反比例函數(shù)、及其圖像和性質(zhì)教案

1、-反比例函數(shù)、及其圖像和性質(zhì)適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中九年級知識點1、反比例函數(shù)的圖像2、反比例函數(shù)圖像的對稱性。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)。4、反比例函數(shù)系數(shù)k的的幾何意義。5、圖像上點的坐標的特征。6、反比例函數(shù)解析式確實定學(xué)習(xí)目標使學(xué)生了解反比例函數(shù)的概念；使學(xué)生能夠根據(jù)問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；3使學(xué)生理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，會畫出它們的圖像，以及根據(jù)圖像指出函數(shù)值隨自變量的增加或減小而變化的情況。會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像交點確實定的求法。學(xué)習(xí)重點反比例的概念、圖像、性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式.因為要研究反比例函數(shù)就必須明確

2、反比例函數(shù)的上述問題.學(xué)習(xí)難點根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式；能根據(jù)條件判斷函數(shù)值的大小教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)我們學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候就認識了函數(shù)：1、函數(shù)概念：一般地，在*一變化過程中有兩個變量*與y，如果對于*的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，則就說*是自變量，y是*的函數(shù)。2、函數(shù)解析式用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值圍。一次函數(shù)的解析式：y=k* (k,且k為常數(shù))3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點1解析法兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。2

3、列表法把自變量*的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。3圖像法用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟1列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值2描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面描出相應(yīng)的點3連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。二、知識講解考點1：反比例函數(shù)的意義及解析式有了初二下對一次函數(shù)的學(xué)習(xí)的根底，我們學(xué)習(xí)反比例函數(shù)就容易多了思考：以下問題中，變量間的對應(yīng)關(guān)系可用怎樣的函數(shù)解析式表示.這些函數(shù)有什么共同特點.京路線鐵路全程為1463km，*次列車的平均速度v單位：km/h隨此次列車的全程運

4、行時間t(單位：h)的變化而變化；用舊圍欄建一個面積為24的矩形飼養(yǎng)場設(shè)它的一邊長為，另一邊的長隨*的變化而變化。*住宅小區(qū)要種植一個面積為1000平方米的矩形草坪，草坪的長y單位：m隨寬單位：m的變化而變化上述問題的解析式分別為：， ， ， 總結(jié)： 上述函數(shù)都具有的形式，其中k是常數(shù)。函數(shù)概念： 一般地，形如k為常數(shù)，k0的函數(shù)成為反比例函數(shù)，其中*是自變量，y是函數(shù)，自變量*的圍是不等于0的一切實數(shù)。當(dāng)*去*個值時，y就有唯一的一個值與之對應(yīng)?？键c2：反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1、反比例函數(shù)的圖像時雙曲線型。2、性質(zhì)：當(dāng)時，雙曲線的兩支反別位于第一、三象限，在每個象限，y值隨*的增大而減小；當(dāng)

5、k時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限呢，y值隨*的增大而增大。考點3：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點確實定以及反比例函數(shù)解析式確實定反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，求兩函數(shù)交點的坐標，聯(lián)立兩解析式解二元一次方程組求解，此解即為交點坐標。*一個或兩個點在反比例和一次函數(shù)的圖像上，將點代入y=k*+b和確定k、b的值，即可確定一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式?？键c4： 反比例函數(shù)圖像的畫法及圖像特征三、例題精析【例題1】【題干】反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點P-1,2，則這個函數(shù)的圖像位于第幾象限.【答案】圖像位于第二、四象限【解析】因為點P-1,2在此反比例函數(shù)圖像上，所以點P符合該函數(shù)解析式，將P-1

6、,2代入中，得k=-2，即反比例函數(shù)解析式為y=,所以圖像在第二、四象限【例題2】【題干】點M(2，3)在雙曲線=上，則以下個點一定在該曲線上的是 A.(3，-2) B.(-2，-3)C.(2，3)D.(3，2)【答案】A【解析】將點M(2，3)代入中，得反比例函數(shù)解析式， 點A.(3，-2)符合該反比例解析式，應(yīng)選A答案【例題3】【題干】反比例函數(shù)*>0的圖像如下列圖，隨著*的值得增大，y值A(chǔ)、增大 B、減小 C、不變 D、先減小后增大【解析】因為k=1，圖像在第一象限?！敬鸢浮緽【例題4】【題干】直線y*b經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(2，m)和C，求k、b的值【解析】點

7、A(3,0)在直線y*b上，所以03b，b3一次函數(shù)的解析式為：y*3又因為點B(2，m)也在直線y*3上，所以m235，即B(2,5)而點B(2,5)又在反比例函數(shù)上，所以k2×(5)10【答案】y*3 【例題5】【題干】反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)yk2*1的圖象交于A(2,1)(1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式；(2)試判斷A點關(guān)于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關(guān)系【解析】因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求出k1、k2的值(2)把點A關(guān)于坐標原點的對稱點A坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A是否在這兩個函數(shù)圖象上解 (1)因為點A(

