數值分析Euler方法

1、1第二節(jié)第二節(jié) EulerEuler方法方法2 2009, Henan Polytechnic University25.2.1.5.2.1.Euler方法方法設節(jié)點為設節(jié)點為xk=x0+kh ( (h=(b-a)/n k=0,1,n) ) 方法一方法一 泰勒展開法泰勒展開法 （將（將y(xk+1)在在xk泰勒展開得泰勒展開得）2111)(2)()()()(kkkkkkkxxyxxxyxyxy 2)()(,()(2 yhxyxhfxykkk nkxyxhfxyxykkkk.2 , 1 , 0)(,()()(1 則可得：則可得：3 2009, Henan Polytechnic Universi

2、ty3 方法二方法二 數值微分法（數值微分法（用向前差商近似導數用向前差商近似導數）)(,()(kkkkxyxfxyx 處有處有在點在點利利用用數數值值微微分分公公式式hxyxyxykkk)()()(1 )(,()()(1kkkkxyxhfxyxy 得：得：4 2009, Henan Polytechnic University4方法三方法三 數值積分法數值積分法 dxxyxfxyxykkxxkk 1)(,()()(1在積分可得：在積分可得：兩端同時兩端同時由由,),(,()(1 kkxxxyxfxy)(,()(,()(1kkkkkkxyxhfxyxfxx )(,()()(1kkkkxyxhf

3、xyxy 即：即：5 2009, Henan Polytechnic University5，則則可可得得：近近似似結結果果為為代代入入上上式式右右端端，記記所所得得的的近近似似值值用用1)( kkkyyxy1.2 , 1 , 0),(1 nkyxhfyykkkk歐歐拉拉格格式式。此此即即為為歐歐拉拉公公式式，又又稱稱依上述公式逐次計算可得：依上述公式逐次計算可得：nyyy,21也稱也稱Euler為單步法，為單步法，又稱為又稱為顯格式的單步法顯格式的單步法。)(,()()(1kkkkxyxhfxyxy 6 2009, Henan Polytechnic University6 2 2 歐拉法的

4、幾何意義：歐拉法的幾何意義：)(),()(,(000000 xxkyyyxxyx 作切線作切線過過210 xxx),()(,()(00000yxfxyxfxyk 斜率斜率求交點，求交點，與與10000)(,(xxxxyxfyy ，縱坐標記為縱坐標記為1y),(0001yxhfyy 則則為斜率作直線，為斜率作直線，以以過過),(),(1111yxfyx)(,(1111xxyxfyy ，求求交交點點，縱縱坐坐標標記記為為與與22yxx ),(1112yxhfyy 則則.),(11yx),(22yx也稱也稱歐拉折線法歐拉折線法. .從上述幾何意義上得知，由從上述幾何意義上得知，由EulerEuler

5、法所得的折線法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。非常粗糙。7 2009, Henan Polytechnic University73.3.歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：定義定義在假設在假設 yi = y(xi)，即第，即第 i 步計算是精確的前步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差提下，考慮的截斷誤差 Ri = y(xi+1) yi+1 稱為局部稱為局部截斷誤差截斷誤差定義定義若某算法的局部截斷誤差為若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該，則稱該算法有算法有p 階精度。階精度。8 2009, Henan Polytechnic

6、 University8 歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：11)( iiiyxyR)()(232hOxyhi 歐拉法具有歐拉法具有 1 1 階精度。階精度。),()()(2)()(32iiiiiiyxhfyhOxyhxyhxy 9 2009, Henan Polytechnic University95.2.2 后退的后退的 歐拉公式歐拉公式（隱式歐拉公式）（隱式歐拉公式）向后差商近似導數向后差商近似導數hxyxyxykkk)()()(11 1.2 , 1 , 0 nk)(,()()(111 kkkkxyxhfxyxy),(111 kkkkyxhfyy由于未知數由于未知數 yn+1

7、 同時出現在等式的兩邊，故稱為同時出現在等式的兩邊，故稱為隱隱式式 歐拉公式，而前者稱為歐拉公式，而前者稱為顯式顯式 歐拉公式。隱式公歐拉公式。隱式公式不能直接求解，一般需要用式不能直接求解，一般需要用Euler顯式公式得到顯式公式得到初值，然后用初值，然后用Euler隱式公式迭代求解。因此隱式隱式公式迭代求解。因此隱式公式較顯式公式計算復雜，但穩(wěn)定性好。公式較顯式公式計算復雜，但穩(wěn)定性好。10 2009, Henan Polytechnic University1001(1)( )111(,)(,)nnnnkknnnnyyh f xyyyh f xy(1)()1111111()(0 )111

