第2章 穩(wěn)定電場

1、第二章 穩(wěn)定電場 1 電荷守恒定律 宏觀實驗表明：一個孤立系統(tǒng)的電荷總量是保持不變的，即在任何時刻，系統(tǒng)中的正電荷與負電荷的代數(shù)和保持不變。稱之為電荷守恒定律。電荷守恒定律表明，如果孤立系統(tǒng)中某處在一個物理過程中產(chǎn)生（或消失）了某種符號的電荷，那么必有相等量的異號電荷伴隨產(chǎn)生（或消失）；如果孤立系統(tǒng)中總的電荷量增加（或減?。?，必有等量的電荷進入（或離開）該孤立系統(tǒng)。2 .1 電荷與電流電荷與電流2 .1 電荷與電流電荷與電流 單位時間內(nèi)，通過界面進入V內(nèi)部的電荷量為： 該電荷量等于V內(nèi)單位時間內(nèi)的電荷增加量，即： sdqsJdVdtddqVssJVsnJ0tJ孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng)2 .2 Coul

2、omb定律與靜電場定律與靜電場 1 Coulomb定律 真 空 中 任 意 兩 個 靜 止 點電荷q1 和q2之間作用力的大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1 和q2連線方向，同性電荷相互排斥，異性電荷相互吸引。31201221124RqqRF2 .2 Coulomb定律與靜電場定律與靜電場 實驗還證明，真空中多個點電荷構(gòu)成的電荷體 系，兩兩間的作用力， 不受其它電荷存在與否的影響。多個電荷體系中某個電荷受到的作用力是其余電荷與該電荷單獨存在時作用力之矢量代數(shù)和，滿足線性疊加原理。ijijijjiiRqq304RFqi2 .2 Coulomb定律與靜電場定律與靜電場

3、2 電場強度 實驗證明，任何電荷在其所在空間激發(fā)出對置于其中的電荷有力的作用的物理量，稱為電場。由靜止電荷激發(fā)的電場稱為靜電場。人們正是通過對電磁中電荷受力的特性認識來研究電場的。電荷之間的作用力是通過電場來傳遞的。因此電場對電荷的作用力可以用于定義電場。2 .2 Coulomb定律與靜電場定律與靜電場 空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力： 根據(jù)上述定義很容易得到真空中靜止點電荷q激發(fā)的電場為： 000limqqrFrE 304RqRrE2 .2 Coulomb定律與靜電場定律與靜電場 如果電荷是連續(xù)分布，密度為 。它在空間任意一點產(chǎn)生的電場為： )(rd

4、VRRVViiiii301304)(4)()(RrRrrEiiV)(r小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場)/()()(lim)(30mCdVdqVqVr rr rr r )/()()(lim)(20mCdSdqSqSr rr rr r)/()()(lim)(0mCdldqlqlr rr rr r體電荷密度面電荷密度線電荷密度2 .2 Coulomb定律與靜電場定律與靜電場3 電荷密度QPPQPQdqAUlE0QPrrrdrq204)11(40QPrrqP、Q兩點間的電位差，與P點和Q點的位置有關(guān)，與所取路徑無關(guān)。QPPQdqAlE02 .3 電位電位將q0從P點移到Q點，電場力所做的總功為APQ與q0

5、的比值為沿某一路徑由P點到Q點的電位差1 電位差如果取Q點為電位參考點，則P點的電位定義為QPPdUlE參考點Q點的電位為00QQQdUlE選取無限遠處作為參考點，任意點P的電位為PPdUlE 2 .3 電位電位2 電位靜電場中電位差與電位212121PQQPPPPPdddUlElElE2121PPQPQPUUddlElE電位是點函數(shù)，“對一點談電位，對兩點談電壓”。靜電場力所做的功與路徑無關(guān)，但每點的電位則還與參考點的位置有關(guān)。2 .3 電位電位2 .4 靜電場的性質(zhì)靜電場的性質(zhì)3 靜電場的性質(zhì) 性質(zhì)1 靜電場是有源場， 。 電荷是靜電場的通量源。利用Gauss定理得到 稱為靜電場的Gaus

