為頂點的三角形與為頂點的三角形與 ABC相似相似,求求AF長長E EA AB BC C. .FF F 如圖，已知，如圖，已知，D D是是BCBC的中點，的中點，E E是是ADAD的的中點，求中點，求AFAF：FCFC的值。的值。 D D E E F F A A B BC C G G如圖如圖, , 在在ABCABC中中,ACB= 90,ACB= 900 0，四邊形，四邊形BEDCBEDC為正方形為正方形, , AEAE交交BCBC于于F, FGACF, FGAC交交ABAB于于G. G. 求證求證: FC=FG. : FC=FG. 證明證明:

17、: 四邊形四邊形BEDCBEDC為正方形為正方形CFDE CFDE ，DE=BEDE=BE ACFACFADEADEAEAEAFAFDEDECFCF= 又又FG ACBEFG ACBEAGFAGFABEABEAEAFBEFG= BEFGDEFC=由可得：由可得：又又 DE=BEDE=BEFC=FGFC=FGABCDABC 中，中，AD平分平分BAC，求證：，求證：DCBDACAB=已知：如圖，已知：如圖，ABC內(nèi)接于內(nèi)接于 O，AB為直徑，弦為直徑，弦CEAB于于F，C是是弧弧AD的中點，連結(jié)的中點，連結(jié)BD并延長交并延長交EC的延長線于點的延長線于點G，連結(jié)，連結(jié)AD，分別交，分別交CE、B

18、C于點于點P、Q（1）求證：）求證：CP=PQ（2）求證）求證（FP+PQ）2=PF FG復(fù)雜圖形復(fù)雜圖形 基本圖形基本圖形分解分解A字型字型蝴蝶型蝴蝶型公共邊角型公共邊角型雙垂直型雙垂直型三垂直型三垂直型斜截型斜截型X型型CBADE連結(jié)連結(jié)AD、CB， APDCPB嗎？嗎？ 2.比例中項：比例中項：_.(),()_.cmcm+-+-23， 23兩數(shù)的比例中項是兩線段 2323的比例中項是 1cm1當(dāng)兩個當(dāng)兩個比例內(nèi)項相等比例內(nèi)項相等時，時， 即即a bb c = ，(或或 a：b=b：c)，那么線段那么線段 b 叫做線段叫做線段 a 和和 c 的的比例中項比例中項.2acb= =即：即：3.

19、黃金分割：黃金分割：線段黃金分割。把這條）的比例中項，就叫做）與較短線段（原線段（）是中較長線段（）分成兩條線段，使其把一條線段（BCABACAB,ACAB BC ACAB-=251即：2ACB(),_.CABACAB=-=是線段的黃金分割點，較長線段251 則4ABCDEF頂角為頂角為36的等腰三角形的等腰三角形叫做黃金三角形叫做黃金三角形ABCDEFGHNM找出圖中線段的黃金分割點？找出圖中線段的黃金分割點？把線段把線段AC黃金分割黃金分割,分割點為分割點為B,則以則以AB、BC為鄰邊的矩形為鄰邊的矩形ABCD叫做黃叫做黃金矩形金矩形,即黃金矩形的兩條鄰邊長度即黃金矩形的兩條鄰邊長度的比值

20、約為的比值約為0.618.ABDCFE若在黃金矩形若在黃金矩形ABCD中畫出正方中畫出正方形形ABEF,則得到黃則得到黃金矩形金矩形ECDF如此繼續(xù)下去如此繼續(xù)下去 可得到一連串的可得到一連串的 黃金矩形黃金矩形1.相似三角形的定義：相似三角形的定義：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。21 ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/與與 ABC的相似比為的相似比為_.3.相似三角形的判