8、2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以k12×1212 k21，k21所以反比例函數(shù)的解析式為：；一次函數(shù)解析式為：y*1(2)點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點是A(2,1)把A點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，所以點A在反比例函數(shù)圖象上把A點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y213，所以點A不在一次函數(shù)圖象上【答案】y*1四、課堂運用【根底】1、點Aa, b,B(c, d)是反比例函數(shù)k>0圖像上的兩點，假設(shè)a<0<c, 則有A.b<0<d B. d<0<b C. b<d<0 D. d<b<0<<解

9、析： 由k>0可知反比例函數(shù)圖像在第一、三象限，有因為自變量a<0<c，所以可得函數(shù)值是b<0<d。應(yīng)選A2、 如圖，一次函數(shù)yk*b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(1)利用圖象中的條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的*的取值圍分析 (1)把A、B兩點坐標代入兩解析式，即可求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式(2)因為圖象上每一點的縱坐標與函數(shù)值是相對應(yīng)的，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，反映在圖象上，自變量取一樣的值時，一次函數(shù)圖象上點的縱坐標大于反比例函數(shù)圖象上點的縱坐標解 (1)觀察圖象可知，反比例函數(shù)的圖象

10、過點A(2,1)，m2×12所以反比例函數(shù)的解析式為：又點B(1,a)也在反比例函數(shù)圖象上，即B(1,2)因為一次函數(shù)圖象過點A、B所以解得，一次函數(shù)解析式為：y*1(2)觀察圖象可知，當(dāng)*2或0*1時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值【穩(wěn)固】1、函數(shù)的圖象如下，當(dāng)時，的取值圍是           A         B       C或 

11、     D或【答案】C【解析】畫圖可得2、如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于兩點1求出兩點的坐標；2根據(jù)圖象求使正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的的圍；【解析】解：1解方程組得，所以A、B兩點的坐標分別為：A1，1、B1，12根據(jù)圖象知，當(dāng)或時，正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值?！景胃摺?、如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點，當(dāng)時，或，則一次函數(shù)的解析式為                

12、; 。【解析】2、一次函數(shù)yk*b的圖象經(jīng)過點A(0,1)和點B(a,3a),a0，且點B在反比例函數(shù)的的圖象上(1)求a的值(2)求一次函數(shù)的解析式，并畫出它的圖象(3)利用畫出的圖象，求當(dāng)這個一次函數(shù)y的值在1y3圍時，相應(yīng)的*的取值圍(4)如果P(m,y1)、Q(m1,y2)是這個一次函數(shù)圖象上的兩點，試比較y1與y2的大小【解析】 (1)由于點A、點B在一次函數(shù)圖象上，點B在反比例函數(shù)圖象上，把這些點的坐標代入相應(yīng)的函數(shù)解析式中，可求出k、b和a的值(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函數(shù)的解析式，通過列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象(3)和(4)都是利用函數(shù)的圖象進展解題解

13、 (1)反比例函數(shù)的圖象過點B(a,3a)，a±1，因為a0，所以a1 a0 B(1,3)又因為一次函數(shù)圖象過點A(0,1)和點B(1,3)所以解得，即：一次函數(shù)的解析式為y2*1(2)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象為：(3)從圖象上可知，當(dāng)一次函數(shù)y的值在1圍時，相應(yīng)的*的值為：1*1(4)從圖象可知，y隨*的增大而減小，又m1m，所以y1y2?；蚪猓寒?dāng)*1m時，y12m1；當(dāng)*2m1時，y22×(m1)12m1所以y1y2(2m1)(2m1)20，即y1y2。課后作業(yè)【根底】1、反比例函數(shù)y和正比例函數(shù)ym*的局部圖象如下列圖由此可以得到方程m*的實數(shù)根為A*1B*2C*1

14、1，*21D*11，*22【答案】C【解析】將點C1, 2代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)中解得m=2，k=2.，即反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式分別為、y=2*，然后聯(lián)立兩個函數(shù)求解得。2、一次函數(shù)yk*b與反比例函數(shù)y的圖象如下列圖，以下結(jié)論正確的選項是A它們的函數(shù)值y隨著*的增大而增大B它們的函數(shù)值y隨著*的增大而減小Ck0D它們的自變量*的取值為全體實數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)當(dāng)時，雙曲線的兩支反別位于第一、三象限，在每個象限，y值隨*的增大而減小；當(dāng)k時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限呢，y值隨*的增大而增大可得3、假設(shè)正比例函數(shù)y=2*與反比例函數(shù)y=

15、k0的圖像相交，則當(dāng)*0時，交點位于    A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】C【解析】因為正比例函數(shù)k=2，故圖像過第一、三象限，要想與反比例函數(shù)圖像有交點，只能是反比例函數(shù)也過第一、三象限，所以當(dāng)* 時，函數(shù)值在第三象限，交點也在第三象限?！痉€(wěn)固】1. 假設(shè)反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點A1，m，則m的值是  A        B     C      D【答案】

