第1章線性空間1-3

1、線性代數(shù)與矩陣論線性代數(shù)與矩陣論 劉彬劉彬 南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 矩陣論矩陣論是高等學(xué)校和研究院、所面向研是高等學(xué)校和研究院、所面向研究生開(kāi)設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。作為數(shù)學(xué)的一究生開(kāi)設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支個(gè)重要分支, 理論具有極為豐富的內(nèi)容；理論具有極為豐富的內(nèi)容；作為一種基本工具，矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)學(xué)科以作為一種基本工具，矩陣?yán)碚撛跀?shù)學(xué)學(xué)科以及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用為矩陣論的應(yīng)用開(kāi)特別是計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用為矩陣論的應(yīng)用開(kāi)辟了廣闊的前景。辟了廣闊的前景。例如，系統(tǒng)工程、優(yōu)化方例如，系統(tǒng)工程、優(yōu)化

2、方法以及穩(wěn)定性理論等，都與矩陣論有著密切法以及穩(wěn)定性理論等，都與矩陣論有著密切的聯(lián)系。的聯(lián)系。從而，使矩陣?yán)碚摻陙?lái)在內(nèi)容上從而，使矩陣?yán)碚摻陙?lái)在內(nèi)容上有相當(dāng)大的更新。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的有相當(dāng)大的更新。因此，學(xué)習(xí)和掌握矩陣的基本理論與方法，對(duì)于研究生來(lái)說(shuō)是必不可基本理論與方法，對(duì)于研究生來(lái)說(shuō)是必不可少的。少的。主要參考書目：主要參考書目：1. 劉劉 彬彬, 線性代數(shù)與矩陣論線性代數(shù)與矩陣論 ,電子版電子版2. 張明淳，工程矩陣?yán)碚?，東大出版社張明淳，工程矩陣?yán)碚?，東大出版社3. 劉慧等，矩陣論及應(yīng)用，化工出版社劉慧等，矩陣論及應(yīng)用，化工出版社矩陣論矩陣論內(nèi)容要點(diǎn)索引內(nèi)容要點(diǎn)索引線性代數(shù)（

3、矩陣代數(shù)）線性代數(shù)（矩陣代數(shù)） Ch.1 線性空間線性空間Ch.2 線性變換線性變換Ch.3 歐氏空間歐氏空間矩陣?yán)碚摼仃嚴(yán)碚揅h.4 矩陣分析矩陣分析Ch.5 矩陣分解矩陣分解第一章第一章 線性空間線性空間1.1線性空間的定義和性質(zhì)線性空間的定義和性質(zhì) 線性空間是我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的線性空間是我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的n維向量空間的推廣維向量空間的推廣和抽象，它不僅在線性代數(shù)和矩陣的有關(guān)理論中占有和抽象，它不僅在線性代數(shù)和矩陣的有關(guān)理論中占有 一一 數(shù)域的概念數(shù)域的概念 重要的地位，而且它的理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)重要的地位，而且它的理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域

4、。設(shè)設(shè) P 是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括不為不為0）仍是）仍是 P 中的數(shù)，則稱中的數(shù)，則稱 P 為一個(gè)為一個(gè)數(shù)域數(shù)域0與與1，常見(jiàn)數(shù)域常見(jiàn)數(shù)域：注意：注意：自然數(shù)集自然數(shù)集N及整數(shù)集及整數(shù)集Z定義定義都不是數(shù)域都不是數(shù)域如果如果 P 中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)有理數(shù)域有理數(shù)域Q； 實(shí)數(shù)域?qū)崝?shù)域R；復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域C .是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域例例 證明：數(shù)集證明：數(shù)集 ( 2)2 | ,Qaba bQ 證：證： 000 2,110 2, ,( 2),x yQ 又對(duì)又對(duì) 2,2,xabycd 設(shè)設(shè) 則有則有 (2)() 2(

5、 2)x yacbdadbcQ 0,1( 2)Q , , ,a b c dQ ()() 2( 2),xyacbdQ 設(shè)設(shè)20,ab 于是于是也不為也不為0 02ab 矛盾）矛盾） （否則，若（否則，若20,ab 則則2,ab 2,aQb于是有于是有22cdab 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域( 2)Q).2(22222222Qbabcadbabdac(2)(2)(2)(2)cdababab 二二 線性空間的基本概念及其性質(zhì)線性空間的基本概念及其性質(zhì)12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且這兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律而且這

