大一下冊期末復(fù)習(xí)概率論課件chaphandout

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計何志堅華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院hezh第三章：隨機及其分布2 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)目錄隨機向量的概念及其分布函數(shù)1二維離散型隨機變量23 二維連續(xù)型隨機向量二維隨機變量函數(shù)的分布43 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)隨機向量的概念定義：設(shè)X1, . . . , Xn為概率空間(, F, P)的n個隨機變量，則稱向量X := (X1, . . . , Xn) : Rn為n維隨機向量。注：多維隨機向量的關(guān)鍵是定義在同個概率空間上。對于不同樣本空間1, 2上的兩個隨機變量，我們在乘積空間 = 1 × 2 := (1, 2)|1 1, 2 2及其事件域上討論。4

2、/ 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)隨機向量的分布函數(shù)定義：設(shè)X = (X1, . . . , Xn)為概率空間(, F, P)的隨機向量，則它的聯(lián)合分布函數(shù)定義為: !nYnF(x , . . . , x ) = P(Xi xi ) = PX (, xi .X ,.,X1ni =11ni =1隨機向量分布函數(shù)的特征性質(zhì)：0 FX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn) 1, (x1, . . . , xn) RnFX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn)關(guān)于每個變量xi 單增右連續(xù)limxi FX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn) = 0, limmin xi

3、FX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn) = 1(x1, . . . , xn) Rn, hi > 0,1234(x +h ,.,x +h )11nn(x1 ,.,xn )F(t , . . . , t ) 0.X ,.,X1n1nn注：上式n階差分等價于P(xi < Xi xi + hi ).i =15 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)邊緣分布已知隨機向量X = (X1, . . . , Xn)的聯(lián)合分布為FX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn), 由此可確定每個分量的邊緣分布FXi ,FXi (xi ) =limFX1 ,.,Xn (x1, . . .

4、 , xn).xj ,j=6 i更一般地，令A(yù) = i1, . . . , ik I = 1, . . . , n,FXi ,.,Xi(xi1 , . . . , xik ) =limxj ,jI AFX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn).1k6 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)離散型與連續(xù)型定義：設(shè)X = (X1, . . . , Xn)為概率空間(, F, P)的隨機向量，如果(X1, . . . , Xn)至多取可數(shù)個不同的值，則稱之為離散型隨機向量;如果存在非負函數(shù)fX1 ,.,Xn 使得(X1, . . . , Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為ZZZx1x2xnFX1

5、,.,Xn (x1, . . . , xn) =dt1dt2 · · ·fX1 ,.,Xn (t1, t2, . . . , tn) dtn,則稱(X1, . . . , Xn)為連續(xù)型隨機向量，稱fX1 ,.,Xn 為它的分布密度函數(shù)。對于任意區(qū)域D Rn , 有P(X D) = Z· · · Z fX1 ,.,Xn (t1, . . . , tn) dt1 · · · dtn.D7 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)隨機變量的獨立性定義：設(shè)X = (X1, . . . , Xn)為概率空間(, F,

6、P)的隨機向量，如果nFX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn) = FX1 (x1)FX2 (x2) · · · FXn (xn), (x1, . . . , xn) R則稱X1, . . . , Xn相互獨立。等價形式：任意集合A1, . . . , An, 滿足nnP(X A ) = P(Xi Ai ).iii =1i =1即所有與Xi 相關(guān)的事件都相互獨立。8 / 44隨機向量的概念及其分布函數(shù)獨立性判別方法定理：設(shè)X = (X1, . . . , Xn)為概率空間(, F, P)的隨機向量，如果X1, . . . , Xn都為離散型隨機變量，有

7、分布列(i )P(X = a ), j = 1, 2, ·, i = 1, . . . , n,ij則X1, . . . , Xn相互獨立的充要條件為(1)(2)(n)(1)(n)P(X = a, X= a, . . . , X = a) = P(X = a) · · · P(X= a),12n1n12n1n其中i 為任意正整數(shù)。如果X1, . . . , Xn都為連續(xù)型隨機變量，有聯(lián)合分布密度函數(shù)fX1 ,.,Xn ，則X1, . . . , Xn相互獨立的充要條件為nfX1 ,.,Xn (x1, . . . , xn) = fX1 (x1) 

