一次二階矩法

1、ch4一次二階矩法一次二階矩法 n引言引言n一次二階矩法是求解非時變荷載作用下結構可靠度問題的行之有效的近似方法。它既有較高的精度，又有較高的計算效率 。n一次二階矩法是在基本變量xi(i= 1，2n)，的概率分布尚不清楚中時，采用只有均值均值(又稱為一階原點矩)和標準差標準差(又稱為二階中心矩)的數學模型去求解結構可靠度的方法 。Ch4 一次二階矩法一次二階矩法n4.1 一次二階矩中心點法一次二階矩中心點法n4.2 一次二階矩驗算點法n4.3 JC法4.1一次二階矩中心點法一次二階矩中心點法 n4.1.1.簡單問題可靠指標的求法n4.1.2.中心點法基本原理 n4.1.3.中心點法舉例 n4

2、.1.4. 對中心點法的評述在介紹中心點法之前，先回顧功能函數為線性函數線性函數，隨機變量為正態(tài)分布正態(tài)分布情況下的可靠指標問題。I I隨機變量為正態(tài)分布，且功能函數為線性函數隨機變量為正態(tài)分布，且功能函數為線性函數n假定抗力R和荷載效應S均服從正態(tài)分布，對于功能函數Z=R-S，,由于Z是R、S的線性函數，根據正態(tài)隨機變量的特性，Z也服從正態(tài)分布，其平均值及標準差分別為:SRz22SRZ則定義可靠指標：22SRSRZZ為什么可以定義來衡量結構的可靠程度？4.1.1簡單問題可靠指標（或失效概率）的求法簡單問題可靠指標（或失效概率）的求法正態(tài)分布功能函數正態(tài)分布功能函數Z，其失效概率與可靠指標之，

3、其失效概率與可靠指標之間的精確關系間的精確關系02)(021)(22dzedzzfPZzzZf)()(212ZZtfdtePZZ這種情況下可靠指標是唯一的，且與失效概率之間有精確的對應關系。tzzztzzz令ZZZZII隨機變量為對數正態(tài)分布，功能函數為線性函數隨機變量為對數正態(tài)分布，功能函數為線性函數n對數正態(tài)分布的定義:若lnR、lnS 服從正態(tài)分布，則稱R、S服從對數正態(tài)分布。n假定抗力R和荷載效應S均服從對數正態(tài)分布，且結構功能函數可表示為Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服從正態(tài)分布,Z也服從正態(tài)分布，是lnR、lnS的線性函數，根據正態(tài)隨機變量的特性，其平均值及標準差也可以精

4、確得到：SRzlnln2ln2lnSRZ)1)(1ln()11ln(22222ln2lnlnlnSRRSSRSRSRZZ可靠指標為：)1ln(2lnxxx)1ln(22lnxx根據x的統計參數，求 lnx的統計參數結論：隨機變量為正態(tài)分布（或對數正態(tài)分布），且功能函數為線性函數的條件下，結構的可靠指標或失效概率可根據隨機變量的統計參數方便的求出。隨機變量為正態(tài)分布，由其形成的線性函數線性函數也服從正態(tài)分布。4.1.2中心點法引言n假定隨機變量x1、x2xn服從任意分布，功能函數 不是線性函數，這時, 精確求解Z的平均值和標準差是非常困難的，即便能夠求得，Z也不服從正態(tài)分布，也不能用上面方法來計

5、算結構的可靠指標。n 若將非線性功能函數作為泰勒級數展開，并取其一次展開式（前兩項）。但一次展開式已不是原來的功能函數，所計算可靠指標與結構失效概率之間不再存在精確的對應關系。n在這種情況下如何選擇展開點，展開點，從而使近似計算結果與精確失效概率的誤差最小,成為一次二階矩法要研究的問題。),(2, 1nxxxgZ 4.1.2中心點法 基本原理n設結構的極限狀態(tài)方程為 n將極限狀態(tài)函數在中心點M= ( ) 處展開為泰勒級數，并作線性化處理，得n根據概率論中隨機變量參數估計 ，Z*的統計參數為: n結構的可靠指標 ),(21nxxxgZ inixixxxxgxgZZin 1*)(),(21),(2