21、定方法相似三角形的判定方法預(yù)備定理預(yù)備定理:相似三角形的傳遞性相似三角形的傳遞性.ABCDEDEABC判定定理判定定理1,2,3.1 22 3或或2 31 3DEBC, ADEABC.直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.DCBA求證：求證：ACDABCCBD.已知：已知：ACB=Rt,CDAB于于D相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧：現(xiàn)在給你一個銳角三形現(xiàn)在給你一個銳角三形ABC和一條直線和一條直線MN 問題：問題：請同學(xué)們利用直線請同學(xué)們利用直線MN 在在ABC上或在邊的延上或在邊的延 長線作出一個三角形與長線作出一個三角形與 ABC相似，并請同學(xué)相似，并請同學(xué) 們說明

22、理由們說明理由ABCMN第一種作法：第一種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第二種作法：第二種作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：AC AEBCDADEBCM 第三種作法：第三種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=B 或或AED=C （3）AD：AB=AE：AC 第四種作法：第四種作法： 理由：理由： （1） ADE=C 或或AED=B （2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五種作法：第五種作法： 理由：理由： （1）DEBC （2）ADE=AB

23、C 或或AED=ACB （3）AD：AB=AE：AC 第六種作法：第六種作法： 理由：理由： （1） ADE=ACB 或或AED=ABC （2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN 第七種作法第七種作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：ABABD CMNADEBACBABCDADE繞點A旋轉(zhuǎn)DCADEBCABCDEBCADE點E移到與C點重合ACB=RtCDAB相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧： 證明：證明：CDAB， E為為AC的中的中點點 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD FDB=FC

24、D FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例例1 如圖，如圖，CD是是RtABC斜邊上的高，斜邊上的高，E為為AC的中點，的中點， ED交交CB的延長線于的延長線于F。CEADFB這個圖形中有幾個相似三角形的基本圖形這個圖形中有幾個相似三角形的基本圖形求證：求證：BDCF=CDDF二二.知識應(yīng)用知識應(yīng)用:1.找一找找一找:(1) 如圖如圖1,已知已知:DEBC,EF AB,則圖中共有則圖中共有_對三角形相似對三角形相似.(2) 如圖如圖2,已知已知:ABC中中, ACB=Rt ,CD AB于于D,DEBC于于E,則圖中共有則圖中共有_個三角形和個三角形和ABC相似相似.AB

25、CDEF如圖如圖(1)3EABCD如圖如圖(2)4(3)(3)如圖如圖3 3，1= 2= 3,則圖中相似三角形的組數(shù)為則圖中相似三角形的組數(shù)為_.ADBEC132如圖如圖(3)(3)42.畫一畫畫一畫:如圖如圖, ,在在ABCABC和和DEFDEF中中, A=D=70, A=D=700 0, B=50, B=500 0, , E=30E=300 0, ,畫畫直線直線a,a,把把ABCABC分成兩個三角形分成兩個三角形, ,畫畫直線直線b b ,把把DEFDEF分成兩個三角形分成兩個三角形, ,使使ABCABC分成的兩個三分成的兩個三角形和角形和DEFDEF分成的兩個三角形分別相似分成的兩個三角

26、形分別相似.(.(要求標(biāo)要求標(biāo)注數(shù)據(jù)注數(shù)據(jù)) )300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面(1).如圖如圖,在水平桌面上的兩個在水平桌面上的兩個“E”,當(dāng)點當(dāng)點P1,P2,O在一在一條直線上時條直線上時,在點在點O處用號處用號“E”測得的視力與用測得的視力與用號號“E”測得的視力相同測得的視力相同.圖中圖中b1,b2,c1,c2應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系?若若b1=3.2cm,b2=2cm, 號號“E”測試的距離測試的距離c1=8m,要使測得的視力相同要使測得的視力相同, 號號“E”測