6、s定律。靜電場的Gauss定律表明靜電場的力線發(fā)源于正電荷，終止于負電荷。在沒有電荷的空間中，靜電場的力線是連續(xù)的。 0rrE dVddVVVsrsrEE012 .4 靜電場的性質(zhì)靜電場的性質(zhì)2 .4 靜電場的性質(zhì)靜電場的性質(zhì)性質(zhì)2 靜電場是無旋場 014141030dVRdVRVVrrRrE由于標量場的梯度是無旋場，所以靜電場又可以表示為某個標量場的梯度。 rrE真空中xy平面上一半徑為a的圓形線電荷（線密度為 ），軸線上離圓心z處的P點的電位及電場強度。zxyaPodqzR1 1/ /2 2 22zaRaddq2/1220)(2zaa2/12200)(4ad4dUzaRdq202/1220

7、)(4UUzaaddkkeeE3/2220)z(a2azzU- -電荷面密度為 ，半徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。在圓盤上取一半徑為r寬為dr的圓環(huán)，則dq為.2rdrdsdq 1/22201/2220)z(r2rdr)z(r4dqdUa01/2220a01/2220)z(r2)z(r2rdrdUU z 1/2220)z(a2P圓電荷在軸線上P點產(chǎn)生的電位整個圓盤上的電荷在場點P引起的電位為由于電場強度只有沿Z軸方向有分量，可得電場強度為kkeeE1/2220)z(az12zU如果圓盤的半徑趨向無限大（ ），即成一無限大帶電平面，則它所引起的電場強度為 akeE02P電荷面密度為 ，半

8、徑為a的均勻帶電圓盤軸線上的電場強度。2 .5 電力線的性質(zhì)電力線的性質(zhì)PS性質(zhì)2：電力線不構(gòu)成閉合曲線。ldlE00E性質(zhì)1：電力線發(fā)自正電荷，終于負電荷。任意兩條電力線不會相交。電場是無旋場。等位線等位線（等位面和紙平面相交而得）常量 ),(zyx由電位相等的點形成的曲面，稱為等位面，等位面的方程為：等位線的疏密反映場強的大小。等位線的性質(zhì)：等位線處處與電力線垂直。等位線的切線等位線PEPdl2 .5 電力線的性質(zhì)電力線的性質(zhì)正點電荷正點電荷兩個等量正點電荷兩個等量正點電荷有限長線電荷有限長線電荷無限長線電荷無限長線電荷帶電金屬球和一個不帶電金屬球帶電金屬球和一個不帶電金屬球?qū)щ婓w（即導(dǎo)體

9、）導(dǎo)電體（即導(dǎo)體）絕緣體（電介質(zhì)）絕緣體（電介質(zhì)）靜電場中導(dǎo)體性質(zhì)靜電場中導(dǎo)體性質(zhì)導(dǎo)體內(nèi)的電場強度應(yīng)為零。導(dǎo)體是一個等位體。在導(dǎo)體表面上任何一點的電場強度方向一定要與導(dǎo)體表面垂直。導(dǎo)體如果帶電，電荷只能分布于表面。2 .6 導(dǎo)體和電介質(zhì)導(dǎo)體和電介質(zhì)電偶極子電偶極子電偶極子：指相距很近的兩個符號相反而量值相等的電荷。l遠小于觀測距離r。+-qqlr1r2rP常用電偶極矩p來表征其特性：l lp pq其中l(wèi)的方向是由負電荷指向正電荷2 .6 導(dǎo)體和電介質(zhì)導(dǎo)體和電介質(zhì)真空中置于真空中置于z軸上兩個點電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場。軸上兩個點電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場。10r4qq)(20r4qq)(

10、 )rrrr(4qq)(q)(21120+q和-q分別在場點P引起的電位為根據(jù)迭加原理，由電偶極子在P點引起的總電位為當r很大時(即rd)，r1、r2和r三者近乎平行，有dcosrr12 221rrr 20r41U0rpqdcosq00rdrp20rcos41Up真空中置于真空中置于z軸上兩個點電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場。軸上兩個點電荷形成的電偶極子產(chǎn)生的電場。電偶極子的場圖電偶極子的場圖均勻媒質(zhì)均勻媒質(zhì) 媒質(zhì)的特性不因空間坐標（x,y,z）而變。各向同性媒質(zhì)各向同性媒質(zhì) 媒質(zhì)的特性不因場量的方向而變。線性媒質(zhì)線性媒質(zhì) 媒質(zhì)的參數(shù)不隨場量的量值而變。2 .7 均勻各向同性線性煤質(zhì)均勻各向同性

