第6講DEA模型

1、第六講第六講 多目標(biāo)決策之多目標(biāo)決策之:數(shù)據(jù)包絡(luò)分析數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)(DEA)分析分析 一、多目標(biāo)決策問題實(shí)例一、多目標(biāo)決策問題實(shí)例 干部評估干部評估德、才兼?zhèn)涞隆⒉偶鎮(zhèn)?教師晉升教師晉升教學(xué)數(shù)量、質(zhì)量、科研成果教學(xué)數(shù)量、質(zhì)量、科研成果 購買冰箱購買冰箱價(jià)格、質(zhì)量、耗電、品牌等價(jià)格、質(zhì)量、耗電、品牌等 球員選擇球員選擇技術(shù)、體能、經(jīng)驗(yàn)、心理技術(shù)、體能、經(jīng)驗(yàn)、心理 找對象找對象容貌、學(xué)歷、氣質(zhì)、家庭狀況容貌、學(xué)歷、氣質(zhì)、家庭狀況 多目標(biāo)決策多目標(biāo)決策的基本概念的基本概念 二、多目標(biāo)決策問題特點(diǎn)二、多目標(biāo)決策問題特點(diǎn) 決策目標(biāo)多于一個(gè) 目標(biāo)間存在不可公度性，即各個(gè)目標(biāo)間沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，如

2、大型水電開發(fā)方案決策問題中發(fā)電目標(biāo)是多少度或多少電費(fèi)，而環(huán)境改善目標(biāo)無法折算成貨幣標(biāo)準(zhǔn) 目標(biāo)間的矛盾性，某個(gè)目標(biāo)的改進(jìn)必然導(dǎo)致另外某些目標(biāo)的劣化。三、多目標(biāo)決策與單目標(biāo)決策區(qū)別三、多目標(biāo)決策與單目標(biāo)決策區(qū)別 點(diǎn)評價(jià)與向量評價(jià)點(diǎn)評價(jià)與向量評價(jià) 單目標(biāo)：單目標(biāo)： 方案方案dj 評價(jià)值評價(jià)值f(dj) 多目標(biāo)：方案多目標(biāo)：方案dj評價(jià)向量評價(jià)向量(f1(dj)，f2(dj)，fp(dj) 決策者偏好決策者偏好：多目標(biāo)決策過程中，反映決策者對：多目標(biāo)決策過程中，反映決策者對目標(biāo)的偏好。目標(biāo)的偏好。四、多目標(biāo)決策問題的分類四、多目標(biāo)決策問題的分類 多屬性決策問題多屬性決策問題（Multi Attribu

3、te decision making problem)：決策變量是離散的，決策方案的數(shù)量是有限的，因此有時(shí)也稱為有限方案多目標(biāo)決策問題。 多目標(biāo)決策問題多目標(biāo)決策問題（Muliti objective decision making problem)：決策變量是連續(xù)的，決策方案為無限多，因此，有時(shí)也稱為無限多方案多目標(biāo)決策問題 多準(zhǔn)則決策問題多準(zhǔn)則決策問題（Multi criterion decision making problem),通常指多目標(biāo)和多屬性決策。 國內(nèi)用的比較混亂。國外一般用多準(zhǔn)則決策.多目標(biāo)決策相關(guān)術(shù)語多目標(biāo)決策相關(guān)術(shù)語 屬性：備選方案的特征、品質(zhì)、性能參數(shù) 目標(biāo)：決策希望

4、達(dá)到目的的標(biāo)準(zhǔn) 準(zhǔn)則：判斷事務(wù)的標(biāo)準(zhǔn)，兼指屬性和目標(biāo)多目標(biāo)決策解的概念多目標(biāo)決策解的概念單目標(biāo)決策的解只 有一種（絕對）最優(yōu)解多目標(biāo)決策的解有下面四種情況： 絕對最優(yōu)解 劣解 有效解(pereto解) 弱有效解（weak efficient solution）多目標(biāo)問題的解多目標(biāo)問題的解0)(0)(. .)(),.,(),()(21XhXgtsXfXfXfXoptFjiTp),.,(21nxxxX 為決策變量如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X) 層次

5、分析法（層次分析法（AHP）數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA)主成分分析法主成分分析法(PCA)目標(biāo)規(guī)劃方法目標(biāo)規(guī)劃方法多目標(biāo)規(guī)劃法多目標(biāo)規(guī)劃法模糊決策法模糊決策法五、常用多目標(biāo)決策方法五、常用多目標(biāo)決策方法一、 DEA方法介紹 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，以相對效率概念為基礎(chǔ)提出來的一種效率評價(jià)方法。該方法的原理主要是通過保持決策單元（DMU：,Decision Making Units） 的輸入或者輸入不變，借助于數(shù)學(xué)規(guī)劃和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定相對有效的生產(chǎn)前沿面，將各個(gè)

