汽車振動分析第二章1單自由度系統(tǒng)振動-無阻尼自由振動

1、汽車振動分析汽車振動分析授課對象：本科生授課對象：本科生 學科專業(yè)：車輛工程學科專業(yè)：車輛工程授授 課：黃雪濤課：黃雪濤 電話：電話堂內容課堂內容2 單自由度無阻尼自由振動單自由度無阻尼自由振動1 單自由度振動系統(tǒng)單自由度振動系統(tǒng)3 單自由度有阻尼自由振動單自由度有阻尼自由振動1.1.單自由度振動系統(tǒng)概念單自由度振動系統(tǒng)概念單自由度振動系統(tǒng)：單自由度振動系統(tǒng)：在振動過程中，振系的任一瞬間形態(tài)由在振動過程中，振系的任一瞬間形態(tài)由一個獨立坐標即可確定的系統(tǒng)。一個獨立坐標即可確定的系統(tǒng)。振動系統(tǒng)四要素：振動系統(tǒng)四要素：質量、彈性質量、彈性、阻尼及激勵。、阻尼及激勵。幾個典型

2、的單自由度振動系統(tǒng)幾個典型的單自由度振動系統(tǒng)自由振動也包括兩類自由振動也包括兩類：有阻尼有阻尼和和無阻尼。無阻尼。8 為位移，質量塊的靜平衡位置為坐標原為位移，質量塊的靜平衡位置為坐標原點，點， 為彈簧靜變形為彈簧靜變形質量塊受力：重力質量塊受力：重力 彈簧力彈簧力)(xk系統(tǒng)受到初始擾動，根據牛頓第二定律：系統(tǒng)受到初始擾動，根據牛頓第二定律：在靜平衡位置：在靜平衡位置：振動微分方程：振動微分方程：0mxkxmgk()mxmgkxxmg2. 無阻尼自由振動無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的微分方程是一個二單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動的微分方程是一個二階常系數齊次線性微分方程。階常系數齊次

3、線性微分方程。常系數常系數：系統(tǒng)的質量、剛度是與時間無關的常數：系統(tǒng)的質量、剛度是與時間無關的常數齊次齊次：自由振動的激勵為零，振動是由初始條件引：自由振動的激勵為零，振動是由初始條件引 起的。起的。固有振動或自由振動微分方程固有振動或自由振動微分方程0mxkx求解方程求解方程令令nkm方程可寫為方程可寫為20nxx方程通解：方程通解：12cossinnnxctct單位：弧度單位：弧度/秒（秒（rad/s）其中其中 為任意常數。也可把通解寫為為任意常數。也可把通解寫為12cc、sin()nxAt這里這里 為任意常數。它們與為任意常數。它們與 的關系為的關系為A、12cc、2212Acc112c

4、tgc只取決于系統(tǒng)的剛度、質量的比值，與外界激勵只取決于系統(tǒng)的剛度、質量的比值，與外界激勵（初始位移和初始速度）無關，與系統(tǒng)是否振動（初始位移和初始速度）無關，與系統(tǒng)是否振動以及振動方式無關。以及振動方式無關。固有頻率：固有頻率：振幅和初相位：振幅和初相位：不是系統(tǒng)固有屬性，與系統(tǒng)受到的外界激勵以及不是系統(tǒng)固有屬性，與系統(tǒng)受到的外界激勵以及振動初始時刻的狀態(tài)有關。振動初始時刻的狀態(tài)有關。122nnkfm2212Acc112ctgc零時刻的初始條件為：零時刻的初始條件為：零初始條件的自由振動為：零初始條件的自由振動為：0(0)xx0(0)xx00cossinsin()nnnnxxxttAt220

5、0nxAx100nxtgx無阻尼的質量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自無阻尼的質量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動以由振動以 固有頻率為振動頻率做簡諧運動，固有頻率為振動頻率做簡諧運動，永永無休止無休止。說明：初始條件是指外界能量轉入的一種方式，說明：初始條件是指外界能量轉入的一種方式，有初始位移即轉入了有初始位移即轉入了彈性勢能彈性勢能，有初始速度即轉有初始速度即轉入了入了動能。動能。求解步驟總結求解步驟總結1020sincosctct( )x t12cossinnnxctct( )x t固有頻率的計算固有頻率的計算16在靜平衡位置：在靜平衡位置：則有：則有：對于不易得到對于不易得到m和和k的

