高數(shù) 第2章 導數(shù)與微分

1、第2章導數(shù)與微分總結(jié)一、 重點： 1.導數(shù)的概念；2.基本初等函數(shù)的導數(shù)；3.函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)；4.復(fù)合函數(shù)的求導法則；5.微分的意義；6.微分與導數(shù)的關(guān)系及微分的求解。二、難點：1.導數(shù)概念； 2.復(fù)合函數(shù)的求導法則；3.隱函數(shù)的導數(shù)；4.微分形式的不變性。三、必須掌握的內(nèi)容：1.導數(shù)的定義；2.單側(cè)導數(shù)，導函數(shù)；3.導數(shù)的幾何意義；4.導數(shù)與連續(xù)的關(guān)系；6.基本初等函數(shù)的導數(shù)即導數(shù)基本公式；7.函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)；8.復(fù)合函數(shù)的求導法則；9.隱函數(shù)的求導法則；10.取對數(shù)求導方法；11.高階導數(shù)；12.微分的定義；13.微分與導數(shù)之間的關(guān)系；14.微分基本公式及其運算法則；1

2、5.微分形式的不變性；16.微分的求解；17.微分在近似計算的應(yīng)用（了解）。第一節(jié)重點： 導數(shù)概念；可導的主要條件；可導與連續(xù)的關(guān)系；可導的幾何意義；難點：單側(cè)導數(shù)；可導與連續(xù)的關(guān)系。定義1：函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處有改變量時，得對應(yīng)的函數(shù)增量。如果極限 存在，則稱函數(shù)在點處是可導的（否則稱函數(shù)在點處不可導）；且把該極限稱為函數(shù)在點處的導數(shù)。記作： ，或 ，即：，若令，上式可表示為： 利用定義可求函數(shù)在某點的導數(shù)。例如：求在處的導數(shù)等。定義2：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點處都可導，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導。由于導數(shù)的值與點有關(guān)，對于區(qū)間內(nèi)的每一個的值，都有唯一確定的導數(shù)值與之對應(yīng)，這樣就

3、確定了區(qū)間內(nèi)的一個函數(shù)，稱之為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作：，或，。例如：的導數(shù)是，那么。定義3：如果極限存在，則稱其為函數(shù)在點處的左導數(shù)，記作；如果極限存在，稱其為函數(shù)在點處的右導數(shù)，記作。左、右導數(shù)統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)導數(shù)。左、右導數(shù)也可分別表示如下： ；結(jié)論:存在的充分必要條件是函數(shù)在點的左、右導數(shù)分別存在且相等。即： 注意：本條件主要用于判斷分段函數(shù)在分界點處是否可導。例：討論函數(shù) ，在點處的連續(xù)性及可導性。解：（連續(xù)性） ，；， 又在處連續(xù)。（可導性）：在處不可導。注意在分界點討論連續(xù)和可導方法?？蓪c連續(xù)的關(guān)系：若函數(shù)在點處可導，則在點處一定連續(xù)。關(guān)于可導與連續(xù)的關(guān)系可總結(jié)如下

4、： 若在點處可導，則在點處一定連續(xù)； 若在點處連續(xù)，則在點處不一定可導（可舉例說明）； 若在點處不連續(xù)，則在點處一定不可導； 若在點處不可導，則在點處不一定連續(xù)。導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)，就是曲線在點處切線的斜率.即 .例如：求過曲線上點處的切線方程。解：由導數(shù)定義3.1可求出.那么所求切線方程是：即 .本節(jié)小結(jié)：通過本節(jié)學習，要理解和掌握導數(shù)概念；可導的充要條件及利用該條件來判別在某點導數(shù)是否存在；導數(shù)的幾何意義及相關(guān)問題的求解；掌握可導與連續(xù)之間的關(guān)系，并明確連續(xù)是可導的必要條件。第二節(jié)重點： 基本求導公式；函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)；復(fù)合函數(shù)求導法則；隱函數(shù)的導數(shù)；難點：復(fù)合函數(shù)求

