凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用論文

1、-凸函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用 摘 要 本文首先給出了凸函數(shù)的幾種定義，然后給出了凸函數(shù)的幾種重要性質(zhì)，最后舉例說明了凸函數(shù)在微分學(xué)、積分學(xué)、及在證明不等式中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 凸函數(shù)的積分性質(zhì);凸函數(shù)的不等式 Abstract In this article，first we list several kind of definitionsfor conve* functions，then we give several important properties of conve* functions ; finally we discuss the application of conve* funct

2、ions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality. Keywords integral properties of conve* functions ; inequality of conve* functions 凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù),廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、黎曼幾何、復(fù)分析等領(lǐng)域.本文先給出凸函數(shù)的幾種等價定義,然后列出重要的相關(guān)性質(zhì),最后給出在微分學(xué)、積分學(xué)、以及在證明不等式中應(yīng)用.1 凸函數(shù)的定義及其相互關(guān)系定義1 設(shè)在區(qū)間I上有定義,在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng):,有

3、上式中“改成“<則是嚴(yán)格凸函數(shù)的定義.定義2 設(shè)在區(qū)間I上有定義,在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng):有定義3 設(shè)在區(qū)間I上有定義,在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)：,有定義4 在區(qū)間I上有定義,當(dāng)且僅當(dāng)曲線的切線恒保持在曲線以下,則成為凸函數(shù).假設(shè)除切點(diǎn)之外,切線嚴(yán)格保持在曲線下方,則稱曲線為嚴(yán)格凸的.引理1 定義2與定義3等價. 引理2 假設(shè)連續(xù),則定義1，2，3等價.2 凸函數(shù)的性質(zhì) 定理1 設(shè)在區(qū)間I上有定義,則以下條件等價其中各不等式要求對任意, 保持成立：i在I上為凸函數(shù) 1 ii 2(iii) 3(iv) 4推論1假設(shè)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則I上任意三點(diǎn)，有.推論2 假設(shè)在區(qū)間I上的凸

4、函數(shù)，則過的弦的斜率是*的增函數(shù)假設(shè)為嚴(yán)格凸的,則嚴(yán)格增.推論3 假設(shè)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則I上任意四點(diǎn)s<t<u<v有.推論4假設(shè)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對I上的任一點(diǎn)*,單側(cè)導(dǎo)數(shù)皆存在，皆為增函數(shù)，且這里表示的全體點(diǎn)組成之集合.假設(shè)為嚴(yán)格凸的，則與為嚴(yán)格遞增的.證明 因?yàn)辄c(diǎn),故使得,從而利用推論2,.再由推論2所述,當(dāng)遞增時,也遞增.故由單調(diào)有界原理知,如下極限存在且(*)=.同理,在此式中，令時,可知存在,且.最后由推論3中的不等式重新取相應(yīng)的極限,可知與皆為增函數(shù).推論5 假設(shè)在區(qū)間I上為凸的，則在任一點(diǎn)上連續(xù).事實(shí)上由推論4知與存在，所以在處左右都連續(xù).定理2 設(shè)函數(shù)

5、在區(qū)間上有定義，則為凸函數(shù)的充要條件是：，使得,有.證明必要性因?yàn)橥购瘮?shù)，由上面的推論4知，存在且. 由此任取一則時有.因,所以對任一:恒有. (充分性)設(shè)是區(qū)間I上的任意三點(diǎn)，由條件,由此令和，可以得到,由定理1可知為凸的. 定理3 設(shè)在區(qū)間I上有導(dǎo)數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是遞增. 證明 充分性,不妨設(shè)及記，則,或 (1)由于 (1)式等價于 (2)應(yīng)用定理，使得，但,.故2式左端=按條件遞增，得知,從而上式0,(2)式獲證.必要性由定理1的推論4,在為遞增的，因存在，故亦在為遞增的，假設(shè)I有右端點(diǎn)b,按照條件f在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)，易知: 同理，假設(shè)I有左端點(diǎn)a,則即在I上為遞增的.推論

6、假設(shè)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是：定理4 不等式假設(shè)為上的凸函數(shù)，則 ,，有.證明 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時，由定義1命題顯然成立.設(shè)時命題成立,即對任何與都有現(xiàn)設(shè)及i=1,2,k+1,.令i=1,2,k,則.由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得= = 即對任何正整數(shù),上述不等式成立.推論 設(shè)在區(qū)間I上是凸函數(shù),則對于任意的和都有. 3 凸函數(shù)的應(yīng)用3.1在微分學(xué)中的應(yīng)用 我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和性質(zhì).例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，試證：在I上的任一閉子區(qū)間上有界.證明 設(shè)為任一閉子區(qū)間:證明在上有上界取.因?yàn)橥购瘮?shù),所以 其中. 故在上有上界；證明在上有下界記為的中點(diǎn)，