27、試的距離測試的距離c2應(yīng)為多應(yīng)為多少少?3.做一做做一做:(2).已知已知,如圖如圖,梯形梯形ABCD中中,ADBC, A=900,對角對角線線BDCD求證求證:(1) ABDDCB;(2)BD2=ADBCABCD (3).(3).如圖如圖,P,P是是ABCABC中中ABAB邊上的一點邊上的一點, ,要使要使ACPACP和和ABCABC相似相似, ,則需添加一個條件則需添加一個條件: :_ 。 AB CPACP=B;或或APC=ACB;或或AP:AC=AC:AB即即AC2=APAB如圖如圖,點點C,D在線段在線段AB上上, PCD是等邊三角形是等邊三角形.(ACBD)(1)當(dāng)當(dāng)AC,CD,DB

28、滿足什么關(guān)系時滿足什么關(guān)系時, ACP PBD.(2)當(dāng)當(dāng)ACP PBD時時,求求APB的度數(shù)的度數(shù).4.想一想想一想:ABCDP5.練一練練一練:1.將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示的樣子的樣子,假設(shè)圖形中的所有點假設(shè)圖形中的所有點,線都在同一平面內(nèi)線都在同一平面內(nèi),試寫試寫出一對相似三角形出一對相似三角形(不全等不全等)_.GABCDEF12.如圖，正方形如圖，正方形ABCD的邊長為的邊長為8，E是是AB的中的中點，點點，點M，N分別在分別在BC，CD上，且上，且CM=2，則，則當(dāng)當(dāng)CN=_時，時，CMN與與ADE的形狀的形狀相同。相

29、同。EABCDMN3.在平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系，B（1，0）, A（3，3）, C（3，0）,點點P在在y軸的正半軸上運動，若以軸的正半軸上運動，若以O(shè)，B，P為頂點的三角形與為頂點的三角形與ABC相似，則點相似，則點P的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_.yABCxOP6. 如圖，王芳同學(xué)跳起來把一個排球打在離地如圖，王芳同學(xué)跳起來把一個排球打在離地2m遠的地上，然后反彈碰遠的地上，然后反彈碰到墻上，如果她跳起擊球時的高度是到墻上，如果她跳起擊球時的高度是1.8m，排球落地點離墻的距離是，排球落地點離墻的距離是6m，假設(shè)球揚直沿直線運動，球能碰到墻面離地多高的地方？假設(shè)球揚直沿直線運動，球能碰到墻面

30、離地多高的地方？ABOCD2m6m1.8m解：解：ABO=CDO=90AOB=CODAOBCODABBOCDDO=1.826CD= CD=5.4m答：球能碰到墻面離地答：球能碰到墻面離地5.4m高的地方高的地方.如圖如圖, ABC中中,AB=6,BC=4,AC=3,點點P在在BC上上運動運動,過過P點作點作DPB=A,PD交交AB于于D,設(shè)設(shè)PB=x,AD=y.(1)求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍的取值范圍.(2)當(dāng)當(dāng)x取何值時取何值時,y最小最小,最小值是多少最小值是多少?6.思考題思考題:PABCD挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 如圖，如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊是一塊

31、銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點上，其余兩個頂點分別在分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：解：設(shè)正方形設(shè)正方形PQMN是符合要求的是符合要求的ABC的高的高AD與與PN相交于點相交于點E。設(shè)正方形設(shè)正方形PQMN的邊長為的邊長為x毫米。毫米。因為因為PNBC，所以所以APN ABC所以所以AEAD=PNBC因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：毫米）。答：-。80 x80=x120兩個多邊形

32、的對應(yīng)頂點的連線交于一點，對應(yīng)邊兩個多邊形的對應(yīng)頂點的連線交于一點，對應(yīng)邊平行，位似圖形是相似圖形平行，位似圖形是相似圖形什么是位似圖形？什么是位似圖形？應(yīng)用位似的性質(zhì)：應(yīng)用位似的性質(zhì)：能將一個圖形放大或縮小，能將一個圖形放大或縮小，三角形相似條件復(fù)習(xí)1、已知、已知ABC，P是是AB上一點，連上一點，連結(jié)結(jié)CP，要使，要使ACPABC，可以，可以添加的條件是什么？添加的條件是什么？ABCP復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧(1) ACP= B(2) APC= ACB(3)ACAPABAC=2、在、在44的正方形方格中，設(shè)小正方形邊長的正方形方格中，設(shè)小正方形邊長為為1，A 1B 1C 1與與A2 B 2C2相似

