論簡諧運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的統(tǒng)一

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 論簡諧運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的統(tǒng)一 用導(dǎo)數(shù)、微積分知識(shí)推導(dǎo)簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)公式 【摘要】本文通過簡諧運(yùn)動(dòng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，用導(dǎo)數(shù)、微積分的知識(shí)推導(dǎo)簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。【研究背景】本人通過對物理選修3-4第十一章簡諧運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)，了解了簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。但是書中并未給出其具體的證明過程，于是對其開展研究。【正文】根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)的定義，如果質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律，即它的振動(dòng)圖像（x-t圖像）是正弦函數(shù)圖像，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做簡諧運(yùn)動(dòng)。接下來我們來證明做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)一定受到隨位移均勻變化的合力。由定義可知，質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化關(guān)系x

2、=Asin（t+） (1)對時(shí)間求導(dǎo)，即可得到速度隨時(shí)間變化關(guān)系v=dxdt=Acos（t+） (2)再次求導(dǎo)，可得加速度隨時(shí)間變化關(guān)系a=dvdt=-A2sin(t+) (3)由牛頓第二定律，可得質(zhì)點(diǎn)所受合力為F=ma (4)聯(lián)立（3）（4）可得F=-mA2sin(t+) (5)將(1)代入(5)得F=-m2x (6)上式中，m與都是常數(shù)，從而寫成F=-kx (7)這就證明了做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)一定受到隨位移均勻變化的合力，同時(shí)聯(lián)立(6)(7)得=km (8)根據(jù)周期公式T=2可得T=2mk以上便是簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式既然做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)一定受到隨位移均勻變化的合力，那么如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到隨位移均勻

3、變化的合力，是否做簡諧運(yùn)動(dòng)。答案是肯定的，接下來，我們給出證明。由簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，得到其所受合力隨位移的變化關(guān)系F=-kx (1)由牛頓第二定律得F=ma (2)聯(lián)立(1)(2)得a=-kmx (3)對(3)進(jìn)行積分可得速度的平方隨位移的變化關(guān)系v2=20x-kmxdx+C=-kmx2+C (4)假設(shè)質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)的速度為v0，則當(dāng)x=0時(shí)，有C=v02 (5)將(5)帶入(4)即可得到v2v02+kx2mv02=1 (6)由sin2+cosx2=1可對(6)三角換元v=v0cosf(t) (7)x=mkv0sinf(t) (8)其中f(t)是一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)對(8)式求導(dǎo)可得速度隨

4、時(shí)間變化關(guān)系為v=mkv0f(t)cosft (9)聯(lián)立(8)(9)得f(t)=mk (10)通過對(10)積分可得到原函數(shù)ft=0tf(t)dt=mkt+ (11)代入(8)得x=mkv0sin(mkt+) (12) 上式可化為x=Asin(t+) (13)因此聯(lián)立(12)(13)可得=mk (14)同樣可得周期公式T=2mk 下面我們討論單擺的周期公式設(shè)一擺長為l，球的質(zhì)量為m，擺線某時(shí)刻與豎直線的夾角為，小球距離最低點(diǎn)位移為x。其回復(fù)力為F=-mglx (見3-4第14頁)因此單擺的小球做簡諧運(yùn)動(dòng)，且k=mgl代入周期公式得T=2lg本人在高中生所能理解的范圍內(nèi)用導(dǎo)數(shù)、微積分的知識(shí)互相推導(dǎo)出簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，由此可見，簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)是等價(jià)的，同時(shí)推導(dǎo)過程中又得到了簡諧運(yùn)動(dòng)的周期公式這一“副產(chǎn)物”。并且在由動(dòng)力學(xué)公式推導(dǎo)到運(yùn)動(dòng)學(xué)公式時(shí)，聯(lián)立(12)(13)又會(huì)發(fā)現(xiàn)12kA2=12mv02符合機(jī)械能守恒定律，希望大家能夠從中體會(huì)到數(shù)學(xué)