6、決策單元投影到DEA的生產(chǎn)前沿面上，并通過比較決策單元偏離DEA前沿面的程度來評價(jià)它們的相對有效性。 1978年，著名運(yùn)籌學(xué)家、美國德克薩斯大學(xué)教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“Measuring the efficiency of decision making units”（決策單元的有效性度量），刊登在權(quán)威的“歐洲運(yùn)籌學(xué)雜志”上。正式提出了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域：數(shù)據(jù)包絡(luò)分析，其模型簡稱 C2R 模型。該模型用以評價(jià)部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。 DEA 是應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型來評價(jià)具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸出的“部門”或“單位”的相對有

7、效性的。根據(jù)各DMU的觀察數(shù)據(jù)判斷其是否有效，本質(zhì)上是判斷DMU 是否位于生產(chǎn)可能集的“前沿面”上。 應(yīng)用DEA 方法和模型可以確定生產(chǎn)前沿面的結(jié)構(gòu)，因此又可以將DEA 看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)看作是一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法計(jì)估計(jì)方法。特別當(dāng)DEA 被用來研究多輸入、多輸出的生產(chǎn)函數(shù)理論時(shí)，由于不需要預(yù)先估計(jì)參數(shù)，因而在避免主觀因素和簡化算法、減少誤差等方面有著巨大的優(yōu)越性。 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(即DEA)也可以看作是一種統(tǒng)計(jì)分析的新方法，它是根據(jù)一組關(guān)于輸入輸出的觀察值來估計(jì)有效生產(chǎn)前沿面的。在有效性的評價(jià)方面，除了DEA方法以外，還有其它的一些方法，但是那些方法幾乎僅限于單輸出的情況。相比之下，DE

8、A方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。并且，DEA方法不僅可以用線性規(guī)劃來判斷決策單元對應(yīng)的點(diǎn)是否位于有效生產(chǎn)前沿面上，同時(shí)又可獲得許多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用統(tǒng)計(jì)的方法）優(yōu)越，用處也更廣泛。 DEA也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項(xiàng)目評價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)。DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評價(jià) 特別值得指出的是，DEA方法是純技術(shù)性的，與市場（價(jià)格）可以無關(guān)。只需要區(qū)分投入與產(chǎn)出，不需要對指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理，可以直接進(jìn)行技術(shù)效率與規(guī)模效率

9、的分析而無須再定義一個(gè)特殊的函數(shù)形式，而且對樣本數(shù)量的要求不高，這是別的方法所無法比擬的。 近30 年來，已經(jīng)有數(shù)以千計(jì)關(guān)于DEA 的研究論文、工作報(bào)告和博士論文等發(fā)表。某些運(yùn)籌學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要刊物，如：Annals of Operational Research （1985），European Journal ofOperational Research （1992），Journal of Productivity Analysis（1992），Journal of Econometic （1990） 以及Computers and Operations Research 等都出版了DEA

10、研究的特刊。 在國外，DEA方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于銀行、城市、醫(yī)院、學(xué)校及軍事等方面效率的評價(jià)，在對相互之間存在激烈競爭的私營企業(yè)和公司的效率評價(jià)中，也顯示出巨大的優(yōu)越性。在國內(nèi)，經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域的許多方面，DEA方法都得到了重要的應(yīng)用。 DEA方法以相對效率概念為基礎(chǔ)，以凸分析和線形規(guī)劃為工具的一種評價(jià)方法，應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型計(jì)算比較決策單元之間的相對效率，對評價(jià)對象做出評價(jià)，它能充分考慮對于決策單元本身最優(yōu)的投入產(chǎn)出方案，因而能夠更理想地反映評價(jià)對象自身的信息和特點(diǎn)；同時(shí)對于評價(jià)復(fù)雜系統(tǒng)的多投入多產(chǎn)出分析具有獨(dú)到之處。DEA方法的特點(diǎn)方法的特點(diǎn)： （1）適用于多輸出-多輸入的有效性綜合評價(jià)問題，

11、在處理多輸出-多輸入的有效性評價(jià)方面具有絕對優(yōu)勢； （2）DEA方法并不直接對數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合，因此決策單元的最優(yōu)效率指標(biāo)與投入指標(biāo)值及產(chǎn)出指標(biāo)值的量綱選取無關(guān)，應(yīng)用DEA方法建立模型前無須對數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化處理（當(dāng)然也可以）。 （3）無須任何權(quán)重假設(shè)，而以決策單元輸入輸出的實(shí)際數(shù)據(jù)求得最優(yōu)權(quán)重，排除了很多主觀因素，具有很強(qiáng)的客觀性 （4）DEA方法假定每個(gè)輸入都關(guān)聯(lián)到一個(gè)或者多個(gè)輸出，且輸入輸出之間確實(shí)存在某種聯(lián)系，但不必確定這種關(guān)系的顯示表達(dá)式二、 DEA基本原理和模型一、一、DEA模型概述模型概述 對具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時(shí)期的相對效率進(jìn)行評價(jià)，這些部門、企業(yè)或時(shí)期稱為決策

