理論力學(xué) 第13章 虛位移原理及拉格朗日方程

1、返回總目錄Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 理論力學(xué)第三篇理論力學(xué)第三篇 動動 力力 學(xué)學(xué) 第第1313章章 虛位移原理及虛位移原理及拉格朗日方程拉格朗日方程制作與設(shè)計 賈啟芬 劉習(xí)軍 目目 錄錄Theoretical Mechanics 返回首頁 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 返回首頁Theoretical Mechanics13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容

2、第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.1 虛位移的基本概念虛位移的基本概念 .約束及其分類 （1）約束和約束方程 非自由質(zhì)點系受到的預(yù)先給定的限制稱為約束。 用解析表達式表示的限制條件稱為約束方程。 （2）約束的分類 a .幾何約束和運動約束 b .定常約束和非定常約束 c .完整約束和非完整約束 d .雙面約束和單面約束 約束方程的一般形式應(yīng)為fxyzxyzjiii1110, i1,2,n， j1,2,s Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程

3、 .自由度 廣義坐標 （1）自由度 a.設(shè)某質(zhì)點系由n個質(zhì)點、s個完整約束組成。則自由度數(shù)k為k3ns 若質(zhì)點系為平面問題，則k2ns b.設(shè)某質(zhì)點系由n個剛體、s個完整約束組成。則自由度數(shù)k為k6ns 若為平面問題，則為k3ns （2）廣義坐標 用來確定質(zhì)點系位置的獨立變參量稱為廣義坐標。在完整約束的質(zhì)點系中，廣義坐標的數(shù)目等于該系統(tǒng)的自由度數(shù)。 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.2 虛位移虛位移 虛功虛功 （）在給定的位置上，質(zhì)點系為所有約束所允許的無限小位移，

4、稱為此質(zhì)點或質(zhì)點系的虛位移。 虛位移有三個特點：第一，虛位移是約束所允許的位移；第二，虛位移是無限小的位移；第三，虛位移是虛設(shè)的位移；虛位移用ri表示，以區(qū)別于實位移dri。這里的“”是等時變分算子符號，簡稱變分符號。在虛位移原理中,它的運算規(guī)則與微分算子“d”的運算規(guī)則相同。 （2）虛功 作用于質(zhì)點上的力在該質(zhì)點的虛位移中所做的元功稱為虛功，則虛功的表達式為rFWF Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 （3）理想約束 在質(zhì)點系的任何虛位移中，如果約束力所做的虛功之和等于零，這

5、種約束稱為理想約束。則理想約束的條件可以表示為01iiniNrNW 例如：光滑面約束； 光滑鉸鏈約束； 對純滾動剛體的固定面約束； 無重鋼桿(二力桿)約束； 不可伸長的繩索約束。都是理想約束。 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.3 虛位移原理及應(yīng)用虛位移原理及應(yīng)用 （）虛位移原理：具有理想約束的質(zhì)點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：所有作用于該質(zhì)點系上的主動力在任何虛位移中所做的虛功之和等于零，即即0FWiniiFr1001iiiiiinizZyYxX 以上

6、各式也稱為虛功方程。 虛位移原理的矢量表達式為在直角坐標系的投影表達式 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 （2）虛位移原理一般可用來分析以下兩類平衡問題。 a.已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求主動力之間的關(guān)系或平衡位置。 b.已知質(zhì)點系處于平衡狀態(tài)，求其內(nèi)力或約束力。在此情況下，需要解除對應(yīng)的約束，用相應(yīng)的約束力代替，使待求的內(nèi)力或約束力“轉(zhuǎn)化”為主動力。 （3）用廣義力表示質(zhì)點系的平衡條件 具有完整、雙面、定常的理想約束的質(zhì)點系，在給定位置保持平衡的必要和充分條件是：對應(yīng)于每一個

7、廣義坐標的廣義力均等于零，即即Qh0 h1,2,k 直角坐標系下的廣義力表達式為hizihiyihixinihqzFqyFqxFQ1jFjqWQ也可用幾何法表示為 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.413.1.4平衡穩(wěn)定性的概念平衡穩(wěn)定性的概念 在保守系統(tǒng)中： (1)受到微小的擾動而偏離平衡位置后，它能返回到原平衡位置，這種平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡。 (2)受到微小的擾動后，再也不能回到原平衡位置，這種平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡。 (3)不論在哪個位置，總是平衡的，這種平衡