5、導法則； 隱函數(shù)的導數(shù)。1、基本求導公式：（見課本）注意：以上公式是求函數(shù)的導數(shù)最基本工具，一定要記??；公式中函數(shù)是基本初等函數(shù)。2、四則運算：函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)（見課本）可以通過以下例題來進一步掌握和鞏固以上法則。1、設(shè) ，求；2、設(shè) ，求；3、設(shè) ，求；4、設(shè) ，求。解略。3、復(fù)合函數(shù)求導法則：設(shè)函數(shù)在點可導，函數(shù) 在對應(yīng)點可導，則復(fù)合函數(shù)在點可導，且。重復(fù)利用上述方法，可以把定理推廣到函數(shù)有限次復(fù)合的情形?？梢酝ㄟ^做下面題目來進一步掌握和鞏固以上法則。1.設(shè) ，求 ；2.設(shè) ，求 ；3.設(shè) ，求 ；4.設(shè) ，求 。解略。注意：以上例題講解可先做一至兩道寫出復(fù)合過程然后再進行求導數(shù)，

6、然后過渡到把復(fù)合過程記在心里，進行求導數(shù)；要得到強調(diào)寫出復(fù)合過程求導數(shù)與不寫出復(fù)合過程求導數(shù)的書寫格式上的區(qū)別。如： ：1、若設(shè)， ，則；2、若把復(fù)合過程記在心里，則。4、隱函數(shù)的導數(shù)：對方程（設(shè)是的函數(shù)）兩邊關(guān)于求導，遇到的函數(shù)就看成是關(guān)于的復(fù)合函數(shù)，這樣便得到關(guān)于所求導數(shù)的方程，然后從中解出即可?？梢酝ㄟ^以下例題來進一步掌握和鞏固以上方法：1.求由方程所確定的函數(shù)的導數(shù)；2.求由方程所確定的關(guān)于的導數(shù)；3.求曲線上點處的切線方程。5、取對數(shù)求導法取對數(shù)求導數(shù)意義：是通過取對數(shù)將冪指函數(shù)轉(zhuǎn)型；是可使較復(fù)雜的求導過程簡化。可以通過以下例題來進一步掌握和鞏固此方法。1.已知 ，求 ；2.已知 ，

7、求 ；3.已知 ，求 ；4.已知 ，求 。解略。本節(jié)小結(jié)：通過本節(jié)學習：要熟記基本求導公式，函數(shù)的和、差、積、商的求導法則； 要理解和熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導法則； 掌握隱函數(shù)求導數(shù)方法和取對數(shù)求導方法。第三節(jié)重點： 高階導數(shù)的概念；高階導數(shù)的求解；難點： 階導數(shù)的求解。 定義：設(shè)函數(shù)在處可導，若在處仍可導，則稱的導數(shù)為在處的二階導數(shù)，記為：， 或 ；注意：類似地，可定義三階導數(shù)、四階導數(shù)直到階導數(shù)。例題：1.，求；2.，求；本節(jié)小結(jié)：通過本節(jié)學習：要理解高階導數(shù)的概念；要掌握高階導數(shù)的求解。第四節(jié)重點： 微分的概念；微分與導數(shù)的關(guān)系；微分在近似計算中的應(yīng)用。本節(jié)難點： 微分的概念；微分形式的不變

8、性。1、定義：對于函數(shù)，當自變量在點處有改變量時，如果函數(shù)的相應(yīng)改變量可表示為： ，其中與無關(guān)，而當時，為無窮小量，則稱函數(shù)在點處可微，并稱為函數(shù)在點處的微分。記作： 。上式中的是什么？如何確定的值？2、定理：函數(shù)在點處可微的充分必要條件是函數(shù)在點處可導，且 。為此，函數(shù)在點處的微分可寫成： 。3、微分的幾何意義如圖：由此可見，當是曲線上的點的縱坐標增量時，就是曲線的切線上點的縱坐標的相應(yīng)增量。4、微分法則：由于，所以利用求導公式及求導法則便可得到相應(yīng)的微分公式和微分基本公式（見課本）。通過以下例題來進一步掌握和鞏固微分基本公式和運算法則。1.設(shè) ，求 ；2.設(shè) ，求 。5、微分形式的不變性：設(shè)函數(shù)在處可微，（1）若為自變量，微分；（2）若不為自變量，而是中間變量時，即設(shè)，且存在，則為的復(fù)合函數(shù)，則有： （）比較（1）、（2）可知，不論是自變量還是中間變量