經(jīng)廣義協(xié)變原理改造的物理定律

1、.經(jīng)廣義協(xié)變原理改造的物理定律總體方案   牛頓曾經(jīng)注意到，牛頓第二定律在伽利略變換下保持形式不變：                                    即    

2、0;       做變換 t'=t  x'=Rx+vt (R、v為實常數(shù)）時保持形式不變                                    即&

3、#160;                 （伽利略變換下m和f不變）      但是還有許多變換，比如在加速坐標系或旋轉(zhuǎn)坐標系中（v或R依賴于t時），不能使方程保持形式不變，只有在特定參考系即慣性系中，運動方程才可以保持它通常的形式?，F(xiàn)在我們都知道，即使升級到狹義相對論，也不能使方程在任意坐標變換下保持形式，因為Lorentz變換和伽利略變換一樣，都屬于線性變換，而任意坐標變換屬于非線性變換，要

4、在這種情況下保持方程形式不變，付出的代價是非常大的。    而愛因斯坦堅信所有的物理方程在任何坐標變換下都能保持形式不變，往下我們會看到，僅僅為實現(xiàn)這個目的，就造出了廣義相對論。    愛因斯坦把他的信念升華成廣義相對性原理，這個原理是這樣的：普遍的自然規(guī)律，應(yīng)當用對一切坐標系都適用的方程來描述也就是說，所有的物理方程在任何坐標變換下都能保持形式不變(廣義協(xié)變性)  。    后來他又提出等效原理：在任何引力場里的每一個時空點人們總能建立一個自由下落的“局部慣性系”，使得在所討論的那一點附近的充

5、分小的鄰域內(nèi)，自然規(guī)律的形式與狹義相對論的表述形式相同。（強等效原理）    因為廣義相對性原理不具備物理內(nèi)容，所以人們把這兩個原理合起來，稱為廣義協(xié)變原理：                物理方程在一般引力場中也成立，只要它具備兩個條件：               （1）這個

6、方程在沒有引力場時是成立的（和狹義相對論的定律一致）                （2）這個方程是廣義協(xié)變的，即在一般坐標變換x->x'下，方程形式不變     很顯然，廣義協(xié)變原理告訴我們，一個物理方程在沒有引力場時成立，那么在有引力場（大質(zhì)量附近）或慣性力場（加速或旋轉(zhuǎn)坐標系）中也同樣成立，而且方程的形式不變。于是整個廣義相對論就是按照這個思路建立起來的。   

7、60; 其實要方程在一般坐標變換下保持形式不變并不難，只要方程的每一項都遵從同樣的變換關(guān)系，變換后的系數(shù)將會從整個方程中消掉，從而保持方程的形式不變。但是方程的每一項通常包括矢量、微商、梯度、旋度和散度以及更高階的張量等等，他們通常不遵從同樣的坐標變換關(guān)系。下面是個典型的例子：                           

8、;     單粒子的四維動量的坐標變換規(guī)律為                                            

9、;                          注意，偏導(dǎo)數(shù)是在處計算的，所以它依賴于，當我們對求微商時，便得到兩項：多出了一個非齊次項，正是這一項使得與不遵從同樣的變換規(guī)律，但是我們定義    （其中）我們發(fā)現(xiàn)它恰好滿足       

10、0;                 我們稱它為 的協(xié)變導(dǎo)數(shù)實際上諸如此類的協(xié)變微分、梯度、協(xié)變散度和協(xié)變旋度都在張量分析定義好了，它們都滿足同樣的坐標變換規(guī)律，整個張量分析就是這些內(nèi)容。由于協(xié)變微分在=0時（即沒有引力時）化為普通的微商，同時協(xié)變散度和協(xié)變旋度化為普通的散度和旋度，這些特點加上廣義協(xié)變原理啟示我們用下面的算術(shù)方法來改造物理定律：先寫下在狹義相對論中成立的方程，然后決定方程中每一個量在一般坐標變換下應(yīng)如何變換，再把換成，所有的導(dǎo)數(shù)換成協(xié)變導(dǎo)數(shù)，所得到的方程就是廣義協(xié)變的。