12、單元。評價(jià)的依據(jù)是決策單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。 投入指標(biāo)投入指標(biāo)是指決策單元在經(jīng)濟(jì)和管理活動中需要耗費(fèi)的經(jīng)濟(jì)量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 產(chǎn)出指標(biāo)產(chǎn)出指標(biāo)是指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟(jì)活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。 指標(biāo)數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)據(jù)是指實(shí)際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評價(jià)決策單元的相對效率，即評價(jià)部門、企業(yè)或時(shí)期之間的相對有效性。 DEA方法就是評價(jià)多指標(biāo)投入和多指方法就是評價(jià)多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出決策單元相對有效性的多目標(biāo)決策標(biāo)產(chǎn)出決策單元

13、相對有效性的多目標(biāo)決策方法。方法。 為了說明為了說明DEA模型的建模思路，我們模型的建模思路，我們看下面的例子?？聪旅娴睦印?例：例： 某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評價(jià)這幾個(gè)企業(yè)某公司有甲、乙、丙三個(gè)企業(yè)，為評價(jià)這幾個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值的生產(chǎn)效率，收集到反映其投入（固定資產(chǎn)年凈值x1、流、流動資金動資金x2、職工人數(shù)、職工人數(shù)x3）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值）和產(chǎn)出（總產(chǎn)值y1、利稅總額、利稅總額y2）的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表: 企業(yè)指標(biāo)甲乙丙x1（萬元）41527x2 （萬元）1545x3 （萬元）825y1 （萬元）602224y2 （萬元）1268 由于投入

14、指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加由于投入指標(biāo)和產(chǎn)出指標(biāo)都不止一個(gè)，故通常采用加權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。權(quán)的辦法來綜合投入指標(biāo)值和產(chǎn)出指標(biāo)值。 對于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為對于第一個(gè)企業(yè)，產(chǎn)出綜合值為60u1+12u2,投入綜合值投入綜合值4v1+15v2+8v3，其中其中u1 u2 v1 v2 v3分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系分別為產(chǎn)出與投入的權(quán)重系數(shù)。數(shù)。我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：我們定義第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率為：總產(chǎn)出與總投入的比總產(chǎn)出與總投入的比即即:vvvuuh32121181541260類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率分別為：類似，可知第二、第三個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效

15、率分別為：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213我們限定所有的我們限定所有的hj值不超過值不超過1，即，即 ，這意味著，若，這意味著，若第第k個(gè)企業(yè)個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)是相對有效的，若hk1，那么該企業(yè)相，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)效率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。1maxhj即即因此，建立第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：因此，建立

16、第一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)效率最高的優(yōu)化模型如下：這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要這是一個(gè)分式規(guī)劃，需要將它化為線性規(guī)劃才能求將它化為線性規(guī)劃才能求解。解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh設(shè)設(shè)vvvt32181541vtwutiiii,則此分式規(guī)劃可化為如下的則此分式規(guī)劃可化為如下的線性規(guī)劃線性規(guī)劃1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260. t . s1260hmax321321213212132121211其對偶問題為：其對偶問題為：128

17、612602422608428155415427154. t . sVmin321321321321321Dvvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h321211 總結(jié)：總結(jié)：設(shè)vi為第i個(gè)指標(biāo)xi的權(quán)重，ur為第r個(gè)產(chǎn)出yr指標(biāo)的權(quán)重，則第j個(gè)企業(yè)投入的綜合值為 ，產(chǎn)出的綜合值為 其生產(chǎn)效率定義為: 于是問題實(shí)際上是確定一組最佳的權(quán)變量v1,v2,v3和u1,u2，使第j個(gè)企業(yè)的效率值hj最大。這個(gè)最大的效率評價(jià)值是該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說不可能更高的相對效率評價(jià)值。 xvij3

18、1iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh 我們限定所有的hj值(j=1,2,3)不超過1，即maxhj1。這意味著，若第k個(gè)企業(yè)hk=1，則該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說生產(chǎn)率最高，或者說這一系統(tǒng)是相對而言有效的；若hk1，那么該企業(yè)相對于其他企業(yè)來說，生產(chǎn)率還有待于提高，或者說這一生產(chǎn)系統(tǒng)還不是有效的。 根據(jù)上述分析，可以建立確定任何一個(gè)企業(yè)（如第3 個(gè)企業(yè)即丙企業(yè)）的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下： 3 , 2 , 1i , 0, 2 , 1r , 03 , 2 , 1j , 1. t . sHmaxvuhhirj3輸入型與輸出型的輸入型與輸出型的DEA模型模型 Input-DEA

19、模型：基于投入的技術(shù)效率，即在一定產(chǎn)出下，以最小投入與實(shí)際投入之比來估計(jì)。或者說，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求的最小。 Output-DEA 模型：基于產(chǎn)出的技術(shù)效率，即在一定的投入組合下，以實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出之比來估計(jì)?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。定義： 1 2 3 j n v1 1 x11 x12 x13 x1j x1n v2 2 x21 x22 x23 x2j x2n . . . . . . . vi . . . . . Xij . . . . . . . . vm m xm1 xm2 xm3 xmj xmn y11 y12 y13 y1j y1n 1 u1