6、兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律, ,如如 空間空間Pn，定義了兩個(gè)向量的加法和數(shù)量乘法：，定義了兩個(gè)向量的加法和數(shù)量乘法： 在在線性代數(shù)線性代數(shù)中，我們討論了數(shù)域中，我們討論了數(shù)域 P上的上的n維向量維向量0()() ()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 足上述這些重要的規(guī)律，足上述這些重要的規(guī)律，即即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f xg xg xf x 數(shù)域數(shù)域P上的一元多頂式環(huán)上的一元多頂式環(huán)Px中，定義了兩個(gè)多中，定義了兩個(gè)多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，而且這兩種運(yùn)算項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法

7、，而且這兩種運(yùn)算同樣滿同樣滿( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x ( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x () ( )( )( )kl f xkf xlf x ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x 設(shè)設(shè)V是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域，在集合是一個(gè)數(shù)域，在集合V中中定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法加法：即：即對(duì)，對(duì)， ,V 在在V中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱

8、為 的的和和，記為，記為 ；與 定義了一種運(yùn)算叫做定義了一種運(yùn)算叫做數(shù)量乘法數(shù)量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一個(gè)元素中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱與它們對(duì)應(yīng)，稱為為 的的數(shù)量乘積數(shù)量乘積，記為，記為k與.k法還滿足下述規(guī)則，則稱法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域?yàn)閿?shù)域P上的上的線性空間線性空間：如果加法和數(shù)量乘如果加法和數(shù)量乘在在 P與與 V的元素之間還的元素之間還加法滿足下列四條規(guī)則：加法滿足下列四條規(guī)則： 1 ()()k lkl 數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則： ()klkl （具有這個(gè)性質(zhì)的元素（具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為稱為V的的零元素零元

9、素） 數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則 : ()() ()kkk,V 對(duì)對(duì) 都有都有V中的一個(gè)元素中的一個(gè)元素，使得，使得 ,V ; ;（稱為稱為 的的負(fù)元素負(fù)元素） 0 在在V中有一個(gè)元素中有一個(gè)元素0，對(duì)，對(duì),0V 有有3 線性空間的判定：線性空間的判定：1 凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也2線性空間的元素也稱為線性空間的元素也稱為向量向量，線性空間也稱，線性空間也稱向量空間向量空間但這里的向量不一定是有序數(shù)組但這里的向量不一定是有序數(shù)組稱為稱為線性運(yùn)算線性運(yùn)算就不能構(gòu)成線性空間就不能構(gòu)成線性空間 運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，

10、則此集合運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者若集合對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者 4. 在本書中我們?cè)诒緯形覀冎饕懻搶?shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的線主要討論實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的線性空間，分別簡(jiǎn)稱為實(shí)線性空間或復(fù)線性空間。性空間，分別簡(jiǎn)稱為實(shí)線性空間或復(fù)線性空間。 例例1引例引例1, 2中的中的 Pn, Px例例2數(shù)域數(shù)域 P上的次數(shù)上的次數(shù)小于小于 n 的多項(xiàng)式的全體，再添的多項(xiàng)式的全體，再添的加法和數(shù)量乘法，的加法和數(shù)量乘法，法構(gòu)成數(shù)域法構(gòu)成數(shù)域 P上的一個(gè)線性空間，常用上的一個(gè)線性空間，常用 Pxn表示表示上零多項(xiàng)式作成的集合，上零多項(xiàng)式作成的

11、集合，1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例3數(shù)域數(shù)域 P上上 矩陣的全體作成的集合矩陣的全體作成的集合, ,按矩陣按矩陣mn 用用 表示表示m nP 均為數(shù)域均為數(shù)域 P上的線性空間上的線性空間構(gòu)成數(shù)域構(gòu)成數(shù)域 P上的一個(gè)線性空間，上的一個(gè)線性空間，按多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘按多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘 例例4實(shí)數(shù)區(qū)間實(shí)數(shù)區(qū)間 上的所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集上的所有實(shí)值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合合 ，對(duì)于通常函數(shù)的加法及實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法構(gòu)成，對(duì)于通常函數(shù)的加法及實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法構(gòu)成實(shí)線性空間，稱之為連續(xù)函數(shù)空間。記實(shí)線性空間，稱之為連續(xù)函數(shù)空間。記 為由所有定為由所有定義在實(shí)數(shù)