6、系統(tǒng)，若能測出彈的系統(tǒng)，若能測出彈簧變形，可利用該式計算。簧變形，可利用該式計算。nkmmgknkgm提升機系統(tǒng)振動提升機系統(tǒng)振動重物重量：重物重量：鋼絲繩的彈簧剛度：鋼絲繩的彈簧剛度：重物以重物以的初速度下降。的初速度下降。求：求：繩的上端突然被卡住時繩的上端突然被卡住時：（：（1）物體的振動頻）物體的振動頻率；（率；（2）鋼絲繩中的最大張力。）鋼絲繩中的最大張力。18解：解：振動頻率：振動頻率：重物勻速下降時處于平衡位置，重物勻速下降時處于平衡位置，取卡住瞬時重物位置為坐標原取卡住瞬時重物位置為坐標原點，則點，則t=0時時振動解：振動解：19動張力為靜張力的一半。動張力為靜張力的一半。鋼絲

7、繩中的最大張力，等于靜張力與因振動引起的動張鋼絲繩中的最大張力，等于靜張力與因振動引起的動張力之和：力之和：故：減少振動引起的動張力，必須降低升降系統(tǒng)的故：減少振動引起的動張力，必須降低升降系統(tǒng)的剛度剛度00.20.40.60.81-1.5-1-0.500.511.5時 間 t(s)位移X(cm)v 由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動由上例可看出，除了選擇了坐標不同之外，角振動與直線振動的數學描述是完全相同的。如果在彈簧質量系統(tǒng)中將的數學描述是完全相同的。如果在彈簧質量系統(tǒng)中將m、k 稱稱為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量系統(tǒng)的有關結論完全適用為廣義質量及廣義剛度，則彈簧質量

8、系統(tǒng)的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統(tǒng)是廣義的于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質量系統(tǒng)是廣義的3.能量法能量法v對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系對于不計阻尼即認為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動的微建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。v無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機械能守恒，即動能T和勢能和勢能V之和保持不變，即之和保持不變，即當系統(tǒng)在平衡位置時，當系統(tǒng)在平衡位置時，x=0,速度為最大，勢能為零，速度為最大，勢能為零

9、，動能具有最大值動能具有最大值Tmax；當系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而當系統(tǒng)在最大偏離位置時，速度為零，動能為零，而勢能具有最大值勢能具有最大值Vmax。由于系統(tǒng)的機械能守恒由于系統(tǒng)的機械能守恒 maxmaxVT4.等效質量和等效剛度等效質量和等效剛度等效剛度等效剛度v剛度的定義剛度的定義v組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度v能量法確定等效剛度能量法確定等效剛度 剛度的定義剛度的定義 使系統(tǒng)的某點沿指定方向產生單位位移（線位移或角位使系統(tǒng)的某點沿指定方向產生單位位移（線位移或角位移）時，在該點移）時，在該點同一方向上同一方向上所要施加的力（力矩），稱為系所要施加的力（

10、力矩），稱為系統(tǒng)在該點沿指定方向的剛度。統(tǒng)在該點沿指定方向的剛度。組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度組合彈簧系統(tǒng)的等效剛度v串聯彈簧的等效剛度串聯彈簧的等效剛度v并聯彈簧的等效剛度并聯彈簧的等效剛度使系統(tǒng)在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，使系統(tǒng)在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度使系統(tǒng)在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，使系統(tǒng)在選定的坐標上產生單位位移而需要在此坐標方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度叫做系統(tǒng)在這個坐標上的等效剛度例題：例題： 如圖振系，求如圖振系，求C C點處的等效剛度。點處的等效剛度。 等效質量等效質量依據：實際系統(tǒng)要轉化的質量的動能與等效依據：實際系統(tǒng)要轉化的質量的動能與等效質量動能相等質量動能相等例題：例題： 如圖振系，已知：質量塊如圖振系，已知：質量塊m,m,彈簧單位長質量彈簧單位長質量 彈彈簧長度簧長度 求等效質量。求等效質量。 阻尼的概念阻尼的概念概念：在振動中的阻力統(tǒng)稱為阻尼。工程上常常利用各種阻概念：在振動中的阻力統(tǒng)稱為阻尼。工程上常常利用各種阻尼來控制振動。尼來控制振動。 粘性阻尼：線性阻尼，與速度成正比。粘性阻尼：線性阻尼，與速度