20、 y21 y22 y23 y2j y2n 2 u2 . . . . . . . . . . . yrj . . ur . . . . . . . ys1 ys2 ys3 ysj ysn s usm種輸入n個(gè)決策單元（DMU）s種輸出二、 DEA基本原理和模型權(quán)系數(shù)權(quán)系數(shù)各字母定義如下： xij- 第j個(gè)決策單元對第i種類型輸入的投入總量.xij0 yrj- 第j個(gè)決策單元對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量.yrj0 vi - 對第i種類型輸入的一種度量，權(quán)系數(shù) ur - 對第r種類型輸出的一種度量，權(quán)系數(shù) i -1,2,m r -1,2,s j -1,2,n C C2 2R R模型模型 ： 設(shè)有n個(gè)部

21、門(企業(yè))，稱為n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示。這樣，由n個(gè)決策單元構(gòu)成的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評價(jià)系統(tǒng)，可以用下圖表示： V決策單元12knv1x11x12x1kx1n投入v2x21x22x2kx2n vpxp1xp2 xpkxpn 決策單元12kn Uy11y12y1ky1nu1y21y22y2ky2nu2產(chǎn)出yq1yq2 yqkyqnuqxik表示第k個(gè)決策單元第i種 投入指標(biāo)的投入量，xik0； （是已知數(shù)據(jù)） vi表示第i種投入指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， vi0 （是變權(quán)數(shù)） yjk表示第k個(gè)決策單元第j種 產(chǎn)出指標(biāo)的產(chǎn)出量，yjk0； （是已知數(shù)據(jù)

22、） uj表示第k種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)， uj0 （是變權(quán)數(shù)） 對于每一個(gè)決策單元DMUj都有相應(yīng)的效率評價(jià)指數(shù)效率評價(jià)指數(shù)： njxvyuxvyuhmniijisrrjrjTiTj, 2 , 1,11我們可以通過適當(dāng)?shù)娜?quán)系數(shù)我們可以通過適當(dāng)?shù)娜?quán)系數(shù)v和和u，使得hj1, j=1,，n 對第j0個(gè)決策單元進(jìn)行效率評價(jià)，一般說來，hj0越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。 這樣我們?nèi)绻麑UMj0進(jìn)行評價(jià)，看DUMj0在這n個(gè)DMU中相對來說是不是最優(yōu)的，我們可以考察當(dāng)盡可能地變化權(quán)重時(shí)， hj0的最大值究竟是多少。 如以第j0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)，以所有決策單元的

23、效率指數(shù)為約束，就構(gòu)造了如下的CCR（C2R）模型：0, 0, 2 , 1, 1. .max1111vunjxvyutsxvyuhmiijisrrjrmioijisrorjroj 上述規(guī)劃模型是一個(gè)分式規(guī)劃，使用CharnesCooper變化，令： 可變成如下的線性規(guī)劃模型P：tutvwxvtT,101100 xwxvttt由0, 01, 2 , 1, 0. .max00wxwnjyxwtsyhTjTjToTj（P） 利用線性規(guī)劃的最優(yōu)解來定義決策單元j0的有效性，從模型可以看出，該決策單元j0的有效性是相對相對其他所有決策單元而言的。 對于CCR模型可以用規(guī)劃P表達(dá)，而線性規(guī)劃一個(gè)重要的有效

24、理論是對偶理論，通過建立對偶模型更容易從理論和經(jīng)濟(jì)意義上作深入分析 規(guī)劃P的對偶規(guī)劃為規(guī)劃D/：無約束njyyxxtsjnjjjnjjj,2,1,0.min1010（D/） 為了討論和計(jì)算應(yīng)用方便，進(jìn)一步引入松弛變量s和剩余變量s，將上面的不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，可變成：0,0s,2,1,0.min0110snjysyxsxtsjnjjjnjjj無約束，（D）將上述規(guī)劃（D）直接定義為規(guī)劃（P）的對偶規(guī)劃 例：例： 設(shè)有設(shè)有4 4個(gè)決策單元，個(gè)決策單元，2 2個(gè)投入指標(biāo)和個(gè)投入指標(biāo)和1 1個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。寫出評價(jià)第如下圖。寫出評價(jià)第1 1個(gè)決策單

25、元相對效率的個(gè)決策單元相對效率的C C2 2R R模型。模型。 1234決策單元投入113342313211211產(chǎn)出 解：解： （P P）：）： Max V VP P = = 1 1 s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + + 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + 3+ 3 2 2 - 2- 2 1 1 0 0 4 4 1 1 + 2+ 2 2 2 - - 1 1 0 0 1 1 + 3+ 3 2 2 =1=1 1 1, , 2 2, , 1 1 0 0（D D）：）： Min V VD D = = s.t. s.t. 1

26、1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0DEA有效性的定義：我們能夠用 C2R模型判定是否同時(shí)技術(shù)有效技術(shù)有效和規(guī)模有效規(guī)模有效： （1）*1，且s*0，s*-0。則決策單元j0為DEA有效，決策單元的