8、1(1)11111()1(,)(,) 1, ()(,)kknnnnnnkknnnnknnnnnnknyyh fxyfxyhL yyhLyyhLyykyyh fxyy 在 迭 代 公 式 中 取 極 限 ， 有因 此的 極 限 就 是 隱 式 方 程 的 解11 2009, Henan Polytechnic University11幾何意義幾何意義：向后差商近似導數向后差商近似導數hxyxyxy)()()(011 x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy 12 2009, Henan Polytechnic University12 見上圖，見上圖， 顯然，這種近似也有一定誤差，顯然，這

9、種近似也有一定誤差，如何估計這種誤差如何估計這種誤差y(xn+1) yn+1 ？方法同上，基于方法同上，基于Taylor展開估計局部截斷誤差。展開估計局部截斷誤差。但是注意，隱式公式中右邊含有但是注意，隱式公式中右邊含有f(xn+1 , yn +1 ) ,由于由于yn +1不準確，所以不能直接用不準確，所以不能直接用y (xn+1)代替代替f(xn+1 , yn +1 ) 設已知曲線上一點設已知曲線上一點 Pn (xn , yn ),過該過該點作弦線，斜率為點作弦線，斜率為(xn+1 , yn +1 ) 點的點的方向場方向場f(x,y)方向方向,若步長若步長h充分小，充分小，可用弦線和垂線可用

10、弦線和垂線x=xn+1的交點近似的交點近似曲線與垂線的交點。曲線與垂線的交點。幾何意義幾何意義xnxn+1PnPn+1xyy(x)13 2009, Henan Polytechnic University13隱式隱式歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：11111111121111111321, ,2 , 2nnnnynnnnnnnnnnnnynnnnnnnnfxyfxy xfxyy xyy xhfxy xyxyxhyxyxyhfxyy xy xhhyxh yxyxy xy x由微分中值定理，得在，之間；又而 2326nnnnhhhyxyxyx14 2009, Henan Polytec

11、hnic University14111111232311(), 231,23nnnynnnnnynnnnRy xyhfxy xyhhyxyxhhhfxRyxyx 從而即2211121,1,(1)1ynynynhfxhfxhfxxxx 111 Eulers Method15 2009, Henan Polytechnic University15 2322111231221 1,23 3,226 ()2nynynnnnynnnnnhhRhfxhfxy xyxhhy xfxy xy xhRy xo h隱式隱式歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法的局部截斷誤差：111()nnnRy xy232()()hn

12、y xO h即隱式歐拉公式具有即隱式歐拉公式具有 1 階精度。階精度。1 Eulers Method16 2009, Henan Polytechnic University161(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn比較歐拉顯式公式和隱式公式及其局部截斷誤差比較歐拉顯式公式和隱式公式及其局部截斷誤差231112()()()hnnnnRy xyy xO h顯式公式111(,)nnnnyyh f xy隱式公式231112()()()hnnnnRy xyy xO h17 2009, Henan Polytechnic University17 若將這兩種方法進行算術平均，若將這兩種方法進行

13、算術平均，即可消除誤差即可消除誤差的主要部分而獲得更高的精度的主要部分而獲得更高的精度,稱為梯形法稱為梯形法5.2.3 梯形公式梯形公式),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy1.2 , 1 , 0 nk18 2009, Henan Polytechnic University18在積分可得：在積分可得：兩端同時兩端同時由由,),(,()(1 kkxxxyxfxydxxyxfxyxykkxxkk 1)(,()()(1)(,()(,(2)(111 kkkkkkxyxfxyxfxx 在用數值積分的方法推導歐拉公式時，右端的在用數值積分的方法推導歐拉公式時，右端的積分用梯形積分公式可得：

14、積分用梯形積分公式可得：),(),(211 kkkkyxfyxfh),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy1.2 , 1 , 0 nk19 2009, Henan Polytechnic University19梯形法的迭代計算和收斂性梯形法的迭代計算和收斂性01(1)( )111(,)(,)(,)2nnnnkknnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy注：注：的確有局部截斷誤差的確有局部截斷誤差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 階精度，比歐拉方法有了進步。但階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是注意到該公式是隱式隱式公式，計算時不得不用到迭代公式，計算時不得不用

15、到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。3111()()nnnRy xyO h20 2009, Henan Polytechnic University20(1)()1111111()(0 )1111(1)11111()1(,)(,)2222 1, ()2(,)(,)2kknnnnnnkknnnnknnnnnnnnknhyyfxyfxyhhLL yyyyhLhyykLhyyfxyfxyy 當 時 ，在 迭 代 公 式 中 取 極 限 ， 有因 此的 極 限 就 是 隱 式 方 程 的 解21 2009, Henan Polytechnic University21