8、3; · · fXn (xn), (x1, . . . , xn) R .9 / 44二維離散型隨量目錄隨機的概念及其分數(shù)1二維離散型隨量23 二維連續(xù)型隨機二維隨量函數(shù)的分布410 / 44二維離散型隨 量二維離散型隨量定義：設(shè)二維離散型隨量(X, Y )的取值為(xi , yj ), i , j = 1, 2 · · · . 分為P(X = xi , Y = yj ) = pij , i , j = 1, 2, · · · .其中，X 的邊緣分布為P(X = xi ) = pi·, Y 的邊緣分布為P

9、(Y = yj ) = p·j .11 / 44X Yy1y2· · ·yj· · ·pi ·x1 x2.xi.p11p12· · ·p1j· · ·p21p22· · ·p2j· · ·.pi1pi2· · ·pij· · ·.p1· =j p1j p2· = Pj p2j.pi · = Pj pij.p&

10、#183;jp·1 = Pi p·1p·2 = Pi pi2· · ·p·j = Pi pij· · ·1二維離散型隨 量例1例：袋中有五件，其中兩件次品，三件正品，從袋中任意依次取出兩件，每次取出的進行檢查后放回袋中，設(shè)每次取出時，袋中每件被取到的可能性相等，求下列隨量的分以及邊緣分布：= 1,= 第一次取到正品1,第二次取到正品XY0,0,第一次取到次品第二次取到次品解：12 / 44X Y010 46 252525351二維離散型隨 量例2例：在例中，如果每次取出后不放回，求(X, Y )

11、的布。分以及邊際分解：13 / 44X Y010 13 101025351二維離散型隨 量例3設(shè)隨機試驗只有A、B和C三個結(jié)果，各結(jié)果出現(xiàn)的概率分別是p, q和1 p q.現(xiàn)將該隨機試驗做n次，記X 和Y 分別為n次試驗中A和B發(fā)生的次數(shù)，試求(X, Y )的分布和邊緣分布。解：P(X = i , Y = j) = Ci Cj pi qj (1 p q)nij , 0 i + j n.n ni邊緣分布X B(n, p), Y B(n, q).14 / 44二維離散型隨 量二維離散型隨機條件分：X, Y 相互的充要條件是對所有可能的取值，有P(X = xi , Y = yi ) = P(X =

12、xi )P(Y = yi ),即pij = pi·p·j , i , j 1.注：例1，例2和例3不。條件分：設(shè)(X, Y )為二維離散型隨量，其分為P(X = xi , Y = yj ) = pij , i , j = 1, 2, . . . .已知Y = yj 發(fā)生，在此條件下X 的分稱條件分，P(X = x , Y = y )pij ,i j P(X = x |Y = y ) =i = 1, 2, · · · .ijP(Y = yj )p·j同樣可以定義已知X = xi 發(fā)生，在此條件下Y 的條件分。情況下，條件分布成無條件分布

13、。15 / 44二維離散型隨 量例：考慮例2，求X = 1條件下Y 的條件分列。，Y = 0條件下X 的條件分布解：3/103/51P(Y = 0|X = 1) = P(Y = 1|X = 1) =21/102/513/102/53P(X = 0|Y = 0) =, P(X = 1|Y = 0) = 4=.416 / 44X Y010 13 101025351二維連續(xù)型隨機向量目錄隨機向量的概念及其分布函數(shù)1二維離散型隨機變量23 二維連續(xù)型隨機向量二維隨機變量函數(shù)的分布417 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量定義：若(X , Y )為連續(xù)型隨機型隨機向量，則其分布函數(shù)ZZxyFX

