第三章線性系統(tǒng)的時域分析

1、2022-3-28 二二 、 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析1. 二階系統(tǒng)的數學模型二階系統(tǒng)的數學模型位置控制系統(tǒng)如下圖所示。(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。位置控制系統(tǒng)原理圖2022-3-28該系統(tǒng)的任務：控制機械負載的位置。使其與參考位置相協(xié)調。工作原理：用一對電位計作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號，轉換為與位置成正比的電信號。輸入電位計電刷臂的角位置， 由控制輸入信號確定,

2、角位置rr就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計電刷臂的角位置， 由輸出軸的位置確定。 c2022-3-28電位差()srceK ee就是誤差信號。 :sK橋式電位器的傳遞函數該信號被增益常數為 的放大器放大， 應具有很高的輸入阻抗和很低的輸出阻抗）AKAK放大器的輸出電壓作用到直流電動機的電樞電路上。電動機激磁繞組上加有固定電壓。如果出現(xiàn)誤差信號，電動機就產生力矩以轉動輸出負載，并使誤差信號減少到零。 2022-3-28(3)當激磁電流固定時，電動機產生的力矩（電磁轉距）為：m aMC i ( )( )maM sC Is:mC電動機的轉矩系數:ai為電樞電流

3、對于電樞電路aaa abAsdidLR iKK K edtdt()( )( )( )aaaASbL SRIsK K E sK Ss:aaLR電動機電樞繞組的電感和電阻。:bK電動機的反電勢常數，:電動機的軸的角位移。電動機的力矩平衡方程為：22maddJfMCid td t2() ( )( )JSfSsMs (1)(2)(3)J:為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的組合轉動慣量。f:為電動機負載和齒輪傳動裝置，折合到電動機軸上的粘性摩擦系數。1ci1( )( )cssi(4)2022-3-28據方程(1) (2) (3) (4)可畫出系統(tǒng)方框圖如下:( )( )( )( )cs H

4、sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)開環(huán)傳遞函數：2022-3-28( )( )( )( )cs H sG sE s222111()()1()()maaSAmSAmbaambaaCL SRJSfSK K CiK KCK SiL SRJSfSC K SL SRJSfS(5)如略去電樞電感aL111( )()(1)()SAmambaK K CiRKKK FG sC KJS JSFSSS JSfFFR 令令(1)mKS T S(6)1SAmaKK K CiR增益mba

5、C KFfR阻尼系數，由于電動機反電勢 的存在，增大了系統(tǒng)的粘性摩擦。()bK1KKF開環(huán)增益mTJ F機電時間常數2022-3-28不考慮負載力矩，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數簡化為：()(1 )mKGsSTS(7)相應的閉環(huán)傳遞函數 2( )( )( )( )1( )crmsG sKssG sT SSK222212mnnnmmKTKSSSSTT 為了使研究的結果具有普遍意義，可將式（7）表示為如下標準形式222( )( )( )2nnnC ssR sSS（9）2nmKTnmKT12nmT12mT Kn自然頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比（相對阻尼系數）(8)2022-3-28 2 2、 二階系統(tǒng)的

6、時域分析二階系統(tǒng)的時域分析(Transient-Response Analysis and Steady-State Error Analysis of Second-order Systems)二階系統(tǒng)：凡以二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。2022-3-282220nnSS(10)21,21nnS (11)標準二階系統(tǒng)的動態(tài)特性，可以用 和 加以描述,二階系統(tǒng)的特征方程： n2022-3-28 二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)的單位階躍響應(Unit-Step Response of Second-Order Systems)兩個正實部的特征根 ,發(fā)散,負阻尼01 ，共扼復根，位于左半

7、S平面，欠阻尼系統(tǒng)1兩個相等的負根，臨界阻尼1，兩個不相等的負實根，過阻尼0，虛軸上，瞬態(tài)響應變?yōu)榈确袷帲?無阻尼02022-3-28(1)過阻尼( )111A 221(1)nAS 322121(1)A 2222121( )()()(1)(1)nnnnC sS S S SSSSS 31222(1)(1)nnAAASS 21,21nS2022-3-28(3)過阻尼( )122(1)22(1)221( )121(1)1021(1)nntth teet （16）22(1)(1)222()()111102111nntthtcteet 2022-3-28響應曲線：響應曲線： 1時的近似處理：此時時的近

8、似處理：此時可近似地等效為具有時間常數可近似地等效為具有時間常數為為 的一階系統(tǒng)。時域響應式為：的一階系統(tǒng)。時域響應式為：調節(jié)時間為：調節(jié)時間為：響應特點：單調上升，無振蕩和超調響應特點：單調上升，無振蕩和超調2022-3-2811( )1( ),()r ttRsS222111( )()()nnnnnC sSSSSS臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應稱為臨界阻尼響應應稱為臨界阻尼響應( )11(1)0nnntttnnh teteett （15）(2)臨界阻尼( )12022-3-2811當當 時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應

9、是穩(wěn)態(tài)值為1的的無超調單調上升過程，無超調單調上升過程， 響應曲線響應曲線 如右圖：如右圖： 響應過程單調上升，與過響應過程單調上升，與過阻尼一樣，無超調，但它是阻尼一樣，無超調，但它是這一類響應中最快的這一類響應中最快的，調節(jié)，調節(jié)時間為時間為 ：(2)臨界阻尼( )12022-3-280121,21nnSj令n 衰減系數dj 21dn阻尼振蕩頻率1( )RsS，由式（9）得222( )( )( )2nnnC ssR sS 2221( )( )( )2nnnC ss R sSSS22221()()nnndndSSSS2211nnddddn(3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應1圖3-172

