任意角的三角函數(shù)

1、 1、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba 復(fù)習(xí)回顧OabMPc1.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)OabMP yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？新課 導(dǎo)入22:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan新課 導(dǎo)入baP,Mo如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？PMOPMPsin

2、OPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思 探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab3.銳角三角函數(shù)（在單位圓中）銳角三角函數(shù)（在單位圓中）以原點以原點O為為圓心，以單位圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓長度為半徑的圓，稱為單位圓. yoP),(bax1M4.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。

3、xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角為自變量角為自變量，以，以單位圓單位圓上點上點的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為函數(shù)，我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.)0 , 1 (AxyoP),(yx的終邊說說 明明（1）正弦就是交點的縱坐標(biāo)，余弦就是交點）正弦就是交點的縱坐標(biāo)，余弦就是交點橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)， 正切就是正切就是 交點的縱坐標(biāo)與交點的縱坐標(biāo)與. .（2）

4、 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0， xytan無意義，此時無意義，此時 )(2zkk軸上時，點軸上時，點P 的的（3）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，）由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角

5、的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan,例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐標(biāo)系中，作解：在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考：若把角思考：若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin， ,2367cos3367tan實例 剖析xyoAB35例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點 ，求角，求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)

6、角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點分別過點 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點，是終邊上的任意一點，點點 與原點的距離與原點的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正切，即的正切，

7、即xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點有關(guān)，而與點 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣：135122222yxr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是，鞏固 提高練習(xí)練習(xí) 1、已知角、已知角 的終邊過點的終邊過點 ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：2P15 ,8aa、已知角 的終邊上一點aR且a0 ，sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解：由于22158170raaa a所以 1017 ,ara若則于是88151588

8、sin,cos,tan171717171515aaaaaa 20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時，221,2125在角 的終邊上取點，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時，221, 2125r 在角 的終邊上取點，則22 5152sin,cos,tan255155 1.根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定它們的定義域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函數(shù)

9、三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+- 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時， 角角 為第三象限角為第三象限角.0tan 0sin 證明：證明： 因為因為式式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因為又因為式式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能

10、位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為因為式都成立，所以角式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明反過來請同學(xué)們自己證明.如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，

11、轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 ？例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號：確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因為）因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因為）因為 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48練習(xí)練習(xí) 確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號516cos)34sin()817tan( （3）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos練習(xí)練習(xí) 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）117119cossintan363練習(xí)：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan 6363cossintan3631131322