33、嗎？你是如相似嗎？你是如何判斷的？何判斷的？B2B1A1C1A2C252A1B1=1 A1C1= B1C1= A2B2= A2C2= 5 B2C2= 510判定相似三角形的條件：判定相似三角形的條件：v1、兩角對應(yīng)相等；、兩角對應(yīng)相等；v2、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等；v3、三邊對應(yīng)成比例。、三邊對應(yīng)成比例。3、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，圖中有哪些相似三角形？F FDDE EB BA AC C4、平行于三角形一邊的直線與其它平行于三角形一邊的直線與其它兩邊兩邊(或兩邊的延長線或兩邊的延長線)相交；所構(gòu)成相交；所構(gòu)成的三角形與原三角形相似的三角形與原三角形相似判

34、定相似三角形的條件判定相似三角形的條件ABCDE“A”型型在在ABC中，中，DEBC，則有則有ADEABC“X”型型OADCB在在ABC中，中，ABCD，則有則有ABODCO基本圖形基礎(chǔ)訓(xùn)練1下列條件中，能判定ABC和DEF相似的有( )A=45，AB=12，AC=15 D=45，DE=16，DF=40AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40A=47，AB=15，AC=20，E=47，DE=28，EF=21 A=45B=55D=45F=75 2、下列命題中正確的是（ ） 任意兩個等腰三角形都相似 任意兩個直角三角形都相似 任意兩個等邊三角形都相似 任意兩個等腰直角

35、三角形都相似A、 B、 C、 D、 D3、如圖:在RtABC中,C為直角,CDAB于點 D,AD=4，BD=1，則CD= AC= ABC ACD CBDAC2 =ADABCD2 =ADBDBC2 =BDABACBC=ABCD4、如圖，在ABC中，點D在邊AB上，AC=2，AD=1，當(dāng)DB= 時ABC ACDABCD5、如圖、如圖1,已知已知:DEBC,EF AB,則圖中共則圖中共有有_對三角形相似對三角形相似.6、如圖，點如圖，點0是是ABC內(nèi)一點，點內(nèi)一點，點D、E、F分別邊分別邊OA、0B、0C是的中點，問是的中點，問 ABC與與DEF相似嗎？相似嗎？ABCDEF如圖如圖(1)CABDOE

36、F第18題圖ADEBA型ACBDCADEBCABCDBCADE點E移到與C點重合ACB=RtCDAB相似三角形基本圖形的回顧：相似三角形基本圖形的回顧：ABCDX型型例1 、如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CDAB,BEAC,CD與BE相交于點O，圖中有哪些三角形相似？ABCEDO連接連接DE、BC，圖中又有哪，圖中又有哪些相似些相似練習(xí)、ADE和ABC有公共頂點A，1= 2， ABC= ADE,試說明（1） ADEABC （2） ABDACEABCED12例例2、在、在ABC中中,AB=5,AC=4,E是是AB上上一點一點,AE=2, 在在AC上取一點上取一點F,使以使以A、E、F為頂點

37、的三角形與為頂點的三角形與 ABC相似相似,求求AF長長E EA AB BC C. .FF F拓展提優(yōu)1、如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF2、已知:如圖,CE是RtABC的斜邊AB上的高,BGAP。求證:CE2 =EDEP3、 過過ABCD的一個頂點的一個頂點A作一直線分別交作一直線分別交對角線對角線BD、邊、邊 BC、邊、邊DC的延長線于的延長線于E、F、G . 求證：求證：EA2 = EF EG .ABCDEFG分析：要證明分析：要證明 EA2 = EF EG ，即即 證明證明 成成立，而立，而EA、E