8、狀態(tài)稱為隨遇平衡。0ddOqqqV 單自由度系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性的判別方法： 如果質(zhì)點系在坐標q=qo的位置上是平衡的，那么它的勢能具有極值，即 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程若dd2VqqqO20dd2VqqqO20若穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡則該系統(tǒng)處于隨遇平衡狀態(tài)。 dd4Vqq qO40dddddd234VqVqVqq qq qq qOOO2340若穩(wěn)定平衡狀態(tài)反之，則為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。若dd2VqqqO20 則需要分析更高的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)的正、負性質(zhì)，才能判別平衡的穩(wěn)定性。 若 T

9、heoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.5 動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程 在具有理想約束的質(zhì)點系中，在任一瞬時，作用于各質(zhì)點上的主動力和虛加的慣性力在任一虛位移上所做虛功之和等于零，即01iiiiniramF01iiiziiiiyiiiixinizzmFyymFxxmF 這就是動力學(xué)普遍方程（也稱為達朗貝爾拉格朗日方程）。 寫成直角坐標系上的投影式為在動力學(xué)普遍方程中不包含約束力。 Theoretical Mechanics 返回首頁13.1 13.1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 第

10、第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13.1.6 13.1.6 拉格朗日方程拉格朗日方程 將達朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立了動力學(xué)普遍方程，避免了理想約束力的出現(xiàn)，再將普遍方程變?yōu)閺V義坐標形式，進一步轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰啃问?，可?dǎo)出第二類拉格朗日方程，實現(xiàn)用最少數(shù)目的方程描述動力系統(tǒng)，即 這是一個方程組，方程的數(shù)目等于質(zhì)點系的自由度數(shù)，稱之為第二類拉格朗日方程，簡稱為拉格朗日方程。它揭示了系統(tǒng)動能的變化與廣義力之間的關(guān)系。 hhhQqTqTtddh=1,2,k若引入拉格朗日函數(shù)： ),1,2,( 0 )(ddkjqLqLtjj保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。VTL 返回首頁The

11、oretical Mechanics 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 Theoretical Mechanics 返回首頁13.2 13.2 基本要求基本要求 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程13.2 基本要求基本要求 .對約束方程、理想約束和虛位移有清晰的概念。 .會計算虛位移的關(guān)系（幾何法、虛速度法、變分法）。能正確地運用虛位移院里求解物系的平衡問題。 .對廣義坐標、自由度、廣義力和廣義坐標形式的虛位移原理有初步的理解，并會計算廣義力。 .理解動力學(xué)普通方程的基本概念。能正確運用動力學(xué)普通方程解決動力學(xué)問題。 .能正確運用拉格朗

12、日方程求解動力學(xué)問題，并判斷物體運動的穩(wěn)定性。 返回首頁Theoretical Mechanics 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 Theoretical Mechanics 返回首頁13.3 13.3 重點討論重點討論 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程13.3 重點討論重點討論 用虛位移原理求解質(zhì)點系的平衡問題，其實質(zhì)是利用動力學(xué)中虛功的概念。對于理想約束系統(tǒng)，其約束力不包括在虛功方程中，虛功方程中只包含質(zhì)點系所受的主動力（包括解除約束按主動力處理的約束力）。所以能夠容易地求解出平衡時所受主動力之間的關(guān)系，這是虛位移原理最大的優(yōu)點

13、。 在一般問題中，虛功方程可比較容易的寫出，而關(guān)鍵的問題是找出質(zhì)點系中各力作用處相應(yīng)的虛位移之間的關(guān)系。 動力學(xué)普通方程是首先利用達朗貝爾原理在質(zhì)點系上加上慣性力，再利用虛位移原理求解動力學(xué)問題的一種方法，拉格朗日方程是在其基礎(chǔ)上推導(dǎo)出的結(jié)果，利用拉格朗日方程求解動力學(xué)問題，其關(guān)鍵問題是正確地選擇廣義坐標，并寫出用廣義坐標表示的動能和勢能表達式，其他問題就是嚴格的數(shù)學(xué)求解問題了。它對于解決多自由度的動力學(xué)問題，提供了簡便的方法，但物理意義不明確。 返回首頁Theoretical Mechanics 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 Theoretical Mech

14、anics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-1 橢圓規(guī)機構(gòu)，連桿橢圓規(guī)機構(gòu)，連桿AB長長l，鉸鏈為光滑的，求在，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力大小圖示位置平衡時，主動力大小P和和Q之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)的所解：研究整個機構(gòu)。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。有約束都是完整、定常、理想的。 1 1、虛速度法：使、虛速度法：使A A發(fā)生虛發(fā)生虛位移位移 ，B的虛位移的虛位移 ，則，則由虛位移原理，得虛功方程：由虛位移原理，得虛功方程：ArBr0)tg ArQ(P由于由于 得得