11、線性煤質(zhì)極性分子極性分子：取向極化極化結(jié)果：束縛電荷的分布發(fā)生變化，在電介質(zhì)內(nèi)部 或表面形成極化電荷。非極性分子非極性分子：位移極化2 .8 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化極化強度極化強度P P：單位體積內(nèi)的等效偶極矩（該體積內(nèi)各電偶極子偶極矩的矢量和）。Vlim0VpP在各向同性的線性介質(zhì)中有EP0為介質(zhì)的極化率。2 .8 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)的極化極化電荷的體密度PP極化電荷的面密度0nPPVSPPdSdV41)(rrrrr0VS3P3P)dS()dV(41)(rrrrrrrrrE0極化電荷引極化電荷引起的電位和起的電位和電場強度電場強度介質(zhì)內(nèi)部同時介質(zhì)內(nèi)部同時有自由電荷和有自由電荷和電介質(zhì)存在電

12、介質(zhì)存在1 1）真空中）真空中無限大真空中的點電荷q，作一任意半徑r的球面包圍該點電荷，則由該球面穿出的E通量應(yīng)為：0S20SqdSr4qd SE如果包圍點電荷的是一個任意形狀的閉合面，則由該閉合面穿出的E通量仍然等于0q閉合面內(nèi)包圍了n個點電荷，則n1k0kSn1kSkn1kkSqdd)dSESESE（2 .9 高斯通量定理高斯通量定理2 .9 高斯通量定理高斯通量定理閉合面內(nèi)是連續(xù)分布電荷的情況，則0SqdSEe結(jié)論：在真空電場中，由任意閉合面穿出的E通量 等于該閉合面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和除以真空的介電常數(shù) 。0e2 2）電介質(zhì)中）電介質(zhì)中)(1d0SPqqSE自由電荷為321qqqq極化電

13、荷量為SSSSSPVVVVPPdSdVqSP- d3213212 .9 高斯通量定理高斯通量定理0SdSdSqPSEqS0dSP)E(SqdSD電位移電位移則PED02 .9 高斯通量定理高斯通量定理令高斯通量定理：在靜電場（無論是在真空還是介質(zhì)高斯通量定理：在靜電場（無論是在真空還是介質(zhì)中，也無論介質(zhì)均勻與否）中，由任意閉合面穿出中，也無論介質(zhì)均勻與否）中，由任意閉合面穿出的的D D通量等于該面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和。通量等于該面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和。一般情況一般情況PED0EP0各向同性的線性電介質(zhì)各向同性的線性電介質(zhì)ED0 )1 ( ED )1 (0r0 ：介電常數(shù) ：相對介電常數(shù)0r/ 2

14、.10 電位移電位移無限大均勻介質(zhì)中無限大均勻介質(zhì)中ED 則SqdSESqd/SE結(jié)論結(jié)論：當場源的自由電荷分布相同時，無限大均勻介質(zhì)中的電場較無限大真空中相應(yīng)的電場要小 倍。r無限大均勻介質(zhì)中點電荷引起的電場強度和電位0rE2r4qr4qU2 .10 電位移電位移D D線和線和P P線線D線由正的自由電荷發(fā)出，終止于負的自由電荷。SqdSDSPqdSPP線由負的極化電荷發(fā)出，終止于正的極化電荷。2 .10 電位移電位移介質(zhì)中的D與空氣中的相同介質(zhì)中的E小于空氣中的電場強度極化電荷在介質(zhì)中所引起的P線埋在介電常數(shù)為埋在介電常數(shù)為的均勻無限電介質(zhì)中的的均勻無限電介質(zhì)中的金屬球的金屬球的場強場強E

15、。r以半徑r作球面S（高斯面），S上各點的D大小相等。0SDqddSS SD02qDr4204rqD 0rE204rq真空中兩個同心帶電金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中兩個同心帶電金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2電場強度電場強度1Rr 0qd0S1SE0E1 故21RrR 02rE201r4q0122qEdSEd24rSS2SE故222RRrR 0qqd011S3SE0E3 故q1-q1q1+q222RRr 04rE2021r4qq02144qqEdSEd24rSS4SE真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。q1-

16、q1q1+q2真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。電位電位選取無窮遠處為參考點22RRr rqqdrrqqdrP021202144UlE404rE2021r4qq)(4U22021(2RRqq外）外球殼外表面的電位為：真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。q1-q1q1+q2222RRrR 2222rEEU43RRRRrPddrdlE)(4U220212RRqq（內(nèi)）外球殼內(nèi)表面的電位為：)(4U0220212RRqq（外）真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中