12、義在實(shí)數(shù)R上的連續(xù)函數(shù)組成的空間。上的連續(xù)函數(shù)組成的空間。 ,baC)(RC,ba例例5全體正實(shí)數(shù)全體正實(shí)數(shù)R，kk aaabab kk aa判斷判斷 R是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間上的線性空間 .1) 1) 加法與數(shù)量乘法定義為：加法與數(shù)量乘法定義為： ,a bRkR 2) 2) 加法與數(shù)量乘法定義為：加法與數(shù)量乘法定義為： ,a bRkR logaabb例例5全體正實(shí)數(shù)全體正實(shí)數(shù)R，kk aa1) 1) 加法與數(shù)量乘法定義為：加法與數(shù)量乘法定義為： ,a bRkR logaabb不封閉，如：不封閉，如： 12221log12 R 所以所以R不構(gòu)成實(shí)數(shù)域不構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性

13、空間上的線性空間. . abab kk aa2)2) 首先，首先，R ，且加法和數(shù)量乘法對(duì)，且加法和數(shù)量乘法對(duì)R是封閉的是封閉的. .,kaRkR k aaR , ,且且 ak 唯一確定唯一確定 ,a bRababR , ,且且 ab 唯一確定；唯一確定； 事實(shí)上事實(shí)上, , 其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律其次，加法和數(shù)量乘法滿足下列算律 ()()()()()()abcabcab ca bcabcabc ababbaba R， 111,aaa aR，即即1 1是零元；是零元； 即即a 的負(fù)元素是的負(fù)元素是 1a 11 aaa ;a R； ()()()llklkklklakaaaakla ;(

14、)()()k lklklklaaa aaak al a ()()()kkkkkkabkababa bab R構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間上的線性空間 ;()()k ak b 1(4),aRRa 11,aa從線性空間的定義，可推導(dǎo)出它的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)。從線性空間的定義，可推導(dǎo)出它的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)。 證明證明這里僅證明（這里僅證明（1）( (3）, ,其余的證明留作練習(xí)。其余的證明留作練習(xí)。（1） 零向量零向量0是唯一的是唯一的.（3）00, （4）若）若 ，則，則 或或 。 0k0k0 (1) (1) 設(shè)設(shè) 和和 都是零元素都是零元素, ,則由定義有：則由定義有： 011000 ,10100

15、0 ,又又 110000 ,100零元素是唯一的。零元素是唯一的。 （3）先證先證 00( (注意等號(hào)兩邊的注意等號(hào)兩邊的“0”代表不同的對(duì)象）；代表不同的對(duì)象）； （2） 一個(gè)向量的負(fù)向量是唯一的一個(gè)向量的負(fù)向量是唯一的.00,k( 1); 對(duì)任意對(duì)任意 ,V0是是V中的零元素，根據(jù)零元素的中的零元素，根據(jù)零元素的唯一性唯一性得得 000.再證再證 ( 1) ( 1) ( 1)是是 的負(fù)元素，根據(jù)負(fù)元素的的負(fù)元素，根據(jù)負(fù)元素的唯一性唯一性得得 ( 1). 最后證最后證 00.k0()kk ()kk 10(10)1(1 ( 1)0 ()kk( 1)kk()00kk 0 1.2 線性空間的基、維

16、數(shù)與向量的坐標(biāo)線性空間的基、維數(shù)與向量的坐標(biāo) 即線性空間的構(gòu)造如何？即線性空間的構(gòu)造如何？怎樣才能便于運(yùn)算？怎樣才能便于運(yùn)算？問(wèn)題問(wèn)題如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)？如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)？這些元素之間的關(guān)系又如何呢？這些元素之間的關(guān)系又如何呢？（基的問(wèn)題）（基的問(wèn)題）問(wèn)題問(wèn)題線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西線性空間是抽象的，如何使其元素與具體的東西數(shù)發(fā)生聯(lián)系數(shù)發(fā)生聯(lián)系, ,使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)？使其能用比較具體的數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)？（坐標(biāo)問(wèn)題）（坐標(biāo)問(wèn)題） 在線性代數(shù)中討論在線性代數(shù)中討論n維向量時(shí)，我們?cè)M(jìn)了線性組維向量時(shí)，我們?cè)M(jìn)了線性組合、線性相關(guān)合、

