函數(shù)的極值與最值

1、§4.3 函數(shù)的極值與最值教學(xué)內(nèi)容1.函數(shù)極值的概念和必要條件；2.函數(shù)的極大值和極小值；3.函數(shù)的最大值和最小值.教學(xué)目的1.熟練掌握函數(shù)極值的概念和必要條件，熟練掌握極值存在的第一、第二充分條件；2.掌握求函數(shù)的最大值和最小值方法，并熟練求解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)應(yīng)用問題中的最大最小值問題.復(fù)習(xí)1.函數(shù)增減性判別法；2.不等式的證明方法.一、函數(shù)的極值定義 設(shè)在（a,b）內(nèi)有定義，1.若存在，有f(x)<,則稱為f(x)的極大值；2.若存在，有f(x)>,則稱為f(x)的極小值.極大，極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn).注意：極值是局部的.定理1

2、若在處可導(dǎo)，且為極值，則=0.證：不妨設(shè)為極值點(diǎn)，由定義知，存在，有<0. 于是；. 故=0.注 1. 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，即=0的實(shí)根稱為f(x)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)）；2. 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；3. 若不存在，定理1失效，但可能為極值點(diǎn)；4. 由上1，2，3知，極值點(diǎn)或者為駐點(diǎn)，或者為不存在的點(diǎn).定理2 設(shè)在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，在處連續(xù)，1.若時(shí)>0,<0, 則為極大值；2.若時(shí)>0,<0,則為極小值.證1： 時(shí)>0，且在連續(xù)在上f(x)<；<0, 且在連續(xù)，在上 f(x)<.即，有<.由定義為極大值.同理可

3、證2.例1求出函數(shù)的極值.解：=，令=0得=-1，=3，（無不存在的點(diǎn)）用=-1，=3作為界點(diǎn)將定義域分區(qū)列表得（-1，3）3+0-0+極大極小故在取得極大值：；在取得極小值：.定理3 若存在，且=0，0，那么當(dāng)<0時(shí)，為極大值； 當(dāng)>0時(shí)，為極小值.注：當(dāng)，不存在或0時(shí)，第二判定法失敗，此時(shí)應(yīng)用第一充分條件或定義來判定.例如在處二階導(dǎo)數(shù)均為零，但他們分別在處取得極小，極大和無極值點(diǎn).例1的解法二,令0得1，3，12<0, 故 f(-1)=10為極大值;=12>0,故f(3)=-22為極小值.例2 求（-5）的極值和單調(diào)區(qū)間.解：1.定義域?yàn)椋?.解方程=0得，另有不存

4、在的點(diǎn)（即求出可能的極值點(diǎn)）.3. 用和2作為分界點(diǎn)將分區(qū)列表，即可得極值和單調(diào)區(qū)間.x0(0,2)2+不存在-0Y=f(x)極大值極小值極大值為；極小值為.小結(jié)：求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間步驟：1.求的定義域；2.求及方程0的全部實(shí)根和不存在的點(diǎn)；3.用為分界點(diǎn)將定義域分區(qū)列表，在表中確定在各分區(qū)間上的符號從而確定在各分區(qū)間上的單調(diào)性和極值.二、函數(shù)的最值在生產(chǎn)實(shí)踐及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等問題例如質(zhì)量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利潤最大，投入最小等等，這類問題在數(shù)學(xué)上常常歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題1.閉區(qū)間上的最大值和最小值如果函數(shù)在閉

5、區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值僅可能在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)和區(qū)間的端點(diǎn)處取得因此為了求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值，可先求出函數(shù)在內(nèi)的一切可能的極值點(diǎn)（所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）處的函數(shù)值和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值的大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值例3 求函數(shù)在上的最大值和最小值解 當(dāng)時(shí)，由得，為不存在的點(diǎn)由于所以，函數(shù)的最大值是最小值是注 1 若在一個(gè)區(qū)間內(nèi)（開區(qū)間，閉區(qū)間或無窮區(qū)間）只有一個(gè)極大值點(diǎn)，而無極小值點(diǎn)，則該極大值點(diǎn)一定是最大值點(diǎn)對于極小值點(diǎn)也可作出同樣的結(jié)論注 2 若函數(shù)在上單調(diào)增加（或減少），則必在區(qū)間的兩端點(diǎn)上達(dá)到

6、最大值和最小值 例 4 求函數(shù)在內(nèi)的最小值解在上，令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在處取得極小值由注知，函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值2.應(yīng)用舉例例 5 要做一個(gè)容積為的圓柱形罐頭筒，怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最?。拷?要使材料最省，就是要罐頭筒的總表面積最小設(shè)罐頭的底半徑為，高為，如圖35，則它的側(cè)面積為，底面積為，因此總表面積為由體積公式有 ，所以, ；令得，而因?yàn)椋际钦龜?shù)，所以因此在點(diǎn)處取得極小值，也就是最小值這時(shí)相應(yīng)的高為于是得出結(jié)論：當(dāng)所做罐頭筒的高和底直徑相等時(shí)，所用材料最省例 6 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)是其中表示產(chǎn)品件數(shù)求該企業(yè)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，平均成本達(dá)到最小？解 平均成本函數(shù)為，其定義域?yàn)閮?nèi)的整數(shù)令，得，（舍去），又因?yàn)?，所?故該企業(yè)生產(chǎn)件產(chǎn)