27、經(jīng)濟(jì)活動同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效 （2）*1，但至少某個(gè)輸入或者輸出大于0，則決策單元j0為弱DEA有效，決策單元的經(jīng)濟(jì)活動不是同時(shí)為技術(shù)效率最佳和規(guī)模最佳 （3） *1，決策單元j0不是DEA有效，經(jīng)濟(jì)活動既不是技術(shù)效率最佳，也不是規(guī)模最佳在評價(jià)決策單元是否為DEA有效時(shí),如果利用原線性規(guī)劃問題njXXYtsYhTjTjTTj,.,2 , 10, 010. .max000需要判斷是否存在最優(yōu)解 ，滿足：00,1, 0, 000000Yhj如果利用對偶線性規(guī)劃0, 0. .min1010SSYSYXSXtsjnjjjnjjj需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足1, 0, 0000SS 無論是對于線性規(guī)

28、劃還是對于對偶規(guī)劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。具有非阿基米德無窮小的具有非阿基米德無窮小的C2R模型模型:1952年，Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計(jì)算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量的C2R模型。令是非阿基米德無窮小量，它是一個(gè)小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。C2R模型的計(jì)算：0,00.)(min010111_ssysyxsxtsvssjnjjjnjjjdrjmj最優(yōu)解為 ， ，

29、，000s0s非阿基米德無窮小量即為，則，都有及注：對于a*N0N0 a。在實(shí)際操作中，只要取在實(shí)際操作中，只要取 足夠小，例如取足夠小，例如取 = 10-6。按照阿基米德公理，“無窮小”只能為零 。文獻(xiàn)：張寶成.含非阿基米德無窮小量DEA模型的研究綜述,系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2010年6月 【例例】設(shè)有設(shè)有4 4個(gè)決策單元，個(gè)決策單元，2 2個(gè)投入指標(biāo)和個(gè)投入指標(biāo)和1 1個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。個(gè)產(chǎn)出指標(biāo)的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖。 判定各個(gè)決策單元是否判定各個(gè)決策單元是否 DEA DEA 有效。有效。 1234決策單元投入113342313211211產(chǎn)出 解：解： 決策單元決策單元1

30、 1所對應(yīng)的線性規(guī)劃（所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1

31、, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，決策單元因此，決策單元1 1為為DEADEA有效。有效。 決策單元決策單元4 4所對應(yīng)的線性規(guī)劃（所對應(yīng)的線性規(guī)劃（D D ），?。?= 10= 10-6-6，為，為（D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0

32、.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = 4= 4 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 2= 2 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)

33、解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/51 1因此，決策單元因此，決策單元4 4不是不是DEADEA有效。有效。 同樣地，經(jīng)過判定，決策單元同樣地，經(jīng)過判定，決策單元2 2，3 3均為均為DEADEA有效。有效。 j使各個(gè)有效點(diǎn)連接起來,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包絡(luò)面。 在實(shí)際運(yùn)用中,對松弛變量的研究是有意義的,因?yàn)樗且环N純的過剩量(s-)或不足量(s+)，則表示DMU離有效前沿面或包絡(luò)

34、面的一種徑向優(yōu)化量或“距離” 設(shè) 其中 , , 是決策單元j0對應(yīng)的線性規(guī)劃（D）的最優(yōu)解,則( , )為DMUj0對應(yīng)的(x0,y0)在DEA的相對有效面上的投影,它是DEA有效的。0000000,rSyryiSxxjrjijji設(shè)0rS0iS00jix0rjyC2R模型中變量的經(jīng)濟(jì)含義:定理3 DEA有效的經(jīng)濟(jì)含義有效的經(jīng)濟(jì)含義 DEA的理論、模型是以微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為其理論基礎(chǔ)。 生產(chǎn)前沿面：生產(chǎn)前沿面：生產(chǎn)前沿面是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡(luò)面的有效部分，這也是稱謂“數(shù)據(jù)包絡(luò)分析”的原因所在。 決策單元為DEA有效，也即相應(yīng)于生產(chǎn)可能集而言，以投入最小、產(chǎn)出最大為目標(biāo)的Pa

35、reto最優(yōu)。因此，生產(chǎn)前沿面即為Pareto面（Pareto最優(yōu)點(diǎn)構(gòu)成的面）。參考文獻(xiàn)：李雙杰參考文獻(xiàn)：李雙杰 ，范，范 超：超：隨機(jī)前沿分析與數(shù)據(jù)隨機(jī)前沿分析與數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法的評析與比較包絡(luò)分析方法的評析與比較，統(tǒng)計(jì)與決策，統(tǒng)計(jì)與決策 2009 年年第第 7 期期 研究DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義是以生產(chǎn)函數(shù) y = 為背景的 “技術(shù)有效技術(shù)有效” ： 若生產(chǎn)狀態(tài)（x, y）滿足 y = ，則稱生產(chǎn)狀態(tài)（x, y）是“技術(shù)有效”的 （ 也即輸出相對輸入而言已達(dá)到最大）。此時(shí)，點(diǎn)（x, y）位于生產(chǎn)函數(shù)的曲面上 “規(guī)模有效規(guī)模有效”：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際報(bào)酬遞減規(guī)律”是指：生產(chǎn)函數(shù)的一階導(dǎo)