6、1*nxxxZg 22*),(21inxixxxZxg 2*),(),(2121innxixxxxxxZZZZxgg jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21在中心點處展開為泰勒級數：321,xxx 4.1.3中心點法舉例n鋼梁承受確定性彎矩 ,截面塑性抵抗矩W和屈服強度f都是隨機變量，已知統計參數為：nW：nf：n試用中心點法計算該鋼梁抗彎的可靠指標 36109 .884mW05. 0WMPaf2621 . 0fmkNM.8 .1284.1.3中心點法舉例n解法1n取功能函數 n極限狀態(tài)方程為 22*),(21inxxxxiZgx 128

7、800fWMfWZ0128800 fWZ).(8 .103043128800mNWfZ9 .25920)(22222222WfWffWWfz975. 39 .259208 .103043Zz2222222221221WffwWifxxxxxZWZfZxgxgiii),(21*nxxxZg 4.1.3中心點法舉例n解法2n取功能函數 n極限狀態(tài)方程為 22*),(21inxxxxiZgx WMfZ0WMfZMPaMWfZ45.116MPaMMwWffwWfz19.27)()(2222222283. 419.2745.116Zz),(21*nxxxZg 22222222212)(121WWfWif

8、xxxxxZMWZfZxgxgiii4.1.4對中心點法的評述n與隨機變量為正態(tài)分布、功能函數為線性函數的情與隨機變量為正態(tài)分布、功能函數為線性函數的情況下求可靠指標，形式一樣況下求可靠指標，形式一樣( )，卻有本質的區(qū)，卻有本質的區(qū)別：別：n（1）中心點法不論R、S的概率分布如何，直接用其平均值、標準差求可靠指標。事實上，平均值、標準差相同的隨機變量有無窮多個，每一種情況的可靠度都是不同的，而這里是同一個結果。n（2）前者的可靠指標是唯一的，并與失效概率有精確的對應關系，而中心點法可靠指標與建立的功能函數表達式的形式有關。Zz4.1.3對中心點法的評述n中心點法的主要弱點中心點法的主要弱點n

9、沒有考慮基本變量的概率分布 n均值、方差及可靠指標的計算式是誤差傳遞公式n同一個結構往往可以列出幾種等價的極限狀態(tài)方程，不同的極限狀態(tài)函數在運用中心點法計算時，其結果可能不一致。n將非線性功能函數在隨機變量的平均值處展開不合理，由于平均值不在極限狀態(tài)曲面上，展開后的線線性極限狀態(tài)面性極限狀態(tài)面可能會較大程度地偏離原來的極限狀極限狀態(tài)曲面態(tài)曲面。 n基本變量不服從正態(tài)分布和對數正態(tài)分布時，計算出的結構可靠指標與結構的實際情況出入較大。中心點法的線性示意圖中心點法的線性示意圖該法選用的線性化點（即平均值點）不在失效邊界上4.2驗算點法驗算點法(改進的一次二階矩法）改進的一次二階矩法）n4.2.1驗

10、算點法基本思想n運用泰勒級數進行線性化處理時,略去高階項的誤差隨線性化點到失效邊界的距離增加而增大（中心點法運用泰勒級數在中心點處展開進行線性化處理）。n選擇在失效邊界Z0的某點處將極限狀態(tài)函數展開為泰勒級數，以避免這種形式的誤差。驗算點法驗算點法 jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21inixixxxxgxgZZin 1*)(),(214.2.1驗算點法基本思想n關于設計驗算點關于設計驗算點n設點P(x1，x2，xn)為極限狀態(tài)方程Z=0所對應的曲面上的點，d(P，M)為點P到中心點M( ) 的距離，則能使mind(P，M)的點P*稱為

11、設計驗算點，簡稱為驗算點。n記為P*(x*1，x*2，x*n)，顯然驗算點的坐標滿足 nxxx 21,0*)*,*,(21 nxxxgZ驗算點法示意M驗算點法4.2.2設計驗算點法求可靠指標n理論推導理論推導確定驗算點位置確定驗算點位置進而求可靠指標求可靠指標n當線性化點選在設計驗算點當線性化點選在設計驗算點xi*(i=1,2,n)上時上時 nZ的均值為（求的均值為（求Z的數學期望得）的數學期望得）n由于設計驗算點在失效邊界上，故有由于設計驗算點在失效邊界上，故有 n則有則有)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ )6()(),(*1*2*1xiniixnZxgxxxxg