38、G、EF三三條線段在同一直線上，條線段在同一直線上，無法構(gòu)成兩個三角形，無法構(gòu)成兩個三角形，此時應(yīng)采用換線段、換此時應(yīng)采用換線段、換比例的方法?？勺C明：比例的方法?？勺C明：AEDFEB， AEB GED.EAEGEFEA=證明：證明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED謝 謝在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,點點P從點從點A開始沿開始沿AB邊向邊向B點以點以2cm/秒的速度移動，點秒的速度移動，點Q從點從點B開始開始沿沿BC向點向點C以以4cm/秒的速度移動，如果秒的速度移動，如果P、Q分別分別從從A、B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘同時出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘BPQ與與BAC相似？相

39、似？B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒練一練練一練2、四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N求證（1）AG=CG；（2）ANDN=CNMN濮陽市第一中學(xué)王彥鋒濮陽市第一中學(xué)王彥鋒給你一個銳角三角形給你一個銳角三角形ABCABC和一條直線和一條直線MNMN； 問題問題 你能你能用直線用直線MNMN去截三角形去截三角形ABCABC，使截得的三角形，使截得的三角形與原三角形相似嗎？與原三角形相似嗎？ 練一練練一練基本圖形基本圖形DEMNH過過D D作作DHECDHEC交交BCBC延長線于點延長線于點H H(1)(1)試

40、找出圖中的相似三角形試找出圖中的相似三角形? ?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,則則AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周長為的周長為4,4,則則BDHBDH的周長為的周長為_._.(4)(4)若若ABCABC的面積為的面積為4,4,則則BDHBDH的面積為的面積為_._.ADE ABC DBH2：369DEMNMN 相似三角形相似三角形 若若G G為為BCBC中點中點,EG,EG交交ABAB于點于點F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。添平行線構(gòu)造相似三

41、角形的基本圖形。DEHGFEGFMN12 相似三角形相似三角形 若若G G為為BCBC中點中點,EG,EG交交ABAB于點于點F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,試求試求AF:FBAF:FB的值的值. .添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。添平行線構(gòu)造相似三角形的基本圖形。EGFEGFMN 相似三角形相似三角形EGF 相似三角形相似三角形BCFA.OBCBC是圓是圓O O的切線，切點為的切線，切點為C.C.(1)(1) BCF BCF與與BACBAC相似嗎相似嗎? ?(2)(2) 若若BC=6,AF=5,BC=6,AF=5,你能求出你能求出BFBF的長嗎的長嗎? ?(3)(3)

42、移動點移動點A,A,使使ACAC成為成為O O的直徑的直徑, ,你還能你還能 得到哪些結(jié)論得到哪些結(jié)論? ?EFBCA.OFBCA若若ACB90，CFAB，則則ACF ABC CBFBCF BACBCBFBABC= =656BFBF= = 25360BFBF = =49BFBF= = =或或 （舍舍去去）4BF = =當(dāng)當(dāng)BCFBCF A A 時，時， BCF BAC.BCF BAC.FBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43（1 1）請在請在x x軸上找一點軸上找一點D D，使得，使得BDABDA與與BACBAC相似相似 （不包含全等），并求出點（不包含全等）

43、，并求出點D D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2 2）在（在（1 1）的條件下，如果）的條件下，如果P P、Q Q分別是分別是BABA、BDBD上上 的動點，連結(jié)的動點，連結(jié)PQPQ，設(shè)，設(shè)BPBPDQDQm m， 問：問：是否存在這樣的是否存在這樣的m m，使得，使得BPQBPQ與與BDABDA相似？相似？ 如存在，請求出如存在，請求出m m的值；若不存在，請說明理由。的值；若不存在，請說明理由。 用一用用一用OD（1）BDABACCADABC tanCADABC=BC=4AC=BCtan ABC=3CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+ =D( ,0)34349494134134 用一