15、0Ar tgQP0 0 BAFrQrPW cossinBArr虛位移關(guān)系（投影定理）虛位移關(guān)系（投影定理）代入代入虛功方程得虛功方程得 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 2 2、變分法、變分法 由于系統(tǒng)為單自由于系統(tǒng)為單自由度，取由度，取 為廣義坐標。為廣義坐標。cos sinsin coslylxlylxABAB由于由于 ，故，故 0 tanQP 0)sincos( lQP00BxQyPWAF由虛位移原理（直角坐標投影形式）由虛位移原理（直角坐標投影形式）將虛位移關(guān)系代入將虛位

16、移關(guān)系代入虛功方程得虛功方程得 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-2 圖示滑塊圖示滑塊D和彈簧套在光滑直桿和彈簧套在光滑直桿AB上，已知上，已知 0 時，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為時，彈簧等于原長，彈簧剛度系數(shù)為5kN/m。求在任意位置角。求在任意位置角 平衡時，應(yīng)加多大的力偶平衡時，應(yīng)加多大的力偶M？ 解：解除彈簧約束，用彈性力解：解除彈簧約束，用彈性力F、F 代替，設(shè)機構(gòu)發(fā)生虛位移代替，設(shè)機構(gòu)發(fā)生虛位移 FF00rrFMWF根據(jù)虛位移原理根據(jù)虛位移原理 D點的虛位

17、移應(yīng)滿足點的合成點的虛位移應(yīng)滿足點的合成運動的幾何關(guān)系運動的幾何關(guān)系 tanererrADrcos3 . 0 3 . 0cos3 . 0ADkF3sec)cos1 (sin450 MNm 虛位移之間的關(guān)系，利用了點的合成運動中有關(guān)速度的概念。所以此虛位移之間的關(guān)系，利用了點的合成運動中有關(guān)速度的概念。所以此法稱為法稱為虛速度法虛速度法。一般應(yīng)用于有剛體平面運動、點的合成運動的過程中。一般應(yīng)用于有剛體平面運動、點的合成運動的過程中。 將以上關(guān)系代入虛功方程將以上關(guān)系代入虛功方程 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗

18、日方程虛位移原理及拉格朗日方程例例13-3 多跨靜定梁，求支座多跨靜定梁，求支座B處約束力。處約束力。 解：將支座解：將支座B 除去，代入相應(yīng)的約束力除去，代入相應(yīng)的約束力 ，并發(fā)生虛位移。，并發(fā)生虛位移。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211根據(jù)虛位移原理（幾何法）根據(jù)虛位移原理（幾何法）0FW96118111211121614 BCBEBGBrrrrrrr 811 , 211BCBrrrrmPPRB961181121 21由由虛位移幾何關(guān)系虛位移幾何關(guān)系幾何法一般應(yīng)用于虛位移的幾何關(guān)系容易畫出的情況下。幾何法一般應(yīng)用于虛位移的幾何關(guān)系容易畫出的情況下。 Theo

19、retical Mechanics13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-4 在圖示的機構(gòu)中，在圖示的機構(gòu)中，AEBD2l，DHEHl。彈。彈簧剛度系數(shù)為簧剛度系數(shù)為k，彈簧的原長為，彈簧的原長為l。鉸鏈。鉸鏈H上作用力上作用力FH，并使該，并使該機構(gòu)處于靜止平衡狀態(tài)，試確定力機構(gòu)處于靜止平衡狀態(tài)，試確定力FH與桿件、水平線的夾角與桿件、水平線的夾角 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 解：取解：取 為廣義坐標。解除彈簧為廣義坐標。解除彈簧約束，用相應(yīng)的彈性力約束，用相應(yīng)的彈性力F、F 代替，代替，并視之為主動力，如圖所示。并視之為主動

20、力，如圖所示。 根據(jù)虛位移原理根據(jù)虛位移原理 0 0HHEDFyFxFxFW主動力作用點的坐標為主動力作用點的坐標為sin3cos20lylxxHEDcos3sin20lylxxHED變分得變分得 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 彈簧彈簧DE在圖示位置的長度為在圖示位置的長度為2lcos ，其原長為其原長為l，伸長量，伸長量 2l cos l(2cos 1)l，于是彈簧作用于，于是彈簧作用于D、E上的上的拉力的大小為拉力的大小為 1cos2klkFF0cos3sin1cos22