16、B【解析】將A點的橫坐標1代入反比例函數(shù)解析式中得y=2，即m=22、如下列圖，一次函數(shù)ya*b(a0)的圖象與反比例函數(shù)y(k0)的圖象交于M，N兩點(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的*的圍【答案】【解析】分析：(1)利用點N的坐標可求出反比例函數(shù)的表達式，據(jù)此求點M的坐標由兩點M，N的坐標可求出一次函數(shù)的表達式；(2)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值表現(xiàn)在圖象上，就是雙曲線在直線的上方，由此可求出*的圍解：(1)把N(1，4)代入y中，得4，所以k4.反比例函數(shù)的表達式為y.又點M(2，m)在雙曲線上，所以m2，即點M(2,2)把M(2

17、,2)，N(1，4)代入ya*b中，得解得故一次函數(shù)的表達式為y2*2.(2)由圖象可知，當(dāng)*1或0*2時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值3、如圖中的曲線是反比例函數(shù)y(m為常數(shù))圖象的一支(1)求常數(shù)m的取值圍；(2)假設(shè)該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y2*的圖象在第一象限的交點為A(2，n)，求點A的坐標及反比例函數(shù)的解析式【答案】【解析】解：(1)這個反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，5m0，解得m5.(2)點A(2，n)在正比例函數(shù)y2*的圖象上，n2×24，則A點的坐標為(2,4)又點A在反比例函數(shù)y的圖象上，4，即5m8.反比例函數(shù)的解析式為y.【拔高】1. 過反比例函數(shù)y(

18、k0)圖象上一點A，分別作*軸，y軸的垂線，垂足分別為B，C，如果ABC的面積為3，則k的值為_【答案】6或6【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得出SABC|k|，所以|k|6，則k±6.2、雙曲線y1、y2在第一象限的圖象如下列圖，y1，過y1上的任意一點A，作*軸的平行線交y2于B，交y軸于C，假設(shè)SAOB1，則y2的解析式是_【解析】y2y1，過y1上的任意一點A，作*軸的平行線交y2于B，交y軸于C，SAOB1.CBO面積為3，y2的解析式是y2.課程小結(jié)1、 反比例函數(shù)的意義；2、 反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)；3、 反比例函數(shù)解析式確實定；4、 一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點以及其解

19、析式確實定課后作業(yè)【根底】5、 1. 如圖是反比例函數(shù)y(k0)在第二象限的圖象，假設(shè)圖中的矩形OABC的面積為2，則k_.【答案】-2【解析】反比例函數(shù)k的意義就是橫縱坐標的乘積就圍城的四邊形的面積。2、如圖，反比例函數(shù)y的圖象與一次函數(shù)yk*b的圖象交于點M，N，點M的坐標為(1,3)，點N的縱坐標為1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于*的方程k*b的解為()A3,1  B3,3          C1,1  D3，1【答案】 A【解析】由M(1,3)代入y得，m3，所以y，將N點縱坐標1代入

20、y，得*3.所以N(3，1)，根據(jù)圖象的意義知，方程k*b的解就是它們的交點坐標的橫坐標，所以方程的解為3或1.3、在以下列圖中，反比例函數(shù)y的圖象大致是()【答案】D【解析】+1始終大于0，故函數(shù)圖像過第一、三象限【答案】A【穩(wěn)固】1、y是*的反比例函數(shù),當(dāng)*=5時，y=8.求反比例函數(shù)解析式；   求y=-10時*的值.【答案】【解析】1    22、圖中的曲線是函數(shù)(m為常數(shù))圖象的一支.1求常數(shù)m的取值圍；2假設(shè)該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)圖象在第一象限的交點為A2，n，求點A的坐標及反比例函數(shù)的解析式.【答案】1得m&

21、gt;52A(2,4)  【解析】1得m>52A(2,4)【拔高】1、如圖，在平面直角坐標系中直線y=*2與y軸相交于點A，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象相交于點Bm，2。1求反比例函數(shù)的關(guān)系式；2將直線y=*2向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限交于點C，且ABC的面積為18，求平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式。習(xí)題改編【答案】y=；y=*+7?！窘馕觥拷猓?將B坐標代入直線y=*2中得：m2=2，解得：m=4則B4，2，即BE=4，OE=2，設(shè)反比例解析式為y=，將B4，2代入反比例解析式得：k=8，則反比例解析式為y=；2設(shè)平移后直線解析式為y=*+b，Ca，a+b，對于

22、直線y=*2，令*=0求出y=2，得到OA=2，過C作CDy軸，過B作BEy軸，將C坐標代入反比例解析式得：aa+b=8，SABC=S梯形BCDE+SABESACD=18，×a+4×a+b2+×2+2×4×a×a+b+2=18，解得：b=7，則平移后直線解析式為y=*+7。2、如圖，直線與y軸交于A點，與反比例函數(shù)*0的圖象交于點M，過M作MH*軸于點H，且tanAHO.1求k的值；第20題 2設(shè)點N1，a是反比例函數(shù)*0圖像上的點，在y軸上是否存在點P，使得PMPN最小，假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由.【

23、答案】k2×36.    ， P點坐標為0，5【解析】由y*1可得A0，1，即OA1       tanAHO，OH2               MH*軸，點M的橫坐標為2.點M在直線y*1上，點M的縱坐標為3.即M2，3         點M在上，k2×36.         2點N1，a在反比例函數(shù)的圖像上，a6.即點N的坐標為1，6