44、用用一用PQPQ(1)(1)當(dāng)當(dāng)PQADPQAD時，時，BPQ BADBPQ BAD則則即：即：133413534mm = = 解得：解得：259m = =BPBQBABD= =(2)(2)當(dāng)當(dāng)PQPQBDBD時，時，BPQ BDABPQ BDA則則即：即：BPBQBDBA= =133413534mmm = = 解得：解得：12536m = =BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43ODBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=43OD小結(jié)：相似三角形中的基本圖形小結(jié)：相似三角形中的基本圖形ABCDABCDEABCDAODCBABCDE

45、ACODB三、三、相似圖形的特例相似圖形的特例圖形的位似圖形的位似l1.1.如果兩個圖形不僅相似如果兩個圖形不僅相似, ,而且每組對應(yīng)頂點所而且每組對應(yīng)頂點所在的直線都經(jīng)過同一個點在的直線都經(jīng)過同一個點, ,那么這樣的兩個圖形那么這樣的兩個圖形叫做叫做位似圖形位似圖形, ,這個點叫做這個點叫做位似中心位似中心, ,這時的相似這時的相似比又稱為比又稱為位似比位似比. .l2.2.性質(zhì)：性質(zhì)：l位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比離之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似圖形如何作位似圖形( (放大放大) ).

46、 .l5.5.體會位似圖形何時為體會位似圖形何時為正像正像何時為何時為倒像倒像. .l4.4.如何作位似圖形如何作位似圖形( (縮小縮小) ). .OPABGCEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP線線段段的的比比黃金黃金 分分 割割形狀形狀 相相 同同的圖形的圖形相似三相似三 角角 形形及其及其判定條件的判定條件的探索探索相似多邊形相似多邊形多邊形的性質(zhì)多邊形的性質(zhì)圖形的放大與縮圖形的放大與縮小小相似的綜合應(yīng)用相似的綜合應(yīng)用測量旗桿的高度測量旗桿的高度l1,1,如圖如圖, ,添加一個條件添加一個條件, ,使則使則ABCABCAED,AED,則這則這條件可以是條件可以是 . .

47、AEDCB練習(xí)練習(xí)v2下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ） A 所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似 C所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似 D有一個角相等的兩個等腰三角形都相似有一個角相等的兩個等腰三角形都相似DCBOAE3：53：53：51：2BADEC5.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面積分別為的面積分別為4和和9，求，求ABC的面積。的面積。FEDCBA6.6.如圖，如圖，ABCDABCD是面積為是面積為a a2 2的任意四邊形，順次連接各邊中的任意四邊形，順次連接各邊中點得四邊

48、形點得四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再順次連接，再順次連接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四邊形得到四邊形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重復(fù)同樣的方法直到得到四邊形，重復(fù)同樣的方法直到得到四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，則四，則四邊形邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面積為的面積為 。na22練習(xí)練習(xí)7.在在AB=20米米,AD=30米的矩形米的矩形ABCD的花壇四的花壇四周修筑小路周修筑小路:(1)如果四周的小路的寬均相等如果四周的小路的寬均相等,那么小路四所圍那么小路四所圍成的矩形

49、和矩形成的矩形和矩形ABCD相似嗎相似嗎?請說明理由請說明理由 (2)如果相對兩條小路的寬均相等如果相對兩條小路的寬均相等,試問小路的寬試問小路的寬x與與y的比值為多少時的比值為多少時,能使小路四周所圍成矩能使小路四周所圍成矩形和矩形形和矩形ABCD相似相似?請說明理由請說明理由.ABCDxxxxABCDABCDxyyxABCDw8如圖，如圖， ABCD中，中，E為為AD的中點，若的中點，若wS ABCD=1，則圖中陰影部分的面積為，則圖中陰影部分的面積為( )wA B C D31516181CBAEDCF當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCBD1FEGH23A1