17、線性相關(guān)(無(wú)關(guān)無(wú)關(guān))、等價(jià)向量組、極大無(wú)關(guān)組等許多重、等價(jià)向量組、極大無(wú)關(guān)組等許多重要概念要概念, 而這些概念僅與而這些概念僅與n維向量的加法及數(shù)乘有關(guān)，所以維向量的加法及數(shù)乘有關(guān)，所以不難將它們推廣到一般的數(shù)域不難將它們推廣到一般的數(shù)域P上的線性空間上的線性空間V。 定義定義3 設(shè)設(shè) 是向量空間是向量空間V的的r個(gè)向量，個(gè)向量， 是數(shù)域是數(shù)域P中任意中任意r個(gè)數(shù)個(gè)數(shù). 我們把和我們把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一個(gè)向量組合的一個(gè)向量組合或或線性表示線性表示.r,21 如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的線的線性組合，我們也說(shuō)性

18、組合，我們也說(shuō) 可以由可以由 線性表示線性表示.r,21r,21例例 向量組向量組 1=(1,2,3), 2=(1,0,2)與向量組與向量組 1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1) 定義定義4 設(shè)設(shè) 和和 是向量是向量空間空間V的兩個(gè)向量組的兩個(gè)向量組,如果每一個(gè)如果每一個(gè) 都可以由都可以由 線性表示線性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 線性表示線性表示, 那么那么,21r12,.,s iir,2112,.,s 零向量顯然可以由任意一組向量零向量顯然可以由任意一組向量 線性線性表示，因?yàn)楸硎荆驗(yàn)?20000.rr,21就說(shuō)這兩個(gè)向量組就說(shuō)這兩個(gè)向量組等價(jià)等價(jià).等價(jià)

19、等價(jià).定義定義5 設(shè)設(shè)12,rV 若存在若存在不全為零不全為零的數(shù)的數(shù) 12,rk kkP，使得，使得 11220rrkkk則稱向量組為則稱向量組為線性相關(guān)線性相關(guān)的的；12,r 如果向量組如果向量組 不是線性相關(guān)不是線性相關(guān)的，即的，即12,r 11220rrkkk只有在時(shí)才成立。只有在時(shí)才成立。 120rkkk則稱則稱為為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)的的 12,r 例例 令令P是任意一個(gè)數(shù)域。是任意一個(gè)數(shù)域。 中向量中向量3P 1=（1,2,3), 2=（2,4,6), 3=（3,6, 9） 例例 5在連續(xù)函數(shù)空間在連續(xù)函數(shù)空間C（R）中，討論向量組的）中，討論向量組的 線性相關(guān)性線性相關(guān)性: : 2

20、1,cos,cos2 .xx解解 1cos22cos2xx0cos)2(2cos12xx根據(jù)定義根據(jù)定義5，向量組，向量組 是線性相關(guān)是線性相關(guān)的，但向量組的，但向量組 中任意兩個(gè)都是線中任意兩個(gè)都是線性無(wú)關(guān)的。性無(wú)關(guān)的。 21,cos,cos2xx21,cos,cos2xx 1=（1,0,0)， 2=（0,1,0)， 3=（0,0,1）線性相關(guān)線性相關(guān);線性無(wú)關(guān)。線性無(wú)關(guān)。 例例 6 6在多項(xiàng)式空間在多項(xiàng)式空間 中，討論向量組的線性中，討論向量組的線性關(guān)性關(guān)性: : xR211, ,.nx xx解解 若若 0112210nnxkxkxkk 則必有則必有 01210nkkkk12, 1nxxx

21、是線性無(wú)關(guān)的。是線性無(wú)關(guān)的。 2. 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),而而 線性相關(guān)線性相關(guān).那么那么一定可以由一定可以由 線性表示線性表示.,21r,21rr,211. 單個(gè)向量單個(gè)向量 是線性相關(guān)的充要條件是是線性相關(guān)的充要條件是 0; r,213. 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),而而且可以被且可以被 線性表示，則線性表示，則 . .由此推出，兩個(gè)由此推出，兩個(gè),21rs,21sr 等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組必定含有相同個(gè)數(shù)的向量。等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組必定含有相同個(gè)數(shù)的向量。 仿照以前的證明，可得以下常用的一些仿照以前的證明，可得以下常用的一些結(jié)論結(jié)論 : 兩個(gè)以上的向量?jī)蓚€(gè)以上的向量