10、12022-3-2801對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為對上式取拉氏反變換，得單位階躍響應為：2( ) 1cossin1ntddhtett 211sin()01ntdett 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量21arccosarctg(3)欠阻尼( )二階系統(tǒng)的單位階躍響應121圖3-172022-3-28穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)分量為1，表明圖系統(tǒng)在單位階躍函數作用下，不，表明圖系統(tǒng)在單位階躍函數作用下，不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其存在穩(wěn)態(tài)位置誤差，瞬態(tài)分量為阻尼正弦振蕩項，其振蕩頻率為振蕩頻率為d響應特點：振蕩響應特點：振蕩衰減，必有超調衰減，必有超調2022-3-28包絡線包絡線211nte

11、決定收斂速度決定收斂速度這是一條由欠阻尼系統(tǒng)的各個峰值聯(lián)絡而成的這是一條由欠阻尼系統(tǒng)的各個峰值聯(lián)絡而成的指數曲線指數曲線2022-3-28（4）零阻尼（零阻尼（ =0）單位階躍響應拉氏變換：單位階躍響應拉氏變換：時域響應式：時域響應式： 系統(tǒng)處于系統(tǒng)處于無阻尼振蕩狀態(tài)無阻尼振蕩狀態(tài)，暫態(tài)響，暫態(tài)響應為恒定振幅的周期函數，頻率為應為恒定振幅的周期函數，頻率為 n(也也稱為稱為無阻尼自然振蕩角頻率無阻尼自然振蕩角頻率)。 2022-3-28 取不同值（取不同值（ 0）時二階系統(tǒng)的位階躍響應的曲線）時二階系統(tǒng)的位階躍響應的曲線 2022-3-28響應曲線的特征：響應曲線的特征：1、 =0時，等幅振蕩

12、；時，等幅振蕩； 2、0 1時，時， 越大，曲線單調上升過程越緩慢；越大，曲線單調上升過程越緩慢； 5、-1 0時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 6、 -1時，單調發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。時，單調發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2022-3-28不同不同 時典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在時典型二階系統(tǒng)特征方程根、特征根在S平面上的位置及單位階躍響應曲線。平面上的位置及單位階躍響應曲線。2022-3-283、 二階系統(tǒng)欠阻尼情況的階躍響應性能指標在控制工程中，在控制工程中，除了那些不容許除了那些不容許產生振蕩響應的產生振蕩響應的系統(tǒng)外，通常都系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具希望控制系統(tǒng)具有適度的阻

13、尼、有適度的阻尼、快速的響應速度快速的響應速度和較短的調節(jié)時和較短的調節(jié)時間。間。 二階系統(tǒng)一般取二階系統(tǒng)一般取0.4 0.8 , 0.72022-3-28欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應21( )1sin(),01ntdh tett 令21( )0.5 ,arccosdh tarctg222 sin(1arccos)1ln1ndndtt在較大的在較大的 值范圍內，近似有值范圍內，近似有 210.60.2dnt（17）01 時，亦可用1 0.7dnt（18） （1）延遲時間 dt2022-3-28 ()1rh t 求得求得： 21sin()01ntd retd rt21rdnt（19）

14、一定，即一定，nrt , ,響應速度越快響應速度越快 （2）上升時間21( )1sin(),01ntdh tett （12）rt2022-3-28sin()cos() 0nnttndddetet21()dtgt 21tg因為0, ,2 ,d pt)(峰值時間pt對式（對式（12）求導，并令其為零，求得）求導，并令其為零，求得21( )1sin(),01ntdh tett（12） （3）pt2022-3-28 根據峰值時間定義，應取根據峰值時間定義，應取d pt （3）峰值時間（20）pt（閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠）（閉環(huán)極點離負實軸的距離越遠）一定時，一定時，n21pdnt響應速度越快pt2

15、022-3-28（4 4）超調量）超調量Mp （ % % ） 將將tp帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應表達式，帶入二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應表達式，可得：可得：超調量超調量Mp僅與僅與 有關。有關。2100100Mpeoo( )( )( ) 1( )ppc tcMpc tc2022-3-28（4 4）超調量超調量2022-3-28（5 5）調節(jié)時間調節(jié)時間t ts s 根據根據t ts s的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰的定義，并借助二階系統(tǒng)欠阻尼衰減正弦包絡線圖進行近似計算，可得：減正弦包絡線圖進行近似計算，可得：當當0 0.8時，通常使用以下近似式：時，通常使用以下近似式：3(5%)snt 2022-3-28例題9例例9:設控制系統(tǒng)的方框圖如設控制系統(tǒng)的方框圖如3-26圖所示，當有單位階躍信號作圖所示，當有單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標用于系統(tǒng)時，試求系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標tr、tp、ts和和 %。2022-3-28解解 求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為：求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為： 因此有因此有 上升時間上升時間tr： 峰值時間峰值時間tp ： 超調量超調量 % ：調節(jié)時間調節(jié)時間ts ：2022-3-28例例10解解 （1）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為：為：因此有：因此有：如如3-273