50、0.如圖，這是由三個全等的正方形組成的廣告牌。如圖，這是由三個全等的正方形組成的廣告牌。你能從中找出一對相似三角形嗎？說明理由（你能從中找出一對相似三角形嗎？說明理由（全全等三角形除外等三角形除外）1 1+ 2+ 32+ 3 度度 11、RtABC中，中， ACB90 ，CDAB于于D。（1）寫出圖中所有的相似三角形，并選擇其中一寫出圖中所有的相似三角形，并選擇其中一對說明理由。對說明理由。（2）若）若AD1cm, BD4cm,請你求出請你求出CD的長度。的長度。BDAC例例1 如圖，已知：如圖，已知：DE BCBC，DCDC和和BEBE相交于相交于P P點，連結(jié)點，連結(jié)APAP交交DEDE于

51、于M M，延長延長APAP交交BCBC于于N N點，求證：點，求證：DM=MEDM=ME，BN=NCBN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM=推得由，需利用中間比過渡，要證,/ABADBNDMABN=得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD=,同理可證MEDMBNMEBNDM=,同理可證：BN=NC例例2 如圖，已知如圖，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE，求證：求證：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG結(jié)論成立。由條件得是可得又知，使到，可延長要得出），（還應(yīng)考慮系數(shù)積的形式轉(zhuǎn)化成比例式成立，應(yīng)把證法一：要證,2,222FCDAMDRtCDFEF

52、DECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED=故結(jié)論成立。，由題易證得即只需證明性質(zhì)，得，根據(jù)等腰三角形的作證法二：過點DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE=,2,2 例例3.如圖：在如圖：在ABC中，中， C= 90,BC=8,AC=6.點點P從點從點B出發(fā)，沿著出發(fā)，沿著BC向點向點C以以2cm/秒的秒的速度移動速度移動;點點Q從點從點C出發(fā)，沿著出發(fā)，沿著CA向點向點A以以1cm/秒的秒的速度移動。速度移動。如果如果P、Q分別從分別從B、C同時出發(fā)，問：同時出發(fā)，問：經(jīng)過多少秒時經(jīng)過多少秒時CPQ CBA; AQPCBAQPCB 經(jīng)過多少秒時以經(jīng)過

53、多少秒時以C、P、Q為頂點的三角形恰好與為頂點的三角形恰好與ABC相似？相似？例4：陽光明媚的一天,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達,頂部不易到達),他們帶了以下測量工具:皮尺、標(biāo)尺、一副三角板、小平面鏡。請你在他們提供的測量工具中選出工具，設(shè)計一種測量方案)（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出xCDABE的兩個根，求的兩個根，求DE的長和的長和 的值。的值。例例5 如圖，如圖，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，點，點D D在在ACAC上

54、運動上運動（不運動至點（不運動至點A A），），過點過點D D作作DE ABDE AB，設(shè)，設(shè)AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（1 1）求）求y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2 2）若點）若點D D運動到運動到ACAC上有某個位置時，上有某個位置時，ADAD、AEAE的長恰好是一元二次方程的長恰好是一元二次方程062=atta(1)由題意知，易得由題意知，易得 ABC ADE,ADE,得得y y與與x x的函數(shù)關(guān)系式。的函數(shù)關(guān)系式。100135=xxy,24260,243622DExyDEyx=的兩個根，的長恰好是方程06,2=a

55、ttAEAD965, 4=aDE=242610DExyADEABC)2(的面積最大。何處時，在的函數(shù)解析式，且點與，求面積為高中，如圖，例PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABC=,/,/,10,12. 6APBCMDN 現(xiàn)有一塊三角形余料現(xiàn)有一塊三角形余料ABC，它的一邊它的一邊BC=12cm，高線高線AD=8cm. E為為AB上一動點上一動點(E不與不與A、B重合重合)，且，且EFBC交交AC于點于點F ，以，以EF為邊向下做一個正方形為邊向下做一個正方形EFGH，設(shè)正方形設(shè)正方形EFGH與三角形與三角形ABC的重合部分面積的重合部分面積為為y,EF=x.求求(1)當(dāng)當(dāng)