22、線性相關(guān)的充要條件線性相關(guān)的充要條件是其中一個(gè)向量可用其余向量線性表示。是其中一個(gè)向量可用其余向量線性表示。 定義定義6 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域P上一個(gè)向量空間上一個(gè)向量空間.V 中滿足下列兩個(gè)條件中滿足下列兩個(gè)條件的向量組的向量組 叫做叫做V的一個(gè)的一個(gè)基基:n,21（1） 線性無(wú)關(guān)；線性無(wú)關(guān)； n,21（2）V的每一個(gè)向量都可以由的每一個(gè)向量都可以由 線性線性表示表示:n,211122.nnxxx 線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)線性空間的基底，維數(shù)與坐標(biāo)向量空間的基所含向量個(gè)數(shù)向量空間的基所含向量個(gè)數(shù)n叫做的叫做的維數(shù)維數(shù), 記記nV dim,而而12( , ,)nnx xxPn,21關(guān)于基關(guān)于基

23、稱為稱為的的坐標(biāo)坐標(biāo). 注意注意：1.若線性空間若線性空間V只含有一個(gè)零向量，則稱只含有一個(gè)零向量，則稱V 2.若若V中有任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱中有任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則稱V是無(wú)是無(wú)限維的。例如實(shí)多項(xiàng)式空間限維的。例如實(shí)多項(xiàng)式空間 中，對(duì)任意正整數(shù)中，對(duì)任意正整數(shù)n,n, 都是線性無(wú)關(guān)，從而都是線性無(wú)關(guān)，從而 是無(wú)限維是無(wú)限維. . R x12, 1nxxx R x 3.若若V有一個(gè)基，則基是不唯一的。但由于有一個(gè)基，則基是不唯一的。但由于V的不同的不同基是等價(jià)的，從而不同基含有相同個(gè)數(shù)的向量，因此基是等價(jià)的，從而不同基含有相同個(gè)數(shù)的向量，因此V的的維數(shù)是唯一確定。另外，根據(jù)前面的結(jié)

24、論維數(shù)是唯一確定。另外，根據(jù)前面的結(jié)論2， 在在V的一的一個(gè)基個(gè)基 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo) 是唯一的。是唯一的。 n,2112( , ,)nx xx是零空間，并稱零空間的維數(shù)為是零空間，并稱零空間的維數(shù)為0;本課程主要討論有限維線性空間，不討論無(wú)限維線性空本課程主要討論有限維線性空間，不討論無(wú)限維線性空間間。 例例 3 維幾何空間維幾何空間R3 ( , , ) , ,x y z x y zR123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)是是R3的一組基；的一組基； 123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)也是也是R3的一組基的一組基一般地，向量空間一般地，向量空間12( ,),1,

25、2, nniPa aaaP in為為n維的，維的， 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n就是就是 Pn 的一組基稱為的一組基稱為Pn的的標(biāo)準(zhǔn)基標(biāo)準(zhǔn)基. 1234, 下的坐標(biāo)，其中下的坐標(biāo)，其中 1234(1,1,1,1),(1,1, 1, 1),(1, 1,1, 1),(1, 1, 1,1) 解：解：設(shè)設(shè) 1 1223 344xxxx，則有線性方程組，則有線性方程組12341234123412341211xxxxxxxxxxxxxxxx解之得，解之得， 12345111,4444xxxx 在基在基 1234, 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 5 111( ,)4 444 例例 在線性空間

