《脈沖與數(shù)字電路》第十二課

1、脈沖與數(shù)字電路第十二課積分區(qū)域積分區(qū)域bax0 12yxDyxybax0 xyDxy21y 12:,DxyxaxbX-型區(qū)域1( )xy2( )xyyxODdccd1( )xy2( )xyxOyD 12:,DyxycydY-型區(qū)域bax0 12yxDyxycd1( )xy2( )xyxOyDcd1( )xy2( )xyxOyD1( )xy2( )xyyxODdc1( )xy2( )xyyxODdc( , )zf x y2( )yx1( )yxxyzab0 x0()A xO21( )( )( , )( , )bxaxDf x y dxdydxf x y dy 12,xyxaxb設(shè)D（X型）：20

2、1000,xxA xf xy dy00,:xa bA x取，則有曲邊梯形積分后先對(duì)xy 210,babxaxxxVA x dxf x y dy dx 將 換成 ，得利用平行截面面積已知利用平行截面面積已知,求立體體積的方法求立體體積的方法: 若D為（Y型）： 12,yxycyd21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydyf x y dx則積分后先對(duì)yx求二重積分的方法：求二重積分的方法： 將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分）來(lái)計(jì)算將二重積分化為兩個(gè)定積分（二次積分）來(lái)計(jì)算21( )( )( , )( , )()bxaxDf x y dxdydxf x y dyyx則先

3、 后 積分 12,xyxaxb若D（X型）： 若D不是X型（或Y型），則將D分為幾個(gè)區(qū)域，使它們?yōu)閄型（或Y型），幾個(gè)區(qū)域上的積分之和就是所給二重積分的值。1212,DDDf x y df x y df x y dDDD1D2D 例例1 計(jì)算 ，其中D是由直線y=1,x=2,及y=x所圍區(qū)域。Dxyd解法解法 1 把D看成X型域，則21123221114221()2229848xDxxydxydy dxyxxxdxdxxx DxyOyx1y x12:1,12,Dyxx解法 2 把D看成Y型域，則221222132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy DxydDOyx

4、12y2x xy例例2 計(jì)算 ，其中D是由拋物線 及直線 所圍成的區(qū)域 。Dxyd2=yx解解 把D看作Y型域y122xy2xyD2yx2:2, 12,D yxyy (4,2)yOx(1, 1)則Dxyd22222221122514632212(2)1422436558yyyyxxydx dyydyy yydyyyyy2221yydyxydx把D看作X型域 由于在0，1和1，4上下邊界的表達(dá)式不同，所以要用直線x=1將D分成兩個(gè)區(qū)域 和 2D1D2:2,Dxyx14x01x1:,DxyxyOx12DDx1(1, 1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx

5、Dxyd12DDxydxyd它們分別用以下不等式表示：例例3 求221,:,1,1DIyxy dD yx xy 所圍.112213122211112133xIdxyxy dyxydxx 若Y型: 1, 11Dxyy 122111yIdyyxy dxD1110yx:1, 11D xyx 解解 X型則積分較繁。Yxy先 后 積分，解型:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdye dxex dyye dye dye11yx0D2,:,1,0yDIe dD yx yx例例4 求 所圍成。2110yxIdxe dyyx分析 若先 后 積分，則 無(wú)法積分。例例5 交換二次

6、積分的順序1220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy分析 要將按X型域確定積分限改為按Y型域確定積分限。為此，應(yīng)根據(jù)定限的方法先將題中所給的積分限還原成平面區(qū)域D，然后再按Y型域重新確立積分限，得到二次積分。1220010120( , )( , )( , )xxyydxf x y dydxf x y dydyf x y dx解解 將所給積分限還原成D的圖形，由12DDD2012DD11xy知D是由y=x，y=2x，y=0三條直線所圍成，:2,01D yxyy于是按Y型域定限1:0,01Dyxx ，2:02,12Dyxx其中例例6 交換二次積分的順序 1110

7、001,;2,xyydxfx y dydyfx y dx故D是由 所圍成的， 于是0,1,0,1xxyyx Y:01,01,Dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,Dyxx 由二次積分限，有X型解解2:,01,D xyxx21100,yxyxdyfx y dxdxfx y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故D是由 所圍成的， 于是:,01,D yxyyY型 102,yydyf x y dx由的積分限，有000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7f xc 設(shè)在上連例續(xù)，證明證證 由

8、等式左邊，得:0,0Dxyyc改變積分順序，得:,0D xycxc左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，二二 極坐標(biāo)計(jì)算二重積分極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 極坐標(biāo)是由極點(diǎn)極點(diǎn)和極軸極軸組成，坐標(biāo) ，其中r為點(diǎn)p到極點(diǎn)o的距離， 為or到op的夾角。 r =常數(shù)；（從o出發(fā)的同心圓） =常數(shù)；（射線）Or( , )p r, r0,02r cossinxryr直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為：面積元素為（矩形）( , )( , )DDf x y dF rrdrd由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得

9、到二重積分在極坐標(biāo)下的形式,cos, sinF rf rr其中,Df x y ddrd dr底高rd弧長(zhǎng)于是得到極坐標(biāo)下，二重積分化為二次積分的公式：21( )( )( , )( , )DF rrdrdF rrdr d 12( )( ),r AO1( )r 2( )r DAOD2( )r 1( )r 若積分區(qū)域 D：21( )( )( , )( , )DF rrdrddF rrdr 或?qū)懽魅魳O點(diǎn)在D的內(nèi)部則D可以用不等式 ， 表示，這時(shí)有0210( )r 2( )00( , )( , )DF rrdrddF rrdr AOD( )r 解解 利用 把積分區(qū)域的邊界曲線化為極坐標(biāo)形式：2,:11,

10、081Df x y dDxyxx 將 化為極坐標(biāo)例下的二次積分.cossinxryr11,sincosrr圓：直線：1210sincos1:1,0sincos2,cos , sinDDrf x y ddf rrrdr1r 1sincosrxy11于是例例9 計(jì)算 ，其中D是以原點(diǎn)為圓心，半徑為 的圓域。dxdyeDyx22解解 D可以表示成0,02ra222222222000020121(1)(1)2xyrDDarraaaedxdyerdrdderdrededea 問(wèn)題本題為何不用直角坐標(biāo)計(jì)算？如何計(jì)算廣義積分20?xedx解解 用極坐標(biāo)，222222sin,:1,00014DxydDxyxyxy 計(jì)例算 :12,2Dr2122122sinsin21rdrdrrdrdrd 原積分0 x21y 例例11 計(jì)算 其中D為 和x軸所圍成的區(qū)域，并說(shuō)明該積分的幾何意義。 2224Daxy dxdy，222(0)xyaxy 解解 將 化為 ，可見(jiàn)D是一個(gè)半圓域。222()xaya222xyaxx02 cosrayaD2a02 cos2ra ，0所以D可表示為2 cosra圓的方程表示成極坐標(biāo)形式：于是，利用極坐標(biāo)得：222222 cos2220033320444882(1 sin)3323DDaax