17、兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。)211(4U2221011RRRRq（內(nèi)）22EU2RrPdrdlE12RrR )(4)11(422021201RRqqRrq內(nèi)球殼的電位為：q1-q1q1+q2真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。真空中兩個同心帶點金屬球殼產(chǎn)生的電場強度及電位。q1-q1q1+q21Rr 111UUEU1RrPdrdlE)211(4222101RRRRq電位電位電場強度電場強度真空中體密度為真空中體密度為、半徑為、半徑為R的均勻帶電球體，球內(nèi)、外的的均勻帶電球體，球內(nèi)、外的電場強度及電位。電場強度及電位。 R帶電球電場強度和電位電場強度和電位 Rr 0r

18、E013r高斯通量定理0dVS1SE0321344ErrRr 0321344ERr0rE20323rRrRdrEr03223URrdrE211UU)25 . 1 (32202RrR電場強度電場強度電位電位 電位函數(shù)及其滿足的方程電位函數(shù)及其滿足的方程 靜電場滿足方程為 引入電位函數(shù) ，滿足的方程 如果 Poisson方程變?yōu)?Laplace方程 0rE rrD r rr2V r 0rS2 .11 靜電場方程靜電場方程（PoissonPoisson方程）方程） Poisson方程或Laplace方程的求解，必需知道位函數(shù)所在區(qū)域邊界上的狀態(tài)，即邊界條件。 所謂邊界條件即電場在介質(zhì)交界面兩側(cè)所滿足

19、的方程。 可直接從靜電場滿足的方程（積分）導(dǎo)出。sn12DDssnnn11222122012EEn 012srr2 .11 靜電場邊界條件靜電場邊界條件2 .12 導(dǎo)體的邊界條件導(dǎo)體的邊界條件導(dǎo)體內(nèi)存在大量可自導(dǎo)體內(nèi)存在大量可自由移動的電子；宏觀由移動的電子；宏觀上呈現(xiàn)電中性上呈現(xiàn)電中性E+達到靜電平衡狀態(tài)達到靜電平衡狀態(tài)導(dǎo)體內(nèi)部電場為零導(dǎo)體內(nèi)部電場為零附加場沒有外加電場沒有外加電場2 .12 導(dǎo)體的邊界條件導(dǎo)體的邊界條件電場中的導(dǎo)體電場中的導(dǎo)體： 導(dǎo)體內(nèi)部電場為零； 導(dǎo)體邊界面上電場的切向分量為零； 導(dǎo)體為等勢體； 電荷只分布在導(dǎo)體的表面sn（常數(shù)）0SsQs導(dǎo)體不帶電，導(dǎo)體所帶電荷量，0d

20、 均勻介質(zhì)空間中的靜電場為確定邊界條件下Poisson方程的解，即 |SSsSS|nnrrrr2222或2 .13 靜電場的定解問題靜電場的定解問題 根據(jù)能量守恒原理，靜電場的能量等于產(chǎn)生電荷靜電場體在建立過程中，外力克服靜電力做功的總和。 第一個小電荷元第一個小電荷元自從無窮遠處移自從無窮遠處移到點，外界克服到點，外界克服電場力做功為零電場力做功為零 第二個小電荷元自從無窮遠處移第二個小電荷元自從無窮遠處移到到r r2 2點時，外力克服電場力所作點時，外力克服電場力所作的功是的功是 1222122dddd2VVwrrLEr2 .14 靜電場的能量和能量密度靜電場的能量和能量密度 VVVVVW

21、Vnjjiijiined21dlimddd0111233313331222rrrrrr 利用關(guān)系式 D和 rrE VVVVWVSVVVed21dd21d21d21rErDSrDrrErDrrDrr靜電場能量既可以通過電荷的分布計算，也可以通過電場計靜電場能量既可以通過電荷的分布計算，也可以通過電場計算，但能量密度函數(shù)只能表示為電場的函數(shù)。算，但能量密度函數(shù)只能表示為電場的函數(shù)。能量密度函數(shù)兩者都可作為靜電場能量計算公式 將靜電場能量公式應(yīng)用到導(dǎo)體系，由于導(dǎo)體的電位為常數(shù)，從而得到導(dǎo)體系的能量為 導(dǎo)體系相對于同一參考點的電位 導(dǎo)體系的電荷量 iissiVeqsVWi21d21d21rr2 .14