26、在線性空間 中求向量中求向量 在基在基 4P(1,2,1,1) 例例7求復(fù)數(shù)集求復(fù)數(shù)集C分別作為實(shí)線性空間和復(fù)線性空分別作為實(shí)線性空間和復(fù)線性空間（對(duì)于通常的加法與數(shù)乘）的一個(gè)基、維數(shù)及任間（對(duì)于通常的加法與數(shù)乘）的一個(gè)基、維數(shù)及任一復(fù)數(shù)一復(fù)數(shù) 在對(duì)應(yīng)基下的坐標(biāo)。在對(duì)應(yīng)基下的坐標(biāo)。bia 解解 (1)(1)C看成實(shí)線性空間看成實(shí)線性空間, ,則可驗(yàn)證則可驗(yàn)證: :bia( , ).a b （2）C看成復(fù)線性空間看成復(fù)線性空間, ,則可驗(yàn)證則可驗(yàn)證: :bia.abi 例例8求實(shí)線性空間求實(shí)線性空間 的一個(gè)基、維數(shù)及任意矩陣的一個(gè)基、維數(shù)及任意矩陣 在這個(gè)基下在這個(gè)基下的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。 2 22

27、 2(), ,1,2.ijijRAaaR i j2 2()ijAa其維數(shù)其維數(shù)dimC=2dimC=2，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù) 在基在基1, i1, i下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 1, i 是是V的一個(gè)基的一個(gè)基，其維數(shù)其維數(shù)dimC=1dimC=1，復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù) 在基在基1下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 1 是是V的一個(gè)基，的一個(gè)基， 解解 設(shè)設(shè) 1110,00E1201,00E2100,10E2200.01E 若有實(shí)數(shù)若有實(shí)數(shù) ，使得，使得 4321,kkkk0224213122111EkEkEkEk是是 中線性無(wú)關(guān)組，又對(duì)任意中線性無(wú)關(guān)組，又對(duì)任意 ，有，有則容易推得則容易推得 , , 故故 12340kkkk222

28、11211,EEEE2 2()ijAa22R2222212112121111EaEaEaEaA11122122,EEEE 是的是的 個(gè)基，個(gè)基， 22R4dim22R11122122(,).aaaa任意矩陣任意矩陣A在這個(gè)基下的坐標(biāo)為在這個(gè)基下的坐標(biāo)為 解解211, ,nx xx211, ,nx xx可由可由 線性表示，所以線性表示，所以 例例9求實(shí)線性空間求實(shí)線性空間 的一個(gè)基、維數(shù)及多項(xiàng)式的一個(gè)基、維數(shù)及多項(xiàng)式 在這個(gè)基下的坐標(biāo)。在這個(gè)基下的坐標(biāo)。 nR x1011( )nnf xaa xax（a為任一實(shí)數(shù)）也是為任一實(shí)數(shù)）也是 的一個(gè)基。根據(jù)的一個(gè)基。根據(jù) 公式，公式，任意任意 有：有：

29、 121)(, 1nnaxax nR xTaylor( ) nf xR x1)1(2)()!1()()(! 2)()()()( nnaxnafaxafaxafafxf1011( ) nnnf xaa xaxR x是線性無(wú)關(guān)的，且任意是線性無(wú)關(guān)的，且任意 為為 的一個(gè)基，其維數(shù)的一個(gè)基，其維數(shù) ， 在這個(gè)在這個(gè) nR xnxRndim)(xf011(,).na aa211, ,nx xx基下的坐標(biāo)為基下的坐標(biāo)為 另外，容易驗(yàn)證另外，容易驗(yàn)證故故 在在 下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為 )(xf11,()nxaxa(1)( )( )( ( ),( ),).2!(1)!nfafaf afan例例10已知全體正實(shí)

30、數(shù)已知全體正實(shí)數(shù)R對(duì)于加法與數(shù)量乘法：對(duì)于加法與數(shù)量乘法：,kababk aaa bRkR 構(gòu)成實(shí)數(shù)域構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間，求上的線性空間，求R的維數(shù)與一組基的維數(shù)與一組基. . 解解:即即 x 可由可由 a 線性表出線性表出.任取任取R中的一個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù) a , 且且 ，則，則a是線性無(wú)關(guān)的是線性無(wú)關(guān)的.1a ,log,又有使axRkxR 故故R是一維的，任一正實(shí)數(shù)就是是一維的，任一正實(shí)數(shù)就是R的一組基的一組基.( 1)a ,11xRxxx 數(shù)數(shù) 1 是是 R 的零元素的零元素.kak a logaxxa 1.3基變換與坐標(biāo)變換基變換與坐標(biāo)變換 從例從例9可看出，同一個(gè)向量在兩個(gè)不同基