56、HG落在落在BC上時上時,求求x PNMGHFDABCE 議一議(2)當(dāng)當(dāng)HG不落在不落在BC邊上時邊上時,求求y關(guān)于關(guān)于x的關(guān)系式的關(guān)系式 有一批形狀相同的不銹鋼片，呈直角三角形，有一批形狀相同的不銹鋼片，呈直角三角形，如圖（如圖（1）所示，已知）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片，形不銹鋼片，如圖，甲、乙各如圖，甲、乙各設(shè)計一種方案設(shè)計一種方案，你覺，你覺得哪種方案更好，為什么？得哪種方案更好，為什么？ABCGHFABCEHGABCE如圖（如圖（1）甲甲乙乙 變 一 變MN，、9221=ABPSBxP

57、BPCAyxxy為為垂垂足足軸軸內(nèi)內(nèi)一一點點是是該該直直線線上上在在第第一一象象限限軸軸于于點點分分別別交交如如圖圖，直直線線拓拓展展ACPBOxy ；的坐標(biāo)的坐標(biāo)求點求點P132632，PABABAO=2004，CA 42421=AOCS9=ABPSABPAOC，942=ABPAOCSSABAOACPBOxyACPBOxyRT ，點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)試求試求相似時相似時與與當(dāng)當(dāng)為垂足為垂足軸軸作作的右側(cè)的右側(cè)在直線在直線且點且點象上象上在同一個反比例函數(shù)圖在同一個反比例函數(shù)圖與點與點設(shè)點設(shè)點RAOCBTRTxRTPBRPR22323，Ryx= xyP6322=，得得由由反反比比例例函函數(shù)數(shù)()y

58、xR，設(shè)設(shè)時時當(dāng)當(dāng)AOCBRTyxRTBTOCAO224=21131132113113，Ryx時時當(dāng)當(dāng)CAOBRT224=xyBTRTOCAO 例例2 在方格紙中，每個小格的頂點稱為在方格紙中，每個小格的頂點稱為格點，以格點的連線為邊的三角形稱為格格點，以格點的連線為邊的三角形稱為格點三角形，如圖所示的點三角形，如圖所示的55的方格紙中，的方格紙中，如果想作格點如果想作格點ABC與與OAB相似相似(相似比相似比不能為不能為1)，則，則C點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為_OxAByOxABy125C1(5，2)55252C2(4，4)例例3、在直徑為、在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一個三角形區(qū)域，的半圓內(nèi)，劃出一個

59、三角形區(qū)域，使三角形的一邊為使三角形的一邊為AB，頂點頂點C在半圓周上，現(xiàn)要在半圓周上，現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于三角形建造一個內(nèi)接于三角形ABC的矩形水池的矩形水池DEFN，其其中中DE在在AB上，如圖設(shè)計方案是使上，如圖設(shè)計方案是使AC=8，BC=6，求求(1)三角形三角形AB邊上的高線邊上的高線CH。(2)設(shè)設(shè)DN=x,NF=y,求求y關(guān)于關(guān)于x的函數(shù)解析式。的函數(shù)解析式。(3)當(dāng)當(dāng)x為何值時，水池為何值時，水池DEFN的面積最大，的面積最大，最大為多少？最大為多少？EFNADBCHG練習(xí)練習(xí)（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（1）如圖如圖1，四邊形

60、，四邊形DEFG為為ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長。的邊長。CEDBAFG練習(xí)練習(xí)（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（2）如圖）如圖2，三角形內(nèi)有并排的，三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它們組成的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接與矩形內(nèi)接與ABC，求正方形的求正方形的邊長邊長（1）如圖如圖1，四邊形，四邊形DEFG為為ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長。的邊長。CEDBAFGCEDBAFGKH練習(xí)練習(xí)（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（3）如圖）如圖