22、 靜電場的能量和能量密度靜電場的能量和能量密度定義：空間分布的電荷在電場作用下做定向運 動形成電流，隨時間恒定的電流稱為恒定電流，該空間中存在的電場就是恒定電場。內(nèi)容： 基本矢量 場方程 場的性質(zhì)3.1 穩(wěn)定電場穩(wěn)定電場3.2 電流與電流密度電流與電流密度 1 1）電流）電流電荷的定向運動形成電流。習慣把正電荷運動的方向規(guī)定為電流的方向。電流方向電流方向2 2）電流強度）電流強度)(AdtdqI 單位時間內(nèi)通過某一橫截面的電量，叫做該截面的電流強度。簡稱為電流。（3 3）恒定電場的基本物理量恒定電場的基本物理量電流密度電流密度定義：定義：設(shè)通過設(shè)通過S S的電流為的電流為I I，則該點處的電流

23、密度為，則該點處的電流密度為 ：20/limmAdSdISIS 方向：方向：正正電荷運動的方向電荷運動的方向電流密度電流密度 （4 4）歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式在各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度與電場強度間的關(guān)系為：在各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流密度與電場強度間的關(guān)系為： EjCCjEr或或 )/(2mAC(S/m).( mr傳導(dǎo)電流密度傳導(dǎo)電流密度 電導(dǎo)率電導(dǎo)率 電阻率電阻率 歐姆定律的微分形式歐姆定律的微分形式 幾種材料在常溫下的電阻率和電導(dǎo)率幾種材料在常溫下的電阻率和電導(dǎo)率 2-2 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場的基本方程導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場的基本方程 電荷守恒定律電荷守恒定律（1 1）導(dǎo)電媒

24、質(zhì)中恒定電場基本方程的積分形式導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場基本方程的積分形式tqSjdSC0 tq0SjdSC恒定電場中的傳導(dǎo)電流連續(xù)性方程恒定電場中的傳導(dǎo)電流連續(xù)性方程 電場強度向量的環(huán)路線積分電場強度向量的環(huán)路線積分如果所取積分路線經(jīng)過電源：如果所取積分路線經(jīng)過電源： 0)(lElElEEdddlelle如果所取積分路線不經(jīng)過電源：如果所取積分路線不經(jīng)過電源：0 lE dl 導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）積分形式的基本方程導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）積分形式的基本方程0 SdSC0 lE dl E E與與C C的關(guān)系的關(guān)系在各向同性媒質(zhì)中，對于電源以外的區(qū)域有：在各向同性媒質(zhì)中，對于電源以外的區(qū)域有：

25、E C在各向同性媒質(zhì)中，對于電源以內(nèi)的區(qū)域有：在各向同性媒質(zhì)中，對于電源以內(nèi)的區(qū)域有：)eEE (C（2 2）導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場基本方程的微分形式導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場基本方程的微分形式 由散度定理得由散度定理得00 dVdVCSCS散度定理散度定理0 C結(jié)論：結(jié)論：恒定電場是無散（源）場，因此電流線是連續(xù)的，既無始端也無終端。恒定電場是無散（源）場，因此電流線是連續(xù)的，既無始端也無終端。 由斯托克斯定理得由斯托克斯定理得0)(0SElEddsl斯托克斯定理斯托克斯定理0 E結(jié)論：結(jié)論：恒定電場是無旋場。恒定電場是無旋場。導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）微分形式的基本方程導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場（電源外）微

26、分形式的基本方程0 C0 E 恒定電場是無源無旋場。恒定電場是無源無旋場。（3 3）恒定電場中的拉普拉斯方程恒定電場中的拉普拉斯方程在恒定電場中有在恒定電場中有 E 有有 和和 E C0 C 0 EEE)(C0 均勻媒質(zhì)：均勻媒質(zhì)： E0-E )2(C即：即： 恒定電場的拉普拉斯方程恒定電場的拉普拉斯方程0 2 2-3 分界面上的邊界條件分界面上的邊界條件（1 1）討論兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上必須滿足的邊界條件討論兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上必須滿足的邊界條件 恒定電場中恒定電場中E E必須滿足的邊界條件必須滿足的邊界條件0 lE dl021 lElEttttEE21 結(jié)論：結(jié)論：恒定電場中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電場強度的切線分恒定電場中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的電場強度的切線分 量是連續(xù)的。量是連續(xù)的。12 恒定電場中恒定電場中C C必須滿足的邊界條件必須滿足的邊界條件0 SdSC021 SSnCnCnCnC21 結(jié)論：結(jié)論：恒定電場中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的傳導(dǎo)電流密度的法恒定電場中，兩種導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上的傳導(dǎo)電流密度的法 線分量是連續(xù)的。線分量是連續(xù)的。12 恒定電場中的折射定律恒定電場中的折射定律ttEE21 nCnC21 E C2211