31、下的坐可看出，同一個(gè)向量在兩個(gè)不同基下的坐標(biāo)一般是不同的，標(biāo)一般是不同的，因此在處理一些問(wèn)題時(shí)，如何因此在處理一些問(wèn)題時(shí)，如何選擇選擇適當(dāng)?shù)幕m當(dāng)?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺?biāo)比較簡(jiǎn)單是一個(gè)使我們所討論的向量的坐標(biāo)比較簡(jiǎn)單是一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題為此我們首先要知道同一向量在不同基實(shí)際的問(wèn)題為此我們首先要知道同一向量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系，即隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是如何變化的坐標(biāo)是如何變化的. 本節(jié)主要討論這個(gè)問(wèn)題。本節(jié)主要討論這個(gè)問(wèn)題。 12,n 定義定義7 設(shè)設(shè)n維線性空間維線性空間V中有兩個(gè)基中有兩個(gè)基 （舊的舊的） 與與 （新的新的） 它們之

32、間的關(guān)系為：它們之間的關(guān)系為：12,n nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111此關(guān)系可此關(guān)系可形式地寫成形式地寫成 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA 1112121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 12,nA n,21 由過(guò)渡矩陣的定義看出，過(guò)渡矩陣由過(guò)渡矩陣的定義看出，過(guò)渡矩陣A的第的第j列正好是向量列正好是向量 在基在基 下的坐標(biāo)（下的坐標(biāo)（ ）。 jnj, 2 , 1上式稱為上式稱為基變換公式基變換公式，其中矩陣，其中矩陣 稱為從基稱為從基 到基到基 的的過(guò)渡矩陣過(guò)渡矩陣?？梢?。可以

33、證明過(guò)渡矩陣必是可逆的。證明過(guò)渡矩陣必是可逆的。 n,21()ijn nAa12,n 在形式書寫法下有下列運(yùn)算規(guī)律在形式書寫法下有下列運(yùn)算規(guī)律1212(,) )(,)()nnA BAB 1212(,)(,)nnAB ； 1212(,)(,)nnAA ；1122(,)nnA 若若 12,n 線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān)，則1212(,)(,).nnABAB 12(,)()nAB 定理定理1設(shè)設(shè)n維線性空間維線性空間V的一個(gè)基的一個(gè)基 到另一到另一個(gè)基個(gè)基 的過(guò)渡矩陣是的過(guò)渡矩陣是A，V中中 元素元素 在這二在這二個(gè) 基 下 的 坐 標(biāo) 分 別 是 （個(gè) 基 下 的 坐 標(biāo) 分 別 是 （ ） 和和（ ）

34、 ，則有坐標(biāo)變換公式，則有坐標(biāo)變換公式 或或 nxxx,21nyyy,21nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy2112112,n n,21 證明證明nnyyy2211 可形式地寫成可形式地寫成12(,)n nyyy21Anyyy2112(,)n12( ,)n nyyy21 又又 nnxxx221112(,)n 12nxxx根據(jù)向量在基下的根據(jù)向量在基下的坐標(biāo)唯一性坐標(biāo)唯一性得到得到 nnyyyAxxx2121nnxxxAyyy21121 或或例例 在在Pn中，求由基中，求由基 12,n 到基到基 12,n 過(guò)渡矩陣其中過(guò)渡矩陣其中 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n

35、12(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)n解：解： 的過(guò)渡矩陣及由基的過(guò)渡矩陣及由基 12,n 12,n 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐標(biāo)下的坐標(biāo). . 12,n 12(,)na aa 112n 22n nn 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而， 1212100110(,)(,)111nn 故，由基故，由基 12,n 到基到基 12,n 的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為100110111A 12,n 12,n 到基到基 由基由基的過(guò)渡矩陣為的過(guò)渡矩陣為 110001 10001 100001A 11212100110(,)(,)111nn 1210001 100(,)01 100001n 而，而，例例 考慮中考慮中 以下兩組向量：以下兩組向量： 3R1 , 3 , 2 ,1 , 1 , 1 ,2 , 1 , 33211 , 0 , 2 ,3 , 2 , 1 ,1 , 1 , 1321證明：證明： 和和 都是的基求出由都是的基求出由基基 到基到基 的過(guò)渡矩陣。的過(guò)渡矩陣。321 , ,321 , ,321 , ,321 , , 解：解： 123123, , ,A , B,321321321 , ,3R BA,-1321321321,321,因此，由