21、 00cos3sin1cos22HHFkllFkltan1cos232klFH將以上關(guān)系代入虛功方程將以上關(guān)系代入虛功方程 變分法一般應(yīng)用于力的投影、力的作用點的坐標容易用廣變分法一般應(yīng)用于力的投影、力的作用點的坐標容易用廣義坐標表示的情況下。義坐標表示的情況下。 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-5 圖示為三鉸拱支架，求由于不對稱載荷圖示為三鉸拱支架，求由于不對稱載荷F1和和F2作作用在鉸鏈用在鉸鏈B處所引起的水平約束力處所引起的水平約束力FBx。 解：解除鉸鏈解：解

22、除鉸鏈B水平方向的約束，水平方向的約束，以約束力以約束力FBx代替。代替。 設(shè)系統(tǒng)發(fā)生一虛位移，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生一虛位移， A， rO， xB， C。Bx根據(jù)虛位移原理根據(jù)虛位移原理 ：0FW 012AACCCBxCFmFmFm0 2 212ACCBxaFbhFhF即即 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 結(jié)論：對于一些定點轉(zhuǎn)動和平面運動的剛體，采用作結(jié)論：對于一些定點轉(zhuǎn)動和平面運動的剛體，采用作用于該剛體上的主動力對轉(zhuǎn)軸或瞬時速度中心的力矩與瞬時用于該剛體上的主動力對轉(zhuǎn)軸或瞬時速度中心

23、的力矩與瞬時轉(zhuǎn)動虛位移的乘積來計算虛功是較為簡便的轉(zhuǎn)動虛位移的乘積來計算虛功是較為簡便的 aFbhFhFBx12221由于由于AO=CO，因此因此 A C， Theoretical Mechanics13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 解：（解：（1 1）解法一：考慮整個系統(tǒng)，引入慣性力及慣性力）解法一：考慮整個系統(tǒng)，引入慣性力及慣性力偶，方向如圖，大小為偶，方向如圖，大小為maFg12I21mRMg2221mRMgRg5221oIIICmg12IgMIIgMgFas12 設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由動力設(shè)系統(tǒng)發(fā)生虛位移，由動力學(xué)普遍方程學(xué)

24、普遍方程 例例13-6 二均質(zhì)輪的二均質(zhì)輪的m、R相同，用輕質(zhì)繩纏繞連接如圖。相同，用輕質(zhì)繩纏繞連接如圖。求在重力作用下輪求在重力作用下輪中心的加速度。中心的加速度。0)21()21()(222112mRmRsFmgg21RRa21RRs幾何關(guān)系幾何關(guān)系 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程02321RRg02321Rg0)23()23( 221121RRgRRg0201ga54解得解得s12oIIICmg12IgMIIgMgFa （2 2）解法二：加慣性力后，給）解法二：加慣性力后

25、，給虛位移。虛位移。0102計算虛功計算虛功( (考慮約束關(guān)系考慮約束關(guān)系) )0)(211121smamgmRW Theoretical Mechanics13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程0102222221)(mRsmamgW0 )23(22212mRmRmgR02321RRgga54s12oIIICmg12IgMIIgMgFa)()(211211121RRRmmgmRW0)23(12212mRmRmgR02321RRg解得解得解得解得即即 Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析

26、第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-7 楔形體重楔形體重P，傾角，傾角 ，在光滑水平面上。圓柱體，在光滑水平面上。圓柱體重重Q，半徑為，半徑為 r ，只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最，只滾不滑。初始系統(tǒng)靜止，圓柱體在斜面最高點。試求：高點。試求：(1)(1)系統(tǒng)的運動微分方程；系統(tǒng)的運動微分方程；(2)(2)楔形體的加速度。楔形體的加速度。 解：研究整體系統(tǒng)。具有兩個解：研究整體系統(tǒng)。具有兩個自由度。取廣義坐標為自由度。取廣義坐標為x, s ；各坐標；各坐標原點均在初始位置。原點均在初始位置。 系統(tǒng)的動能：系統(tǒng)的動能：)( cos 4321 )(21

27、21)cos2(21212222222asxgQsgQxgQPrsrgQsxsxgQxgPT 系統(tǒng)的勢能：取水平面為重力勢能零點。系統(tǒng)的勢能：取水平面為重力勢能零點。 )cossin(31rshQPhU Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程代入保守系統(tǒng)拉氏方程代入保守系統(tǒng)拉氏方程sin2cos23 0cos)(gxssQxQP 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)： sin31 4321 22)coscosrsQ(hPhs xgQsgQxgQPUTL 并適當化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。并適當

