基本不等式教學設計方案

1、基本不等式教材分析本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。 要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。 通過本節(jié)學習體會數(shù)

2、學來源于生活，提高學習數(shù)學的樂趣。課程目標分析依據(jù)新課程標準對不等式學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。2、過程與方法目標：按照創(chuàng)設情景，提出問題 剖析歸納證明 幾何解釋 應用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養(yǎng)學生的思維能力，體會數(shù)學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質(zhì)，體會學習數(shù)學規(guī)律的方法，體驗成

3、功的樂趣。3、情感與態(tài)度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數(shù)學是從實際中來，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界，通過數(shù)學思維認知世界，從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質(zhì)。教學重、難點分析重點：應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。難點：1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。教法分析本節(jié)課采用觀察感知抽象歸納探究；啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發(fā)，放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

4、教學準備多媒體課件、板書教學過程教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調(diào)過程，符合學生的認知規(guī)律，使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。具體過程安排如下：一、 創(chuàng)設情景，提出問題；設計意圖：數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺，數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實基于此,設置如下情境:上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。問你能在這個圖中找出一些相等關系或不

5、等關系嗎？本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系，抽象出不等式。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。二、抽象歸納：一般地，對于任意實數(shù)a,b，有，當且僅當ab時，等號成立。問 你能給出它的證明嗎？ 學生在黑板上板書。特別地，當a>0,b>0時，在不等式中，以、分別代替a、b，得到什么？設計依據(jù)：類比是學習數(shù)學的一種重要方法，此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數(shù)思想，為今后學習奠定基礎. 答案： 。【歸納總結】如果a,b都是正數(shù)，那么，當且僅當a=b時，等號成立。我們稱此不等式為基本不等式。 其中稱為a,b的算術平均數(shù)，稱為a,

6、b的幾何平均數(shù)。三、理解升華：1、文字語言敘述：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式已知a,b是正數(shù)，A是a,b的等差中項，G是a,b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系？兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。3、符號語言敘述：若，則有，當且僅當a=b時，。問 怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：當a=b時，取等號，即；僅當a=b時，取等號，即。4、探究基本不等式證明方法： 問 如何證明基本不等式？（意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現(xiàn)從感性認識到理性認識的升華，前面是

7、從幾何圖形中的面積關系獲得不等式的，下面用代數(shù)的思想，利用不等式的性質(zhì)直接推導這個不等式。） 方法一：作差比較或由展開證明。 方法二：分析法（完成課本填空）設計依據(jù)：課本是學生了解世界的窗口和工具，所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，養(yǎng)成講講議議、動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數(shù)學書”。要證 只要證 要證,只要證 要證,只要證 顯然, 是成立的。當且僅當a=b時, 中的等號成立 。點評：證明方法叫做分析法,實際上是尋找結論的充分條件,執(zhí)果索因的一種思維方法.5、探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探

8、究不等式的幾何解釋，通過數(shù)形結合，賦予不等式幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CDAB，AC=a,CB=b，幾何解釋實質(zhì)可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。四、探究歸納例1：把36寫成兩個正數(shù)的積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？例2：把18寫成兩個正數(shù)的和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？結論：若兩正數(shù)的乘積為定值，則當且僅當兩數(shù)相等時，它們的和有最小值；若兩正數(shù)的和為定值，則當且僅當兩數(shù)相等時，它們的乘積有最大值。 簡記為：“一正、二定、三相等”。五、領悟練習：公式應用(1)若的最小值為_,此時(1) 若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為_,此時a=_,b=_。六、反思總結，整合新知：設計意圖：通