2019年浙江專(zhuān)升本《高等數(shù)學(xué)》真題卷+答案

1、浙江省2019 年選拔優(yōu)秀高職高專(zhuān)畢業(yè)生進(jìn)入本科學(xué)習(xí)統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上。選擇題部分注意事項(xiàng)： 1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙規(guī)定的位置上。2.每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案的標(biāo)號(hào)。不能答在試卷上。選擇題部分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙規(guī)定的位置上。2.每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在

2、試題卷上。一、選擇題：本大題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。61. 設(shè)limx= a 則說(shuō)法不正確的是（）n n（A） 對(duì)于正數(shù) 2，一定存在正整數(shù) N，使得當(dāng) nN 時(shí)，都有 X - a N 時(shí)，不等式 Xn成立- a N 時(shí)，所有的點(diǎn)x 都落在(a - e, a + e )內(nèi)，而只有有限個(gè)（至多只有 N 個(gè)）在這個(gè)區(qū)間外n（D） 可以存在某個(gè)小的正數(shù)e0，使得有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)e0落在這個(gè)區(qū)間(a - e0, a + e )外02. 設(shè)在點(diǎn) x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，則在點(diǎn) x0處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（）f (x + 2h) - f (

3、x )f (x ) - f (x -h)（A） lim0h0h0 存在（B） lim00存在h0-hf (x +h) - f (x -h)1（C） lim00存在h0h（D） limh f (x +) - f (x ) 存在h+ 00 1+sinpn2p1+sinn1 n3. lim+x+.+1+sinnpnh等于（）（A） 10sinpxdx（B） 101 + sinpxdx（C） 101 + sin xdx（D）p 101 + sin xdx4. 下列級(jí)數(shù)或廣義積分發(fā)散的是（）.（A）（ - 1）n -1n + 100n =1（B）n =1cos2 n（C） 2114 - x2dx（D）

4、+1dx1 （1 + x2）25. 微分方程 y-4y+4y =0的通解是（）（A） y( x) = c x + ce-2 x（B） y( x) = (c+ c x)e-2 x1（C） y( x) = (c2+ c x)e2 x1（D） y( x) = (c2+ c x)xe-2 x1212非選擇題部分二、填空題：本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。6. 極限lim1 + sin 1 n= .n n 7. 設(shè)一堆雪的高度h 與時(shí)間t 的關(guān)系為h(t )= 100 - t2 ，則雪堆的高度在時(shí)刻t = 5 時(shí)的變化率等于 .8. 當(dāng)a = 時(shí)，極限lim1-cosx(a -ex

5、)存在且不等于 0x0 ln(1+ x3) x = sin td 2 y9. 設(shè)，則 y = costdx2= .10. 設(shè) g( x) = x sin t2dt ，且當(dāng) x 0 時(shí)， g( x) 與 xn是同階無(wú)窮小，則n= .011. 定積分 101- x2 dx = .12. 設(shè)函數(shù) y = y(x)由方程ex +y - xy = 0 確定，則 dy = .dx13. 曲線(xiàn)y( x) = x3 + 3x2 的拐點(diǎn)是 .14. 由曲線(xiàn) y =x , x = 1, x = 2 及 x 軸所圍成曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積等于 .15. 設(shè) y = 32 x ，則 y(n) =.

6、三、計(jì)算題：本題共有 8 小題，其中 16-19 小題每小題 7 分，20-23 小題每小題 8 分，共 60 分。計(jì)算題必須寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程，只寫(xiě)答案的不給分。ln(1 + x) - x16. 極限limx0x217. 設(shè) y( x) = ln(2 + cosp x) + x x ，求函數(shù) y( x) 在 x = 1處的微分.18. 求不定積分sinxdx .cos x, x 0, p )f ( x) = 2= x19.設(shè)p，求 p( x)f (t)dt 在0,p上的表達(dá)式.x, x ,p 0 2t + 120. 一物體由靜止開(kāi)始以速度v(t) = 體運(yùn)動(dòng)到 8 秒時(shí)離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離.3t

