常微分方程試卷答案

1、.衿肇薂蚆裊肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肅羋薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿蒞螞裊膈蕆袈螁膈薀蟻?lái)材i艿袆羅膆莂蠆袁芅蒄襖螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂節(jié)蒈螅羈節(jié)薀薈襖芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁蒞蚄蟻羇莄莃袇袃羀蒆蝕蝿罿薈裊肇聿羋蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆裊肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肅羋薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿蒞螞裊膈蕆袈螁膈薀蟻?lái)材i艿袆羅膆莂蠆袁芅蒄襖螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂節(jié)蒈螅羈節(jié)薀薈襖芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁蒞蚄蟻羇莄莃袇袃羀蒆蝕蝿罿薈裊肇聿羋蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆裊肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肅羋薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅蝿罿腿蒞螞裊膈蕆

2、袈螁膈薀蟻?lái)材i艿袆羅膆莂蠆袁芅蒄襖螇芄薆蚇肆芃芆蒀肂節(jié)蒈螅羈節(jié)薀薈襖芁芀螄螀芀莂薇肈艿蒅螂羄莈薇薅袀莇芇螀螆莆荿薃膅莆薁衿肁蒞蚄蟻羇莄莃袇袃羀蒆蝕蝿罿薈裊肇聿羋蚈羃肈莀袃衿肇薂蚆裊肆蚅葿膄肅莄螅肀肄蒆薇羆肄蕿螃袂肅羋薆螈膂莁螁肇膁蒃薄羃膀蚅 常微分方程試卷答案一、問(wèn)答題：（每題6分，共30分）1 常微分方程和偏微分方程有什么區(qū)別？微分方程的通解是什么含義?答：微分方程就是聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。常微分方程，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)。偏微分方程，自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上。常微分方程解的表達(dá)式中，可能包含一個(gè)或幾個(gè)任意常數(shù)，若其所包含的獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，這

3、樣的解為該微分方程的通解。2 舉例闡述常數(shù)變易法的基本思想。答：常數(shù)變易法用來(lái)求線(xiàn)性非齊次方程的通解，是將線(xiàn)性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)來(lái)求線(xiàn)性非齊次方程的通解。例：求的通解。首先利用變量分離法可求得其對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程的通解為，然后將常數(shù)變易為的待定函數(shù)，令，微分之，得到 ，將上述兩式代入方程中，得到即 積分后得到進(jìn)而得到方程的通解3高階線(xiàn)性微分方程和線(xiàn)性方程組之間的聯(lián)系如何？答：階線(xiàn)性微分方程的初值問(wèn)題其中是區(qū)間上的已知連續(xù)函數(shù)，是已知常數(shù)。它可以化為線(xiàn)性微分方程組的初值問(wèn)題但是需要指出的是每一個(gè)階線(xiàn)性微分方程可化為個(gè)一階線(xiàn)性微分方程構(gòu)成的方程組，反之卻不成立。4若常系數(shù)線(xiàn)性方

4、程組和有相同的基本解矩陣， 則與有什么關(guān)系？答：設(shè)常系數(shù)方程組的基解為，的基解為，由于兩個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性方程組有相同的基解矩陣，根據(jù)的解的性質(zhì)知，則可得，為非奇異的常數(shù)矩陣。5寫(xiě)出線(xiàn)性微分方程組的皮卡逐次逼近序列。二、求下列方程（或方程組）的通解（或特解）：（每題10分，共50分）1.解：方程可化為，當(dāng)時(shí)，是伯努利方程。其中。令，方程可化為，則將代入上面的式子，可得或者也是方程的解。2解：令，則原方程可化為對(duì)求導(dǎo)，可得，則那么：或者當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則，那么，可得，其中是任意常數(shù)。3.解：方法一：方程兩端同時(shí)乘以，轉(zhuǎn)化為歐拉方程。它的特征方程，特征根為0，0，1.方程的基本解組為故其通解為方法二：令，

5、將方程轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性方程，解之得。即有，積分得，再積分得其通解為4. 解：原方程可寫(xiě)成，方程的左邊可寫(xiě)成則 積分可得， 那么 因?yàn)?，所以，則 利用常數(shù)變易法可求得方程的解為： 5. 解：特征方程為可得特征值為。對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為。令，可得方程組的基解為。三、證明題 (共20分)1給定方程，其中在上連續(xù)，設(shè)是上述方程的任一兩個(gè)解，證明極限存在。證明：齊次方程的特征方程為解之得，。所以齊次方程的通解為因?yàn)槭欠驱R次方程的兩個(gè)解，有解的性質(zhì)可得，是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，也就是說(shuō)存在適當(dāng)?shù)某?shù)使得=從而2證明：已知二階非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)非零

6、解，則該方程可以求得通解。證明：對(duì)于二階線(xiàn)性方程，經(jīng)過(guò)變換，得到再作變換，即這是一個(gè)以為未知函數(shù)的一階線(xiàn)性非齊次方程，容易求出它的通解為再積分 則該方程的解可表示為 那么齊次方程的解為：然后利用常數(shù)變易法可以求得非齊次方程的一個(gè)特解那么所求方程的通解為 即證該方程可以求得通解。 薅蚄裊肀莈薀襖膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蟻羈肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈節(jié)螄肄膀蕆蝕肄芃芀薆肅肂蒆薂肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄螅芃薁螃螄羃莃蠆螃膅蕿蚅螂羋蒂薁螂莀芅袀螁肀蒀螆螀膂芃螞蝿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蕆螂袆艿艿螈袆莁薅蚄裊肀莈薀襖膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蟻羈肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈節(jié)螄肄膀蕆蝕肄芃芀薆肅肂蒆薂肂膅荿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄螅芃薁螃螄羃莃蠆螃膅蕿蚅螂羋蒂薁螂莀芅袀螁肀蒀螆螀膂芃螞蝿芄蒈薇袈羄芁蒃袇肆蕆螂袆艿艿螈袆莁薅蚄裊肀莈薀襖膃薃蒆袃芅莆螅羂羅薁蟻羈肇莄薇羀腿薀蒃羀莂莃袁罿肁芅螇羈膄蒁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅肅肈節(jié)螄肄膀蕆蝕肄芃芀薆肅肂蒆