12、i )7(0),(*2*1 nxxxg)8()(*1*xiniixZxgxi jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111)(21)(),(21n假設各隨機變量獨立，則可求解假設各隨機變量獨立，則可求解Z的方差：的方差： n引入分離函數式，將上面的根式線性化，得引入分離函數式，將上面的根式線性化，得n 表示第個隨機變量對整個標準差的相對影表示第個隨機變量對整個標準差的相對影響，因此稱為靈敏系數。響，因此稱為靈敏系數。 4.2.2設計驗算點法求可靠指標)9()(12*2nixixZxginixixiZxgi1*)10(i)11()(12*nixixxixixgxgii

13、nixixZxgi12)(*)5()(),(*1*2*1xiniiinxgxxxxxgZ 4.2.2設計驗算點法求可靠指標n根據可靠指標的定義，有根據可靠指標的定義，有n由于由于 ， 必有必有 n（對于所有i） )12()(1*1*nixixinixixiZZxgxxgii0)(1*nixiixxiiixxg0*xixg0*iixiixx將將 乘到分母上乘到分母上整理后得整理后得)8()(*1*xiniixZxgxinixixiZxgi1*)10()14(0),(*2*1 nxxxg)13(*iixixix或表達為：4.2.2設計驗算點法求可靠指標設計驗算點法求可靠指標n式（13）代表n個方程

14、，再加上（14）共有n+1個方程，未知數有 和 ，也是n+1個。可聯立求解。n解出設計驗算點P*（ ， ， ）及相應的n常用迭代法求解*1x*2x*nx*ix0*iixiixx)13(*iixixix或表達為：)14(0),(*2*1 nxxxg4.2.2設計驗算點法求可靠指標n計算步驟n（1）選取設計驗算點坐標的初值，一般取 n（2）由式（11） 計算 的值，其中包括 n（3）由式（13）得到 和 的關系 n（4）由式（14）解出 值 n（5）將該值代入式（13），求出 新值 n以該 新重復進行（2）-（5）計算，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時 即為所求的可靠指標， 即為所確定的

15、設計驗算點坐標。*ixixi*xixg*ix*ix*ix*ix)(fP0*iixiixx4.2.3驗算點法舉例n設極限狀態(tài)功能函數為313221321),(xxxxxxxxxgZ1x2x3x均為隨機變量，并具有如下統計信息：1,1011xx1, 522xx5 . 0, 233xx試用驗算點法計算結構的可靠指標1.取均值作為驗算點初值2, 5,10321*3*2*1xxxxxx*3*2321xxxxxg*3*1312xxxxxgi2.計算*1*2123xxxxxg2*1*22*3*12*3*2*3*21)()()()(3211xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*3*12)()

16、()()(3212xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*1*23)()()()(3213xxxxxxxxxxxx)11()(12*nixixxixixgxgii0.26390.7037-0.6597313221321),(xxxxxxxxxgZ2639. 010111*1xxx)13(*iixixix*ix3. 與 的關系7037. 05222*2xxx3298. 02333*3xxx)14(0),(*2*1 nxxxg313221321),(xxxxxxxxxgZ0*3*1*3*2*2*1xxxxxx0)32987. 02)(2639. 010()32987. 02)(70

17、37. 05()7037. 05)(2639. 010(9236. 1從而有新的*ix4924. 9*1x6464. 3*2x6344. 2*3x4.由（14）求 及新的*ix4.2.3驗算點法舉例n5.以新 進行第二次迭代，重復4直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時即為所求的可靠指標 ， 即為所確定的設計驗算點坐標*ix*ix本例第三次迭代求得8975. 18105. 9*1x6244. 3*2x6466. 2*3x8975. 18120. 9*1x6226. 3*2x6458. 2*3x第四次迭代求得即為最終結果設計驗算點法求可靠指標評述n驗算點法對極限狀態(tài)方程中服從正態(tài)分布的隨機變