14、,Y (x , y ) =fX,Y (u, v ) du dv . 分布密度函數(shù)fX,Y 滿足：非負性： fX,Y (x , y ) 0, (x , y ) R2RR正則性：fX,Y (u, v ) du dv = 1 若fX,Y (x , y )在點(x0, y0)處連續(xù)，則2FX,Y (x0, y0)fX,Y (x0, y0) =x y對二維平面的任何區(qū)域D有P(X , Y ) D) = ZZ fX,Y (u, v ) du dv .D18 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量的邊緣分布設(shè)(X, Y )為連續(xù)型隨機型隨機向量，其密度函數(shù)為fX,Y (x, y ), 則X 的邊緣分布

15、函數(shù)、密度函數(shù)分別為ZZxFX (x ) = lim FX,Y (x, y ) =y fX,Y (u, v ) dv du. f (x ) = Zf(x, y ) dy.XX,Y同樣，Y 的邊緣密度函數(shù)為f (y ) = Zf(x, y ) dx.YX,Y19 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維均勻分布定義：設(shè)D為二維平面上的一個有界區(qū)域，面積為SD < , 若隨機向量(X, Y )的分布密度函數(shù)為1SD(x, y ) D,其他,fX,Y (x, y ) =0,則稱(X, Y )服從D上的均勻分布。20 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維正態(tài)分布定義：若隨機向量(X, Y )的分布密度函數(shù)為1f

16、X,Y (x, y ) =2 p1 212 221(x µ )(x µ1)(y µ2)(y µ )12exp 2(1 2) 2+,22 1 212其中 , > 0, | < 1, 則稱(X, Y )服從參數(shù)為µ , µ , , , 22的正態(tài)分布，記121212為22(X, Y ) N(µ , µ , , , ).121222試證明，X N(µ , ), Y N(µ , ).121221 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維正態(tài)分布的密度函數(shù)22 / 44二維連續(xù)型隨機向量n維正態(tài)分布定義

17、：更一般地，n維正態(tài)分布X = (X1, . . . , Xn)>的密度函數(shù)為 1f (x , . . . , x ) =exp(1/2)(x µ)>1(x µ)X 1n1/2(2)n/2 |其中µ = (µ1, . . . , µn)>, 為n階正定矩陣，記X N(µ, ).注1：Xi N(µi , ii ), i = 1, . . . , n.注2：(X, Y ) N(µ , µ , , , )等價于22(X, Y ) N(µ, ), 其中>µ = (

18、81; , µ ) ,121212"#212112 =.2223 / 44二維連續(xù)型隨機向量例1例：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X , Y )的分布函數(shù)為F (x , y ) = (A + B arctan x )(C + arctan y ).求常數(shù)A, B, C ;(X , Y )的密度函數(shù)；D = (x , y )|x y > 0, x 1, 求P(X , Y ) D.解：(1)由二維分布函數(shù)的性質(zhì)知，F(xiàn) (, y ) = (A 2 B)(C + arctan y ) = 0F (x , ) = (A + B arctan x )(C 2 ) = 0F (, ) =

19、(A + 2 B)(C + 2 ) = 1,可得C = /2, A = 1/(2), B = 1/2.24 / 44二維連續(xù)型隨機向量例1例：設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X , Y )的分布函數(shù)為F (x , y ) = (A + B arctan x )(C + arctan y ).(X , Y )的密度函數(shù)；D = (x , y )|x y > 0, x 1, 求P(X , Y ) D.解：(2)密度函數(shù)2F (x , y )1f (x , y ) =2(1 + x 2)(1 + y 2)x y(3)ZZZ1x 11 + y 2 dy dx1 1P(X , Y ) D =f (x , y