36、數(shù)表現(xiàn)為先增后減的規(guī)律（或函數(shù)先為凸，后為凹）。 所謂“規(guī)模有效”，是指投入量x既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增（遞增）到遞減（遞減）之間的一種狀態(tài)（即“規(guī)模收益不變”的最佳狀態(tài)）。)(xf)(xf1Ex 我們現(xiàn)在來研究在模型C2R之下的DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義.檢驗(yàn)決策單元j0的DEA有效性,即考慮線性規(guī)劃問題:njYYXXtsjnjjjnjjj.,2 , 1, 0. .min1010TYX),(00由于 ,即 滿足),(00YXnjjjnjjjYYXX1010 可以看出,線性規(guī)劃是表示在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例減少.如果投入量X0不能按同

37、一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效,或不為規(guī)模有效.1 1 、生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集生產(chǎn)函數(shù)和生產(chǎn)可能集 . (1). (1)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) y=f(x)y=f(x) ：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)：在單投入和單產(chǎn)出的情況下，生產(chǎn)函數(shù)( (一般是增函數(shù)一般是增函數(shù)) )表示理想的生產(chǎn)表示理想的生產(chǎn) 狀態(tài)，即投入狀態(tài)，即投入x x所能獲得的最大產(chǎn)出所能獲得的最大產(chǎn)出y y。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲線上的點(diǎn)。因此，生產(chǎn)函數(shù)曲

38、線上的點(diǎn)(x,y)(x,y)所對應(yīng)的決策單元，所對應(yīng)的決策單元， 從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于技術(shù)有效技術(shù)有效狀態(tài)狀態(tài). .生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，生產(chǎn)函數(shù)圖形如下圖，A A、C C處于技術(shù)有效狀態(tài)。處于技術(shù)有效狀態(tài)。 點(diǎn)點(diǎn)A A將曲線分為兩部分，在點(diǎn)將曲線分為兩部分，在點(diǎn)A A之左，之左，y y0 0，y y0 0，曲線在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間，曲線在生產(chǎn)函數(shù)的下凸區(qū)間， 表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時(shí)稱為表示增加投入量可以使產(chǎn)出量的遞增速度增加，此時(shí)稱為規(guī)模收益規(guī)模收益遞增，廠商有投資的積極性；遞增，廠商有投資的積極性； 在點(diǎn)在點(diǎn)A A之右，之右，y y0

39、0，y y0 0，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減，曲線是上凸的，在此區(qū)間，增加投入量只能使產(chǎn)出量增加的速度減 小，此時(shí)稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。小，此時(shí)稱為規(guī)模收益遞減，廠商己經(jīng)沒有增加投資的積極性。 點(diǎn)點(diǎn)A A是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，是生產(chǎn)函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)A A所對應(yīng)的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。所對應(yīng)的決策單元，既是技術(shù)有效，也是規(guī)模有效。 這是因?yàn)樵摏Q策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。這是因?yàn)樵摏Q策單元減少投入量或增加投入量，都不是最佳生產(chǎn)規(guī)模。 點(diǎn)點(diǎn)C C在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應(yīng)的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有

40、效。在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，對應(yīng)的決策單元技術(shù)有效，但不是規(guī)模有效。 這是由于點(diǎn)這是由于點(diǎn)C C位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。位于規(guī)模收益遞減區(qū)間。 點(diǎn)點(diǎn)B B不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點(diǎn)不在生產(chǎn)函數(shù)曲線之上，并位于規(guī)模收益遞減區(qū)域，點(diǎn)B B所對應(yīng)的決策單元既不是技術(shù)所對應(yīng)的決策單元既不是技術(shù) 有效，也不是規(guī)模有效。有效，也不是規(guī)模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 考慮投入量為 ，產(chǎn)出量為 的某種生產(chǎn)活動。我們的目的是根據(jù)所觀察到的生產(chǎn)活動（xj,yj),j=1,2,n,去描述生產(chǎn)可能集，特別是根據(jù)這些觀察數(shù)據(jù)去確定哪些生產(chǎn)活動是相對有效的。TmxxxX

41、),.,(21TsyyyY),.,(21(2)生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集 所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作所有可能的生產(chǎn)活動構(gòu)成的集合，記作 T=(X,Y)|產(chǎn)出產(chǎn)出Y可由投入可由投入X生產(chǎn)出來生產(chǎn)出來，因此，生產(chǎn)可能集可確定為：njnjjjjjjYyXxYXT110,|),(有效性定義：有效性定義：對任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到對任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到100%的效率是的效率是指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，指：在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時(shí)降低其他種類的輸出；要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任除非同時(shí)降低其他種類的輸出；要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加

42、其他種類的輸入。何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。一個(gè)決策單元達(dá)到了一個(gè)決策單元達(dá)到了100%的效率，該決策單元就是有效的的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。，也就是有效的決策單元。無效性定義無效性定義：（1）對任意（X，Y）T，并且 ，均有（2）對任意（ X，Y）T，并且 ，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。XX YY TYX),(TYX),( 由于由于(X(Xk k,Y,Yk k) )是決策單元是決策單元k k的生產(chǎn)活動，于是有的生產(chǎn)活動，于是有(X(Xk k,Y,Yk k) ) T T，k=1,2,k=1,2,n,n 在在C C2