18、量計算結果尚可，而非正態(tài)分布誤差較大。JC法求可靠指標n問題的提出：驗算點法對極限狀態(tài)方程中服從正態(tài)分布的隨機變量計算結果尚可，而非正態(tài)分布誤差較大。n在工程結構可靠度分析中，永久荷載一般服從正態(tài)分布，風壓、雪壓、樓面活載服從其它類型（如極值型等），截面抗力R服從對數正態(tài)分布。因此在極限狀態(tài)方程中，常包含非正態(tài)變量分布的基本變量，對于這種極限狀態(tài)方程的可靠度分析，一般要把非正態(tài)變量進行當量正態(tài)化。nJC法的基本概念就是在應用前面所述方法(驗算點法)時，將非正態(tài)的隨機變量先行“當量正態(tài)化”。nJC法是由Rackwitz-Fiessler、Hasofer-Lind等人先后提出來的，因為國際安全度聯

19、合委員會(JCSS)推薦采用這個方法而得名。 JC法求可靠指標計算計算步驟步驟n設結構的極限狀態(tài)方程為Z=g(x1，x2，xn)=0，基本變量xi的統計參數均值為 標準差為 ，(i=1，n)，則JC法的具體實施步驟加下： n（l）假定基本隨機變量的設計驗算點P*的坐標值 （一般取為 ） n（2）對基本變量xi進行當量正態(tài)化處理，計算其當量正態(tài)分布yi的統計參數 ， ,并用來代替 和 并記為n ， ( 1，n)；n(3）計算 的值，其中包括 *ixixiyiyixixiiyxiiyxiixixi*xixgnixixxixixgxgii12*)(JC法求可靠指標計算計算步驟步驟n（4） 確定 和

20、的關系 n（5）求n（6）求出 新值 n（7）以該新 重復進行（2）（5）計算 ，直到 值與上次相等或誤差不超過允許值，此時 即為所求的可靠指標， 即為所確定的設計驗算點坐標。 *ix*ix*ixiixixix*0),(*2*1 nxxxgiixixix*ixJC法計算實例n某軸心受壓短柱，承受永久荷載產生的壓力SG，汽車、人群可變荷載產生的壓力SQ，截面抗力為R。各變量的統計信息如下表，試用JC法求可靠指標及對應的失效概率。變量SGSQR分布類型正態(tài)極值I型對數正態(tài)平均值63（kN）84（kN）365.8kN）標準差5.8（kN）25.2kN）54.9（kN）JC法計算實例n1.建立極限狀態(tài)

21、方程 Z=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0n2.假定初始的設計驗算點,由已知條件得： x1*=R*=365.8；x2*=SG*=63；x3*=SQ*=84.0n3.將非正態(tài)變量SQ和R在均值處進行當量正態(tài)化處理n抗力R對數正態(tài)分布，則 6 .54)8 .3659 .54(1ln8 .3651ln(*22lnRRRVRR73.361)8 .3659 .54(18 .365ln8 .365ln1 8 .365)1lnln1 (22*/RRRVRRJC法計算實例n可變荷載SQ極值I型分布，則05089. 02 .252825. 12825. 16QiSx658.7205089. 05

22、7722. 00 .8457722. 0ixu84*QSQS5704. 0)658.720 .84(05089. 0expexp)(*QSF01630. 0)658.720 .84(05089. 0exp)658.720 .84(05089. 0exp05089. 0)(*QSf096.2401630. 03927. 001630. 0177. 0 01630. 05704. 0 ()(1*1/QQSSfSFQ)5704. 0(096.240 .84)(1*1*/QSQSSFSQQ735.79177. 024096. 00 .84JC法計算實例n4計算inixixxixixgxgii12*)(1*xRg1*xGSg1*xQSgZ=g(R , SG , SQ)=R-SG-SQ=0212*2*2*12*)()()()(xQSxGSxRnixixSgSgRgxgQGi962.5996.248 . 56 .54)()()(2122221222QGSSR9106. 0962.591RR0967. 0962.59) 1(GGSS4019. 0962.59) 1(QQSSJC法計算實例n