20、 ) dx dy =21 + x 2(x,y )D 1 9 1 1(arctan x )2 +arctan x=.2223225 / 44二維連續(xù)型隨機向量例2例：已知二維隨機向量(X, Y )的密度為kxyx 2 y 1, 0 x 1其他f (x, y ) =0試確定k的數(shù)值，并求(X, Y )落在區(qū)域D = (x, y )|x 2 y x, 0 x 1的概率。解：(1)由概率密度性質(zhì)，知Z ZZZ11kf (x, y ) dx dy = kxy dy dx = 1 k = 6.60x 2(2)ZZ1x1P(X, Y ) D = 6xy dy dx =.40x 226 / 44二維連續(xù)型隨機

21、向量二維連續(xù)型隨機向量的獨立性獨立的充要條件：設(shè)(X, Y )是二維連續(xù)型隨向量，f (x, y )及fX (x ), fY (y )分別是(X, Y )的聯(lián)合分布密度及邊緣分布密度，則X, Y 相互獨立的充要條件是：對任意點(x, y )，有f (x, y ) = fX (x )fY (y ).例：易知例1獨立?，F(xiàn)考慮例2，當0 x, y 1時，ZZ15fX (x ) =f (x, y ) dy = 6xy dy = 3x 3x .x 2ZZy2fY (y ) =f (x, y ) dx = 6yx dx = 3y .0因為f (x, y ) 6= fX (x )fY (y ), 所以X,

22、Y 不獨立。27 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維正態(tài)分布獨立的充要條件定理：若(X, Y ) N(µ , µ , , , ), X 與Y 獨立的充要條件是22 = 0.1212注：稱為相關(guān)系數(shù)，刻畫X 與Y 的相關(guān)性。證明：若X, Y 獨立，則有f (x, y ) = fX (x )fY (y ). 從而有11sup f (x, y ) =x,yp= sup f (x )f (y ) =,XY2 2121 2x,y12所以 = 0. 反過來，如果 = 0, 則易知，f (x, y ) = fX (x )fY (y ).28 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量的條件

23、分布設(shè)(X, Y )是二維連續(xù)型隨向量，先考慮Y = y 的條件下，X 的條件分布。P(X x |Y = y ) =lim P(X x |y Y y + y )y 0+P(X x, y Y y + y )=limy 0+P(y Y y + y )RRxy +yf(u, v ) dv du yX,Y中值定理=limy 0+Ry +yf (v ) dvYyRZxyf(u, v ) dux f(u, y ) X,Y= X,Ydu fY (y )=limy 0+yfY (v )定義：如果fY (y ) > 0, 在Y = y 的條件下, X 的條件密度可以定義為：f(x, y )X,Y , x

24、R.f(x |y ) =X |YfY (y )如果fX (x ) > 0，同樣方式可以定義fY |X (y |x ). 獨立情況下，條件分布退化成無條件分布。29 / 44二維連續(xù)型隨機向量例2（續(xù)）例：已知二維隨機向量(X, Y )的密度為6xyx 2 y 1, 0 x 1其他f (x, y ) =0求fX|Y (x |y )和fY |X (y |x ).解：已知3x 3x 53y 20 x 1其他0 y 1其他fX (x ) =, fY (y ) =00所以，當0 < y 1,當0 < x < 1時，2y /(1 x 4)2x /y0 x y其他x 2 y 1其他f

25、X|Y (x |y ) =,fY |X (y |x ) =0030 / 44二維連續(xù)型隨機向量二維正態(tài)向量的條件分布定理：若(X, Y ) N(µ , µ , , , ), 則22121222X |Y = y N(µ+ (y µ ) / , (1 ),1212122Y |X = x N(µ + (x µ ) / , (1 ).21212證明：只須證明第一部分，第二部分由對稱性可得。22fX,Y (x, y )fX|Y (x |y ) =p2 ×f (y )2121 Y 2221(x µ )(x µ1)(y

26、 µ2)(y µ )(y µ )122 2(1 2) 2exp+2222 1 2122 2 1 1p1 2 exp x (µ + (y µ ) / ).= 2121222 (1 )21131 / 44二維隨量函數(shù)的分布目錄隨機的概念及其分數(shù)1二維離散型隨量23 二維連續(xù)型隨機二維隨量函數(shù)的分布432 / 44二維隨 量函數(shù)的分布離散型隨機和函數(shù)的分布設(shè)二維離散型隨機(X, Y )的分為P(X = xi , Y = yj ) = pij , i , j = 1, 2, · · · .為則Z = X + Y 的分XP(