7、（米/秒）作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其中t 表示運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求物x2 + a, x 021. 問(wèn)是否存在常數(shù)a 使得函數(shù) f ( x) = 在 x = 0 處可導(dǎo)？若存在，求出常數(shù)a,若不存1 - eax , x 0在，請(qǐng)說(shuō)明原因.22. 求過(guò)點(diǎn)A(1,0,2)且與兩平面p1: x - y + z + 1 = 0,p2: x - z = 0 都平行的直線(xiàn)方程.23. 求冪級(jí)數(shù)n =11 xn -1 的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并計(jì)算級(jí)數(shù)nn =11 ( 1 )n -1 .n2四、綜合題：本大題共 3 小題，每小題 10 分，共 30 分。24. 設(shè) y = f ( x) 是連續(xù)象限內(nèi)連續(xù)點(diǎn) M(0,4)，N(2,0

8、)的第一段連續(xù)線(xiàn)段，P(x,y)為該曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn) B 為 P 在 x 軸上的投影，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若梯形 OBPM 的面積與曲邊三角形 BPM 的面積之和等于另一曲線(xiàn) y =x4 + x 在點(diǎn)(x, x4 + x ) 處的切線(xiàn)斜率，求該曲線(xiàn) y = f ( x) 的方程(注：曲邊三243243角形 BPM 是指直線(xiàn)段 BP， x 軸以及直線(xiàn)段 PN 所圍成的封閉圖形).25. 假設(shè)某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品 x 千件的總成本是c( x) = 2x3 - 12x2 + 30x + 21(萬(wàn)元)，售出該產(chǎn)品 x 千件的收入是r( x) = 60x (萬(wàn)元)，為了使公司取得最大利潤(rùn)，問(wèn)公司應(yīng)生產(chǎn)多少千件

9、產(chǎn)品？（注： 利潤(rùn)等于收入減總成本）26. 設(shè) f (x)在-1,1上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0) = 0寫(xiě)出 f (x)的帶拉格朗日型余項(xiàng)的一階麥克勞林公式.設(shè) M , m 分別為 f (x)在-1,1上的最大值和最小值，證明： m 1f ( x)dx M證明：在-1,1上至少存在一點(diǎn)h使得 f (h ) =3 1 f (x)dx-13-132019 年浙江省專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共 5 小題，每小題 4 分，共 20 分）1、D解析：極限精確定義，若limx= a ，則對(duì)于a 0, $N ，當(dāng)nN 時(shí)， X- a e2、A解析：B 改為h 0n nnC 反推D 改為h

10、 3、B解析：1+sinpxdxi11limn1+sin p =4、Bnnn0i=1解析：A.條件收斂B. limcos2n 0發(fā)散nC. x = 2 為瑕點(diǎn) 21dx = arcsin x 2= limarcsinx1ppp- arcsin=-=14 - x22x222263p1D. +1dxx = tan t p1dt =20 （1 + x2）20 sec2 t45、C解析：由 y-4y+4y =0,特征方程為r2 -4r +4 =0，即(r - 2)2二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分）= 0 ，所以 y = (c1+ c x)e2 x21 n1 1 sin

11、1 n1nlimsin 1 n6、：lim1+ sinn = lim1+ sinsin nn = e xnn= e1 = e解析nn7、解析： h(t) = -2th(5) = -108、 解析：1-cosx1 x22a-ex 極限存在且不等于 0，且 lim2x = 0 原極限存在，lim(a -ex ) =lim(a-ex ) =limx0x0 lim(1+ x3)x0x3x02x則lim a - exx0= 0 ， a = 1dy9、解析：= -sint ， dy= cos t ， dy =- sint= - tantdtdtdtcostd 2 y(- tant)- sec2 t= -s

12、ec3 tdx2costcostg(x) x sint2dtsinx2x210、解析： lim= lim 0x0xnx0xn= limx0 nxn-1= limx0 nxn-1= C( 0, )n -1= 2 n = 311pR111、解析： 1- x2 dx =p 12=（定積分幾何意義R 2 - x2 dx =pR 2 ）0440412、解析： 方程ex + y - xy = 0 兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得： ex + y (x + y) - (xy) = 0 ex + y (1 + y) - (y + xy) = 0ex + y y - xy = y - ex + y y =y - ex + ye