16、5.2.4 改進的歐拉格式改進的歐拉格式 歐拉方法容易計算，但精度較低；梯形公式精度歐拉方法容易計算，但精度較低；梯形公式精度高，但是隱式形式，不易求解；若將二者結合，可得高，但是隱式形式，不易求解；若將二者結合，可得到改進的歐拉格式。到改進的歐拉格式。值。即：值。即：進行精確化，稱為校正進行精確化，稱為校正預估值；再用梯形方法預估值；再用梯形方法稱為稱為的一個粗糙的近似值，的一個粗糙的近似值，先用歐拉方法求出先用歐拉方法求出1 ky ),(),(21111kkkkkkkkkkyxfyxfhyy),yhf(xyy22 2009, Henan Polytechnic University22),

17、(),(211),yhf(xyxfyxfhyykkkkkkkk 嵌套形式：嵌套形式： )(2111cpkpkkckkkpyyy),yhf(xyy),yhf(xyy平均化形式：平均化形式： 上述方法也可以表示為下述兩種形式：上述方法也可以表示為下述兩種形式：23 2009, Henan Polytechnic University235.2.5 歐拉兩步公式歐拉兩步公式中心差商近似導數中心差商近似導數hxyxyxy2)()()(021 x0 x2x1)(,(2)()(1102xyxfhxyxy 1,., 1),(211 niyxfhyyiiii假設假設 ，則可以導出，則可以導出即中點公式也具有即

18、中點公式也具有 2 階精度，且是顯式的。階精度，且是顯式的。)(),(11iiiixyyxyy )()(311hOyxyRiii 需要需要2 2個初值個初值 y0和和 y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱來啟動遞推過程，這樣的算法稱為為雙步法雙步法24 2009, Henan Polytechnic University24預測預測-校正系統(tǒng)校正系統(tǒng)中點法具有二階精度，且是顯式的，與梯形公式精度相匹配，用中點法具有二階精度，且是顯式的，與梯形公式精度相匹配，用中點公式作預測，梯形公式作校正，得到如下預測校正系統(tǒng)：中點公式作預測，梯形公式作校正，得到如下預測校正系統(tǒng)：111112(,)(,)(,)2

19、nnnnnnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy預測：校正： 3(3)1113(3)111312nnnnnnnnnnhyyy xyyxhyyy xyyx 預測誤差(設, 準確): 校正誤差(設,準確): 111114nnnny xyy xy 校正誤差約為預測誤校正誤差約為預測誤差的差的1/425 2009, Henan Polytechnic University2511111111111454515nnnnnnnnnnny xyyy xyyyy xyyy 預測誤差和校正誤差預測誤差和校正誤差的事后誤差估計式的事后誤差估計式利用上兩式可以估計預測值和校正值與準確值的誤差，可以利用上兩

20、式可以估計預測值和校正值與準確值的誤差，可以期望，利用這兩個誤差分別作預測值和校正值的補償，有可期望，利用這兩個誤差分別作預測值和校正值的補償，有可能提高精度。能提高精度。 設設pn,cn分別為第分別為第n步的預測值和校正值，即步的預測值和校正值，即,nnnnpy cy1111111145 15nnnnnnnnmppcycpc改進：此時此時cn+1未知，未知，故用故用pn -cn代替代替26 2009, Henan Polytechnic University26預測預測-校正校正-改進公式改進公式1111111111111111245,215,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpyh

21、ymppcmf xmhcyymycpcyf xy預測：改進：計算：校正：改進：計算：注：利用該算法計算注：利用該算法計算yn+1時，需要時，需要11111110nnnnnyypcyypcypc,和，因此啟動算法之前必須給出開始值 和，可用其它單步法計算，一般取為 。27 2009, Henan Polytechnic University27例：試分別用歐拉格式和改進的歐拉格式求例：試分別用歐拉格式和改進的歐拉格式求解下列初值問題：解下列初值問題：),(1kkkkyxhfyy )2(1 . 0kkkkyxyy 1 . 0 1 , 01)0(2 hxyyxyy解：歐拉格式的具體算式為：解：歐拉格

22、式的具體算式為：kkkyxy2 . 01 . 1 10 y28 2009, Henan Polytechnic University28kkkyxy2 . 01 . 1 ),(),(2),(1111kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy 改進的歐拉格式為：改進的歐拉格式為：2221 . 0111 kkkkkkkyxyyxyy),(1kkkkyxhfyy 29 2009, Henan Polytechnic University292221 . 0111 kkkkkkkyxyyxyy)2 . 01 . 122 . 01 . 12(21 . 01kkkkkkkkkkkyxyxyxyyxyy )2 .