27、Z = zk ) =pij , k = 1, 2, · · · .xi +yi =zk特別地，如果(X, Y )的分為P(X = i , Y = j) = pij , i , j = 0, 1, 2, · · · .則Z 的分為kkXXP(Z = k) =P(X = i , Y= k i ) =p, k = 0, · · · .i (ki )i =1i =033 / 44二維隨 量函數(shù)的分布泊松分布的可加性定理：如果X Pois(1), Y Pois(2), 且X 與YX + Y Pois(1 + 2).

28、證明：令Z = X + Y . 對任意非負整數(shù)k,，則kkXXP(Z = k) =P(X = i , Y = k i ) =P(X = i )P(Y = k i )i =0i =0XkXk i ki)ie e( /121212 k= e122i !(k i )!i !(k i )!i =0i =012Xk k( / )i k!e1 2 ke1222 (1/2 + 1)k=k!i !(k i )!k!i =0(1 + 2)k =e12k!34 / 44二維隨 量函數(shù)的分布二項分布的可加性定理：如果X B(n, p), Y B(m, p), 且X 與YX + Y B(n + m, p).證明：令Z

29、 = X + Y . 對任意非負整數(shù)k n + m,，則XkP(Z = k) =P(X = i )P(Y = k i )i =0Xki ii pki (1 p)mk+i=C p (1 p)ni =0 !kXCi Ckipk (1 p)n+mk=n mi =0= Ckpk (1 p)n+mkn+m35 / 44二維隨 量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機和函數(shù)的分布設(shè)(X, Y )的密度為f (x, y ), 則Z = X + Y 的分數(shù)為FZ (z ) = P(Z z ) = Zf (x, y ) dx dyx +y zZZz x=dxf (x, y ) dyZZ z=f (x, y x ) dxdy.求導(dǎo)

30、得到Z 的密度函數(shù)為Zf (z ) = F (z ) =f (x, z x ) dx.0ZZ特別地，如果X 與Y，則f (z ) = Z(x )f (z x ) dx = Zff(z x )f (x ) dx.ZXYXY這就是卷積公式。36 / 44二維隨 量函數(shù)的分布正態(tài)分布的可加性定理：如果X N(µ , ), Y N(µ , ), 且22X 與，則Y121222X + Y N(µ + µ , + ).12120證明：令X = (X µ )/ N(0, ), 其中2 = /121121Y 0 = (Y µ2)/2 N(0, 1),

31、 Z = X 0 + Y 0.ZfZ (z ) =fX0 (x )fY 0 (z x ) dxZ x 221 (z x )=2exp 22 2dx1 1 Z 1 21z 2222 2(1 + )(x z /(1 + )111exp exp =dx2(2 + 1)2211 1z 2= pexp 2(2 + 1).22 + 111所以222Z N(0, + 1). X + Y = Z + µ + µ N(µ + µ , + ).2121211237 / 44二維隨 量函數(shù)的分布正態(tài)分布的線性組合定理1：隨機X = (X1, . . . , Xn)>服從n維正態(tài)分布的充要條件是對任意的 = (1, . . . , n)>, >X服從一維正態(tài)分布。定理2：如果隨機X = (X1, . . . , Xn)> N(µ, ), 則有對任意實矩陣A Rm×n , AX N(Aµ, AA>).注：如果X, Y 都服從正態(tài)分布，(X, Y )不一定服從二維正態(tài)分布。（反例見作業(yè)題）38 / 44二維隨 量函數(shù)的分布變量變換法設(shè)二維隨機(X , Y )的密度函數(shù)為fX,Y (x , y ), 如果函數(shù)u= g1(x , y )v= g2(x , y )有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的反函