高二數(shù)學(xué)“求解無棱二面角大小”的解題方法

1、高二數(shù)學(xué)“求解無棱二面角大小的解題方法高二數(shù)學(xué)“求解無棱二面角大小的解題方法求解無棱二面角的大小思維活、方法多 ,是高考的熱點(diǎn) ,同時(shí)也是難點(diǎn)問題之一 ,現(xiàn)在用一個(gè)高考例題來系統(tǒng)疏理和歸納。例題：(2019高考全國(guó)卷第16題)如右圖 ,點(diǎn)E ,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1 ,CC1上 ,且B1E=2EB ,CF=2FC1 ,那么平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于_.對(duì)策一：利用空間向量求解解法1 (利用空間坐標(biāo)系求解)分別以DA ,DC ,DD1為x ,y ,z軸的正半軸 ,建立空間直角坐標(biāo)D-xyz ,得A(1 ,0 ,0) ,E1 ,1 , ,F0 ,1 ,

2、 ,從而=0 ,1 , ,=-1 ,1 ,.設(shè)平面AEF的法向量為m=(x ,y ,z) ,由m?=0 ,m?=0 ,得y+z=0 ,-x+y+z=0.取z=3 ,得m=(-1 ,-1 ,3) ,故m=.又平面ABC的法向量為=(0 ,0 ,1) ,所以由cos ,m= ,可得sin ,m= ,從而tan ,m=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.點(diǎn)評(píng) 用空間直角坐標(biāo)系求解時(shí) ,找(作)兩兩垂直的三線建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵.解法2 (利用空間基向量求解)由題意 ,=+ ,=+=+.設(shè)平面AEF的法向量為n=x+y+z ,由n?=0 ,n?=0 ,得(x+y+z)?(+)=

3、0 ,(x+y+z)?(+)=0 ,把相關(guān)量代入化簡(jiǎn) ,得x+z=0 ,x+y+z=0.取z=3 ,解得x=y=-1 ,從而n=-+3 ,不難求得n=.又平面ABC的法向量為 ,故n?=(-+3)?=3 ,所以cos ,n= ,從而sin ,n= ,tan ,n=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.點(diǎn)評(píng) 面對(duì)豐富的幾何條件 ,尤其是每個(gè)頂點(diǎn)處的向量都容易表示兩兩夾角及線段的長(zhǎng)度也容易求出 ,利用空間幾何向量求解是最易操作的.雖然對(duì)于填空或選擇題來說 ,這樣也許會(huì)費(fèi)時(shí)費(fèi)力、小題大做 ,可這是一種萬全之策.對(duì)策二：利用公式cosθ=求解 ,其中S是二面角的一個(gè)半平面中的一

4、個(gè)封閉圖形的面積 ,S′是S在另一個(gè)半平面上的射影的面積解法3 由正方體的性質(zhì) ,可知AEF在平面ABCD上的射影為ABC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 ,在RtACF中 ,AF=;在RtABE中 ,AE=.取線段CF的中點(diǎn)為點(diǎn)M ,那么在RtEMF中 ,求得EF=;取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N ,那么在RtANE中 ,EN=.由此得SAEF=AF?EN=××= ,SABC=AB?BC= ,得cosθ= ,sinθ= ,從而tanθ=.故平面AEF與平面ABC所成二面角的正切值等于.點(diǎn)評(píng) 利用面積射影法間接求二面角大小 ,可防止找二面角的

5、棱及作二面角的平面角雙重麻煩 ,使求解過程更簡(jiǎn)便.對(duì)策三：利用兩個(gè)半平面垂線求解解法4 過點(diǎn)C作CH⊥AF垂足為點(diǎn)H ,取線段AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N ,連結(jié)NO ,那么NO⊥OB ,而OB⊥平面ACF ,所以NE⊥平面ACF. 從而CH⊥EN.又CH⊥AF ,所以CH⊥平面AEF.又CF⊥平面ABCD ,從而可得二面角的兩個(gè)半平面的垂線CH ,CF的夾角為∠FCH ,該角和平面AEF與平面ABC所成二面角的大小相等.又∠FCH=∠FAC ,所以在RtFAC中 ,tan∠FAC=.故平面AE