43、2R R模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理：模型中，生產(chǎn)可能集應(yīng)該滿足下面的四條公理： 公理公理1 (1 (凸性凸性) ) 對于任意對于任意(X(X1 1,Y,Y1 1) ) T T、(X(X2 2,Y,Y2 2) ) T T，以及任意，以及任意0,10,1，均有，均有 (X(X1 1,Y,Y1 1)+(1-)+(1- ) )(X(X2 2,Y,Y2 2)=()=( X X1 1+(1-+(1- ) )X X2 2 ， Y Y1 1+(1-+(1- ) )Y Y2 2 ) ) T T 即是說即是說, ,如果如果 X X1 1,X,X2 2 分別以分別以 ,1-,1- 加權(quán)和作為投入量，則

44、加權(quán)和作為投入量，則 Y Y1 1,Y,Y2 2以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。以同樣的加權(quán)和作為產(chǎn)出量。 公理公理2 (2 (錐性錐性) ) 對于任意對于任意(X,Y)(X,Y) T T，以及任意數(shù)，以及任意數(shù) 0，均有，均有 (X,Y)=(X,Y)=( X,X, Y)Y) T T 即是說，如果以即是說，如果以 X X 的的 倍作為投入量，則產(chǎn)出量是倍作為投入量，則產(chǎn)出量是 Y Y 的同樣倍數(shù)。的同樣倍數(shù)。 公理公理3 (3 (無效性無效性) ) 對于任意對于任意(X,Y)(X,Y) T T， 若若 X XXX，則均有，則均有(X(X,Y),Y) T T； 若若 Y YYY，則均有，則均有(X,Y

45、(X,Y) ) T T。 即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。即是說，在原生產(chǎn)活動中，單方面地增加投入量或者減少產(chǎn)出量，生產(chǎn)活動總是可能的。 公理公理4 (4 (最小性最小性) ) 生產(chǎn)可能集生產(chǎn)可能集 T T 是滿足公理是滿足公理1 13 3的所有集合的交集。的所有集合的交集。 由由 n n 個(gè)決策單元個(gè)決策單元(X(Xk k,Y,Yk k) )的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理的生產(chǎn)活動所描述的生產(chǎn)可能集，滿足公理1 14 4是唯一確定的。是唯一確定的。 這個(gè)生產(chǎn)可能集可以表示為：這個(gè)生產(chǎn)可能集可以表示為： , 2 , 1, 0,| ),(11

46、nkYYXXYXTknkkknkkk 【例例4 4】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出3 3個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)，其數(shù)據(jù)如下圖：1231245213.51 則其生產(chǎn)可能集為則其生產(chǎn)可能集為 0,5 . 32,542| ),(321321321 YXYXT (3) (3)模型模型C C2 2R R下下DEADEA有效性的經(jīng)濟(jì)意義有效性的經(jīng)濟(jì)意義 )(:)( seseVMinDTTD 0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk :)(DVMinD0n1.XXtskkk nkk,2, 1,0 01YYknkk 由于由于(X(X0

47、0,Y,Y0 0) ) T T，即，即(X(X0 0,Y,Y0 0) )滿足條件：滿足條件： 0101,YYXXnkkknkkk 線性規(guī)劃模型（線性規(guī)劃模型（D D）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當(dāng)產(chǎn)出）表示在生產(chǎn)可能集內(nèi)，當(dāng)產(chǎn)出Y Y0 0保持不變的情況下，保持不變的情況下，盡量將投入量盡量將投入量X X0 0按同一比例減少。按同一比例減少。 如果投入量如果投入量X X0 0不能按同一比例不能按同一比例減少，即模型（減少，即模型（D D）的最優(yōu)值）的最優(yōu)值V VD D = = 0 0 =1=1，決策單元，決策單元k k0 0同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效；同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效； 如果投入量如果投入量X X0

48、 0能按同一比例能按同一比例 減少，模型（減少，模型（D D）最優(yōu)值）最優(yōu)值V VD D = = 0 0 1 1， 決策單元決策單元k k0 0不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。不是技術(shù)有效或規(guī)模有效。 其中：smTEeEe)1,.,1 ,1()1,.,1 ,1( 設(shè)模型（設(shè)模型（D D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 ，分三種情況進(jìn)一步討論：，分三種情況進(jìn)一步討論： 0 0 = 1 = 1，且，且 s s0- 0- = 0= 0、s s0+ 0+ = 0 = 0 ：決策單元：決策單元k k0 0為為DEA有效有效。 其其經(jīng)濟(jì)意義經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元是：決策單

49、元k k0 0的生產(chǎn)活動的生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。 所謂所謂技術(shù)有效技術(shù)有效，是指對于生產(chǎn)活動，是指對于生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用， 投入要素達(dá)到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價(jià)指標(biāo)投入要素達(dá)到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評價(jià)指標(biāo) h h0 0=V=Vp p=V=VD D= = 0 0 = 1 = 1 。 0 0 = 1 = 1，但至少有某個(gè)，但至少有某個(gè) s si i0- 0- 0 0 或者至少有某個(gè)或者至少有某個(gè) s

