解三角形經(jīng)典例題與解答

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 正弦、余弦定理知識回顧：1、直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系：在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c， 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又，從而在直角三角形ABC中，2、當ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=，則，同理可得， 從而3、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等，即4、理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使， ，；（2）等價于 ，（3）正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； 已知三角形的任意兩邊與其

2、中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如； （4）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形5、知識拓展，其中為外接圓直徑.6、勾股定理： 7、余弦定理：三角形中 平方等于 減去 的兩倍，即 ； ； 。8、余弦定理的推論： ； ； 。9、在典型例題：例1、在中，已知，cm，解三角形例2、（1）在ABC中，已知a=2, b=, c= 求cosB.（2）在ABC中，已知a=, c=2 、B=1500求b.（3）在ABC中，已知a=8, b=、B=300求c.例3、在解：例4、解：，例5、 在ABC中，求證：證明：將，代入右邊 得右邊左邊， 例6、 在銳角ABC中，求證：證明：AB

3、C是銳角三角形，即 ，即；同理；例7、 在ABC中，求證：。證明： 例8、 在ABC中，若，則求證：。證明：要證，只要證，即 而原式成立。例9、在ABC中，若，則求證：證明： 即 即，例10、在ABC中，若，請判斷三角形的形狀。解： 等腰或直角三角形 例11、中，分別為內(nèi)角的對邊，且（）求的大小；（）若，試判斷的形狀.解：（）由已知，根據(jù)正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因為，故所以是等腰的鈍角三角形。例12、 在ABC內(nèi)接于半徑為的圓，且求ABC的面積的最大值。解： 例13、 ABC的三邊且，求解：例14、C中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個根，且2cos(A+B)

4、=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120°（2）由題設(shè)： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=課后小結(jié)：1. 正弦定理：2. 正弦定理的證明方法：三角函數(shù)的定義，還有 等積法，外接圓法，向量法.3應(yīng)用正弦定理解三角形： 已知兩角和一邊；已知兩邊和其中一邊的對角課后練習：一、選擇題1在ABC中，若，則等于（ ）A B C D2若為ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（ ）A B C D3在ABC中，角均為銳角，且則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B銳角三

5、角形 C鈍角三角形 D等腰三角形 4等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長為（ ）A B C D5在中，若，則等于（ ）A B C D 6邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（ ） A B C D 二、填空題1在ABC中，則的最大值是_。2在ABC中，若_。3在ABC中，若_。4在ABC中，若，則_。5在ABC中，則的最大值是_。三、解答題15在ABC中，已知，c=1，求a，A，C16在ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b17.在ABC中，求b.60021DCBA18.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分DAB，ABC=600，AC=7，AD=6， SADC=，

6、求AB的長.19、BC中，AB5，AC3，D為BC中點，且AD4，求BC邊長解：設(shè)BC邊為，則由D為BC中點，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180°cosADBcos（180°ADC）cosADC解得，2, 所以，BC邊長為2一、選擇題 1.C 2.A 3.C 都是銳角，則4.D 作出圖形5.D 或 6.B 設(shè)中間角為，則為所求二、填空題 1. 2. 3. 4. ，令 5. 第二講 正弦、余弦定理的應(yīng)用例1、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得

7、頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4，= 。 因為 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由

8、題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= 在RtADE中，sin4=, 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例2、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) =

9、9+ (10x) -2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.例3、（07寧夏，海南）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個側(cè)點與現(xiàn)測得，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?，求塔高解：在中，由正弦定理得所?在 中例4、（08湖南）在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻

10、速直線行駛的船只位于點A北偏東且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東+(其中sin=，)且與點A相距10海里的位置C. （I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）;（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.解: （I）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時）.（II）解法一 如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設(shè)點B、C的坐標分別是B（x1，y2）, C（x1，y2）,BC與x軸的交點為D.由題設(shè)有，x1=y1= AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin所以過點

11、B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點E（0，-55）到直線l的距離d=所以船會進入警戒水域.解法二: 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點Q.在ABC中，由余弦定理得，=.從而在中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55>40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.過點E作EP BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin=所以船會進入警戒水域.課后練習：1、（07山東）如圖,甲船以每小時海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于處時,乙船位于甲船的北偏西的方向處,此時兩船相距20海

12、里.當甲船航行20分鐘到達處時,乙船航行到甲船的北偏西方向的處,此時兩船相距海里,問乙船每小時航行多少海里?解：如圖，連結(jié)，是等邊三角形，在中，由余弦定理得，因此乙船的速度的大小為答：乙船每小時航行海里.2、某一時刻，一架飛機在海面上空C點處觀測到一人在海岸A點處釣魚。從C點處測得A的俯角為45o；同一時刻，從A點處測得飛機在水中影子的俯角為60o。已知海岸的高度為4米，求此時釣魚的人和飛機之間的距離（結(jié)果保留整數(shù)）。 解： 3、人民海關(guān)緝私巡邏艇在東海海域執(zhí)行巡邏任務(wù)時，發(fā)現(xiàn)在其所處位置O點的正北方向10海里處的A點有一涉嫌走私船只正以24海里/小時的速度向正東方向航行。為迅速實驗檢查，巡邏艇調(diào)整好航向，以26海里/小時的速度追趕，在涉嫌船只不改變航向和航速的前提下，問（1）需要幾小時才能追上？（點B為追上時的位置）（2）確定巡邏艇的追趕方向（精確到）（如圖4）圖4參考數(shù)據(jù)：分析：（1）由圖可知是直角三角形，于是由勾股定理可求。（2）利用三角函數(shù)的概念即求。解：設(shè)需要t小時才能追上。則（1）在中，則（負值舍去）故需要1小時才能追上。（2）在中 即巡邏艇沿北偏東方向追趕。 歡迎您的光臨，Word文檔下載后可修改編輯.雙擊可刪除頁眉頁腳.謝謝！希望您提出您寶貴的意見，你的意見是我進步的動力。贈語； 1、如果我們做與不做