7、則，有關(guān)于的對稱點(diǎn)，因?yàn)橥购瘮?shù)，所以 , 從而 ， 即為在上的下界.例2 設(shè)為區(qū)間的凸函數(shù)，試證：在I上的任一閉區(qū)間上滿足條件.證明 要證明在區(qū)間上滿足條件，即要證明：使得有 (1)因?yàn)?，故可取充分小，使得與此假設(shè)取.由凸性，其中分別表示在上的上下界,從而 (2)假設(shè) 可取由的凸性，有， 從而 由此可得(2)式成立.假設(shè)，則2式明顯成立.這就證明了2式對一切皆成立.因此2式當(dāng)與互換位置也成立，故有，令則1式也獲證.例3 設(shè)為區(qū)間的凸函數(shù),并且有界,試證極限與存在.證明 設(shè)時為任意三點(diǎn)，根據(jù)的凸性,當(dāng)*遞增時也遞增.又因?yàn)?根據(jù)單調(diào)有界原理,有極限 , 從而 亦存在.3.2凸函數(shù)的積分性質(zhì)將凸性

8、與函數(shù)的連續(xù)性甚至單側(cè)連續(xù)性、單調(diào)性等聯(lián)系起來,應(yīng)用到積分學(xué)中可以得到許多好的結(jié)論,我們舉例如下: 例4 設(shè)為區(qū)間上連續(xù)的凸函數(shù).試證:，有.證明 令 則, (1) 同理，令，亦有 從而, (2) 注意與關(guān)于中點(diǎn)對稱.由于是凸函數(shù),故由2式得 . 另外,由1式,應(yīng)用的凸性.例5 設(shè)是上的凸函數(shù),求證： 1為上的凸函數(shù). 證明為上的凸函數(shù),因此它在連續(xù),在上有界.由此知積分(1)有意義. ,令 時 2恒有 因(2) = 因的凸性 所以是上的凸函數(shù). 例6 設(shè)函數(shù)在上遞增,試證 函數(shù)為凸函數(shù).證明 因 遞增,積分有意義.且 故由定理1知為凸函數(shù).例7 設(shè)為上的凸函數(shù),證明 有 1證明 因?yàn)橥购瘮?shù),

9、 由定理1推論4，存在且遞增當(dāng).故(1)中的積分有意義.對任作一分劃 有 參看定理2，我們有 于是由.(1)式知 . 將分劃無限分細(xì),令 同理有 3.3利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式利用凸函數(shù)證明不等式已經(jīng)有了許多結(jié)果,我們所做的就是由定理4證明了不等式，并且利用不等式證明了幾個復(fù)雜的不等式.例8設(shè) 證明 證明 由于函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)，即定理4 有 由于不可能同時相等，從而有 例9 設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù)，對于則證 明 由于,則由定理1中4式，有 即令,對上式兩邊求和，有 即例 10設(shè)及則有不等式成立： 當(dāng)且僅當(dāng)與成正比例時等號成立.證明 取=，因?yàn)?，所以在上為凸函?shù),由定理4得

10、: 即 ， 亦即令則有，于是有令，則有當(dāng)與成正比例時，即 (為正常數(shù)，)當(dāng)與不成正比例時，不全相等，又因?yàn)樵跒閲?yán)格凸函數(shù)，故嚴(yán)格不等式成立.例11設(shè)和是兩組正數(shù)，.證明 . 證明 要證原不等式即要證明. 令,則由于，所以為凹函數(shù)，由不等式 即得所證.例12證明：.證明 設(shè)，則由于用不等式 所以 由于不等式中等號成立的條件是均為常數(shù),而，這實(shí)際上是不可能的，所以上式中的等號不成立. 例13 證明不等式，其中均為正數(shù).證 明 設(shè),由可見在時為嚴(yán)格凸函數(shù).由不等式有,從而.即又因 , 所以 .例14應(yīng)用不等式證明：設(shè)，有證明 取函數(shù),.因?yàn)槭菂^(qū)間上嚴(yán)格凹函數(shù)，則對及1.，則上式等號成立 ; 2.假設(shè)不全相等，則由不等式即即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,綜合結(jié)論得，命題成立.參考文獻(xiàn)1裘兆泰等.?數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)?,科學(xué),2004年.2*利治等.?大學(xué)數(shù)學(xué)解題法詮釋?第一版,教育，1999年3*利治等. ?