13、x + y - xy = 3x2 + 6x13、解析：y = 6x + 6 = 6(x +1)令 y = 0 得 x = -1 ，當(dāng) x -1 時(shí)， y -1 時(shí)， y 0在 x = -1處取得拐點(diǎn)，拐點(diǎn)為(-1,2)2212v= p 2 (x ) dx = p xdx = p (x2 )= 3 p1x14、解析：121215、解析： (ax )(n)= ax (lna)n所以(32 x )(n)= 32 x (ln3)n 2n三、計(jì)算題（本大題共 8 小題，其中 16-19 小題每小題 7 分，20-23 小題每小題 8 分，共 60 分）lim ln(1 +x) - x1- 1= lim

14、1 + x= lim1 -(1 + x)= lim- 1= - 116、解析： x0x2x02xx0 2x(1 + x)x0 2(1 + x)2y = ln(2 + cospx) + xx17、解析：= ln(2 + cospx) + ex ln x11y =2 + cospx (2 + cospx) + ex ln x ( x ln x) = 2 + cospx (-p sinpx) + x x (ln x + 1)y= 1dyx =1x18、解析：令t = dxx =1，則 x = t 2 , dx = 2tdt原式= sint 2tdt = 2 tsintdt = -2 tdcost=

15、-2(tcost - costdt) = -2(tcost - sint) + Cx= -2(cos- sinx ) + Cxpp( x) = xf (t)dt = x costdt = sin tx = sin x19、解析：當(dāng)0 x 2 時(shí)，000p20px2p11p 2pp( x) = 2 costdt + x tdt = sin t+t 2= 1 +x 2 - x p0p當(dāng) 2時(shí)，2p22822sinx,0 x 0f (x) - f (0)x2f(0) = lim-x0-x - 0= lim= 0x0+xf (0) = lim+x0+f (x) - f (0) x - 0= lim 0

16、 = 0x0- x故 f ( x) 在 x = 0 可導(dǎo)a = 0prr122、解析：設(shè)直線(xiàn)的方向量為 S ，平面1 的法向量為n= (1,-1,1) ，平面pr= (1,0,-1)的法向量n22rrrrrrr故由題意，有 s n , s n ,s = n n= (1,2,1)1212x - 1 = y - 0 = z - 2直線(xiàn)方程為121u( x)u ( x)nn +1xn n + 1n xn -1lim= lim= x 123、解析：nn，所以收斂區(qū)間為(-1,1)S( x) = 1nxn -1S( x) =1 1 xn ( x 0)令n =1，當(dāng) x 0 時(shí)，xnn =1 S (x)

17、=1 1 xn= 1 (x t n-1dt) =1 (x1dt) =1 - x1d (1- t)xn=1nx0n=1x0 1- tx 0 1- t= 1 - x1d (1- t) =1 (-ln1- x ) = - 1 ln1- x , x 0 當(dāng) x = 0 時(shí)， S(0) = 1x 0 1- txx- 1 ln(1- x), x (-1,0) (0,1) S (x) = x1, x = 0x = 1()= -2 ln(1-) = 2 ln 2 1 11n-1令2 ，則 n=1 n 22+四、綜合題（本題共有 3 小題，每小題 10 分，共 30 分）1 ( f (x) + 4) x + 2

18、f (t)dt = 1 x3124、解析：由題意知： 2x63111兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)： 2(4 + f ( x) +xf ( x) - f ( x) =x222f ( x) - 1 f ( x) = x - 4即xx 1 dx 4 - 1 dx4 f ( x) = e x ( x -)exdx + C = x( x + C) = x2 + Cx + 4xx由于 f (2) = 0，C = -4, f ( x) = x2- 4x + 425、解析：設(shè)利潤(rùn)為 f ( x) ，則f ( x) = r( x) - c( x) = 60x - (2x3 - 12x2 + 30x + 21)( x 0)12則 f (x) = -6x2 + 24x + 30 ，令 f ( x) = 0 得 x= -1 (舍去)，