28、化簡，得到系統(tǒng)的運動微分方程。),1,2,( 0)(ddkjqLqLtjj解得楔形體的加速度為解得楔形體的加速度為gQQPQx2sin232sin Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 例例13-8 已知：剛度系數(shù)為已知：剛度系數(shù)為k ，滑塊質(zhì)量為，滑塊質(zhì)量為m1, ,水平面光滑水平面光滑單擺長單擺長l ，擺錘質(zhì)量為，擺錘質(zhì)量為m2 ，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。，試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。 解：系統(tǒng)為二自由度保守系統(tǒng)。解：系統(tǒng)為二自由度保守系統(tǒng)。取取x , , 為廣義坐標，為廣義

29、坐標，x 軸軸 原點位于原點位于彈簧自然長度位置，彈簧自然長度位置， 逆時針轉(zhuǎn)逆時針轉(zhuǎn)向為正。向為正。cos2 )sin()cos(222222l xlxllxvB系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能cos21)(21 )cos2(2121212122222212222212221l xmlmxmml xlxmxmvmxmTB 系統(tǒng)勢能：（以彈簧原長為彈性勢能零點，滑塊系統(tǒng)勢能：（以彈簧原長為彈性勢能零點，滑塊A A所在平所在平面為重力勢能零點）面為重力勢能零點）cos2122glmkxU Theoretical Mechanics 返回首頁13.4 例例 題題 分分 析析 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程

30、虛位移原理及拉格朗日方程cos21cos21)(21222222221glmkxl xmlmxmmUTL拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)代入拉氏方程代入拉氏方程0 022221sincossincos)(glxkxlmlmxmm 化簡得化簡得),1,2,( 0)(ddkjqLqLtjj系統(tǒng)的運動微分方程。系統(tǒng)的運動微分方程。0)(ddxLxLt0)(ddLLt0 0)(221glxkxlmxmm 上式為系統(tǒng)在平衡位置上式為系統(tǒng)在平衡位置(x =0, =0)附近微幅運動的微分方程。附近微幅運動的微分方程。 若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時若系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅運動，此時 5o, cos 1, s

31、in ，略去二階以上無窮小量，則略去二階以上無窮小量，則即即 返回首頁Theoretical Mechanics 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-1 已知 壓榨機的水平拉力F 。求圖示瞬時對物體的壓力。 答：tan2NFF Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-2 已知壓榨機手輪上的力偶矩為M

32、，A、B兩處螺紋旋向相反，螺距皆為h。求圖示瞬時對物體的壓力。 答：cosNhMF Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-3 已知不計各零件自重的機構(gòu)在圖示位置平衡。 求力F1與F2的關(guān)系。 答：221cosalFF Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-4 已知不計各零件自重的機構(gòu)在圖示位置平衡。 求力偶矩 M 與力 F 之間的關(guān)系。答：2tanFaM The

33、oretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-5 已知物A、B各重PA、PB，不計繩和輪重。 求平衡時，PA與PB的關(guān)系。 答：PB = 5PA Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-6 已知BC = AB = l，BE = BD = b，彈簧剛度系數(shù)為k，當x = a時，彈簧拉力為零，該系統(tǒng)在力F作用下平衡，桿重不計。求平衡時x = ？ 答：22kbFlax Theoret

34、ical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-7 已知均質(zhì)桿長 AB = BC = l，桿重皆為P1，滑塊C重出 P2，滑桂傾角為。求平衡時，角為多大。 答：cot)(2tan211PPP Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-8 已知桁架節(jié)點D處受力P。求3號桿的內(nèi)力。 答：PPFcot23 Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第

35、13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-9 已知 l = 8m，P = 4900 N，q = 2450 N/m，M = 4900Nm；求支座約束力。 答：N2450AyAFFFB = 14700 NFE = 2450 N Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-10 已知，P，不計摩擦。求平 衡時，P1和P2的大小。答：sin21PP sin22PP Theoretical Mechanics 返回首頁13.5 典典 型型 習(xí)習(xí) 題題 第第13章章 虛位移原理及拉格朗日方程虛位移原理及拉格朗日方程 13-11 已知均質(zhì)AB桿重為P，BC和CE兩桿的重量不計，BC桿上分布載荷的最大載荷集度為q，A、E兩處彈簧的剛度系數(shù)分別為k1和