6、F與平面ABC所成二面角的正切值等于.點(diǎn)評(píng) 二面角的兩半平面的垂線所成角的大小與二面角的大小相等或互補(bǔ) ,這就需要先對(duì)二面角的大小作粗略的判斷：當(dāng)二面角的一個(gè)半平面上的任意一點(diǎn)在另一個(gè)半平面上的射影在二面角的半平面上的 ,二面角為銳角;當(dāng)射影在棱上時(shí) ,二面角為直角;當(dāng)射影在反向延伸面上時(shí) ,二面角為鈍角.對(duì)策四：找(作)二面角的棱 ,作出平面角求解解法5 (利用相交直線找棱)分別延長(zhǎng)線段CB ,FE交于點(diǎn)P ,并連結(jié)AP ,那么AP為平面AEF與平面ABC的交線.因?yàn)锽1E=2EB ,CF=2FC1 ,所以BECF ,從而CB=BP ,DBAP.又DB⊥AC ,所以AP⊥

7、AC.又CC1⊥平面ABC ,所以AC1⊥AP ,從而∠FAC為平面AEF與平面ABC所成二面角的平面角.在RtFAC中 ,AC= ,CF= ,那么tan∠FAC=.點(diǎn)評(píng) 假設(shè)二面角的兩半平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交 ,那么這兩條交線的交點(diǎn)在二面角的棱上.解法6 (利用平移平面找棱)分別取線段AF ,CF的中點(diǎn)為點(diǎn)N ,M ,連結(jié)NE ,EM ,NM ,那么NOCF ,BECF ,從而可得NOBE ,所以EMBC ,ENBD ,所以平面ENM平面ABC ,那么平面AEF與平面ABC所成二面角和平面AEF與平面ENM所成二面角大小相等.由平面ENM平面ABC ,C

8、C1⊥平面ABC ,得CC1⊥平面ENM.又NM⊥EN ,NM⊥EN ,所以FN⊥EN ,從而∠MNF為平面AEF與平面ECM所成二面角的平面角.在RtNMF中 ,NM= ,MF= ,那么tan∠MNF=.點(diǎn)評(píng) 如果兩個(gè)二面角的兩半平面分別平行 ,那么這兩個(gè)二面角大小相等或互補(bǔ).唐宋或更早之前 ,針對(duì)“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目 ,其相應(yīng)傳授者稱為“博士 ,這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對(duì)那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者 ,又稱“講師。“教授和“助教均原為學(xué)官稱謂。前者始于宋 ,乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目的講授者；

9、而后者那么于西晉武帝時(shí)代即已設(shè)立了 ,主要協(xié)助國(guó)子、博士培養(yǎng)生徒。“助教在古代不僅要作入流的學(xué)問 ,其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國(guó)子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席 ,也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代 ,只設(shè)國(guó)子監(jiān)國(guó)子學(xué)一科的“助教 ,其身價(jià)不謂顯赫 ,也稱得上朝廷要員。至此 ,無論是“博士“講師 ,還是“教授“助教 ,其今日教師應(yīng)具有的根本概念都具有了。解法7 (利用平行直線找棱)記AC∩BD=O ,取AF的中點(diǎn)為點(diǎn)N ,連結(jié)NO ,那么NOCF ,BECF ,所以NOBE ,所以ENBD.又EN?奐平面AEF ,設(shè)平面AEF∩平面ABC=l ,過點(diǎn)A作APEN ,那么lBD ,

10、P∈l.以下同解法5.我國(guó)古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩(shī)文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文水平低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來學(xué)本國(guó)語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中水平以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本結(jié)構(gòu):提出問題分析問題解決問題,但真正動(dòng)起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句