50、sj j0+ 0+ 0 0：決策單元：決策單元k k0 0為為弱弱DEA有效有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k k0 0 不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。 若某個(gè)若某個(gè)s si i0- 0- 0 0，表示第，表示第 i i 種投入指標(biāo)有種投入指標(biāo)有 s si i0- 0- 沒有充分利用；沒有充分利用； 若某個(gè)若某個(gè)s sj j0+ 0+ 0 0，表示第，表示第 j j 種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有 s sj j0+ 0+ 的不足。的不足。 0 0 1 1：決策單元：決策單元k k0 0不是不是DEA有效。有效。 其經(jīng)

51、濟(jì)意義是：決策單元其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k k0 0 的生產(chǎn)活動的生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )既不是技術(shù)效率最佳既不是技術(shù)效率最佳, ,也不是規(guī)模收益最佳。也不是規(guī)模收益最佳。 例如，例如， = 0.9= 0.91 1，模型（，模型（D D ）的約束條件為）的約束條件為 ,9 . 0000n1XSXkkk 001YSYknkk 這表示：得到產(chǎn)出量這表示：得到產(chǎn)出量Y Y0 0，至多只需投入量，至多只需投入量0.9X0.9X0 0，即生產(chǎn)活動，即生產(chǎn)活動(X(X0 0,Y,Y0 0) )的投入規(guī)模過大，故不是同的投入規(guī)模過大，故不是同時(shí)為技術(shù)效率最佳和規(guī)模收益最佳。時(shí)為技術(shù)效率最

52、佳和規(guī)模收益最佳。 【例例5 5】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出3 3個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)( (數(shù)據(jù)如下數(shù)據(jù)如下) )，討論各決策單元的，討論各決策單元的DEADEA有效性。有效性。 1231245213.51 解：解： 決策單元決策單元 1 1 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?，取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1

53、 = 2= 2 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 2= 2 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1,0,0)=(1,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1 因此，決策單元因此，決策單元 1 1 同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(2(2，2)2)在圖中對應(yīng)點(diǎn)在圖中對應(yīng)點(diǎn)A A，表示同時(shí)取得最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。，表示同時(shí)取得

54、最佳技術(shù)效率和最佳規(guī)模收益。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 決策單元決策單元 2 2 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 4= 4 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,

55、s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(1/2,0,0)=(1/2,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1/4=1/41 1 因此，決策單元因此，決策單元 2 2 不是不是DEA有效。有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(4(4，1)1)在圖中對應(yīng)點(diǎn)在圖中對應(yīng)點(diǎn)B B，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。，既非技術(shù)有效，也非規(guī)模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 決策單元決策單元 3 3 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），取），取 = 10

56、= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 5= 5 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 3.5= 3.5 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(7/4,0,0)=(7/4,0,0)T T，S S1

57、10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=7/10=7/101 1 因此，決策單元因此，決策單元 3 3 不是不是DEA有效。有效。 生產(chǎn)活動生產(chǎn)活動(5(5，3.5)3.5)在圖中對應(yīng)點(diǎn)在圖中對應(yīng)點(diǎn)C C，該點(diǎn)在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。，該點(diǎn)在生產(chǎn)函數(shù)曲線上，僅是技術(shù)有效而不是規(guī)模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) (4) (4)生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定生產(chǎn)活動規(guī)模收益的判定 )(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 定理定理: : 設(shè)線性規(guī)

58、劃（設(shè)線性規(guī)劃（D D ）的最優(yōu)解為）的最優(yōu)解為 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 若若 ,11100 nkk 則決策單元?jiǎng)t決策單元 k k0 0 規(guī)模收益不變；規(guī)模收益不變； 若若 ,11100 nkk 則決策單元?jiǎng)t決策單元 k k0 0 規(guī)模收益遞增；規(guī)模收益遞增； 若若 ,11100 nkk 則決策單元?jiǎng)t決策單元 k k0 0 規(guī)模收益遞減。規(guī)模收益遞減。 【例例6 6】設(shè)有單投入單產(chǎn)出設(shè)有單投入單產(chǎn)出5 5個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)個(gè)決策單元的評價(jià)系統(tǒng)( (數(shù)據(jù)如下圖數(shù)據(jù)如下圖) )。試討論決策單元。試討論決策單元1 1、2 2、5 5 的規(guī)模收益問題。的規(guī)模收益問題。 12

59、345135426 解：解： 決策單元決策單元 1 1 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，為，為 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 3= 3 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 2= 2 1 1, , 2 2 ,

60、 , 3 3, , 4 4 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用單純形法求解，得到最優(yōu)解利用單純形法求解，得到最優(yōu)解 0 0=(0,1/2,0,0,0)=(0,1/2,0,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=5/6=5/61 1 因此，決策單元因此，決策單元 1 1 非非DEA有效。有效。 24114.5 1 由于由于 ,1531100 nkk 所以決策單元所以決策單元 1 1 規(guī)模收益遞增。規(guī)模收益遞增。 決策單元決策單元 2 2 的線性規(guī)劃模型（的線性規(guī)劃模型（D D ），?。?= 10= 1