高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面垂直典型例題判定性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 線面垂直知識(shí)點(diǎn)1.直線和平面垂直定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.判定定理：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面.性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.3.三垂線定理和它的逆定理.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.逆定理：在平面內(nèi)的一條

2、直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面上的射影垂直.題型示例 【例1】 如圖所示，已知點(diǎn)S是平面ABC外一點(diǎn)，例1題圖ABC=90°，SA平面ABC，點(diǎn)A在直線SB和SC上的射影分別為點(diǎn)E、F，求證：EFSC.【解前點(diǎn)津】 用分析法尋找解決問題的途徑，假設(shè)EFSC成立，結(jié)合AFSC可推證SC平面AEF，這樣SCAE，結(jié)合AESB，可推證AE平面SBC，因此證明AE平面SBC是解決本題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).由題設(shè)SA平面ABC，ABC=90°，可以推證BCAE，結(jié)合AESB完成AE平面SBC的證明.【規(guī)范解答】【解后歸納】 題設(shè)中條件多，圖形復(fù)雜，結(jié)合題設(shè)理清圖

3、形中基本元素之間的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.【例2】 已知：MN=AB,PQM于Q，PON于O，ORM于R，求證：QRAB.【解前點(diǎn)津】 由求證想判定，欲證線線垂直，方法有（1）ab,acbc;(2)a,bab;(3)三垂線定理及其逆定理.由已知想性質(zhì)，知線面垂直，可推出線線垂直或線線平行.【解后歸納】 處于非常規(guī)位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應(yīng)用問題，要抓住“一個(gè)面”、“四條線”.所謂“一個(gè)面”：就是要確定一個(gè)垂面，三條垂線共處于垂面之上.所謂“四條線”：就是垂線、斜線、射影以及平面內(nèi)的第四條線，這四條線中垂線是關(guān)鍵的一條線，牽一發(fā)而動(dòng)全身，應(yīng)用時(shí)一般可按下面程序進(jìn)行操作：確定垂面、抓準(zhǔn)斜

4、線、作出垂線、連結(jié)射影，尋第四條線.【例3】 已知如圖(1)所示，矩形紙片AAA1A1,B、C、B1、C1 分別為AA,A1A的三等分點(diǎn)，將矩形紙片沿BB1,CC1折成如圖(2)形狀（正三棱柱），若面對(duì)角線AB1BC1，求證:A1CAB1.例3題圖解(1)【解前點(diǎn)津】 題設(shè)主要條件是AB1BC，而結(jié)論是AB1A1C，題設(shè)，題斷有對(duì)答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中點(diǎn)D1，就把異面直線AB1與BC1垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換到ABB1A1同一平面內(nèi)AB1與BD1垂直關(guān)系，這里要感謝三垂線逆定理.自然想到題斷AB1與A1C垂直用同法（對(duì)稱原理）轉(zhuǎn)換到同一平面，取AB中點(diǎn)D即可，只要證得A1D垂直于

5、AB1，事實(shí)上DBD1A1，為平行四邊形，解題路子清楚了.【解后歸納】 證線線垂直主要途徑是：（1）三垂線正逆定理，（2）線面，線線垂直互相轉(zhuǎn)化.利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作，在平面內(nèi)完成作解任務(wù).證線線垂直，線面垂直，常常利用線面垂直，線線垂直作為橋梁過渡過來，這種轉(zhuǎn)化思想有普遍意義，利用割補(bǔ)法把幾何圖形規(guī)范化便于應(yīng)用定義定理和公式，也是不容忽視的常用方法.例4題圖【例4】 空間三條線段AB,BC,CD,ABBC,BCCD,已知AB=3,BC=4,CD=6,則AD的取值范圍是 .【解前點(diǎn)津】 如圖，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的長(zhǎng)是AD的最小值,其中AHCD1,AH=BC

6、=4,HD1=3,AD1=5;在直角AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值為【解后歸納】 本題出題形式新穎、靈活性大，很多學(xué)生對(duì)此類題感到無從入手,其實(shí)冷靜分析，找出隱藏的條件很容易得出結(jié)論.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題： bM bM.其中正確的命題是 ( )A. B. C. D.2.下列命題中正確的是 ( )A.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面B.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C.若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個(gè)平

7、面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面3.如圖所示，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體PDEF中，必有 ( )第3題圖A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )A.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交B.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直C.過a一定可以作一個(gè)平面與b垂直D.過a一定可以作一個(gè)平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l

8、,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D.且6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三個(gè)命題：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與垂直； 異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個(gè)平面與b都不垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A.與必相交且交線md或m與d重合B.與必相交且交線md但m與d不重合C.與必相交且交線m與d一定不平行D.與

9、不一定相交9.設(shè)l、m為直線，為平面，且l，給出下列命題 若m，則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號(hào)是 ( )A. B. C. D.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )A.與 B.與 C.與 D.與二、思維激活第12題圖11.如圖所示，ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè)，它們?cè)趦?nèi)的射影分別為A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，則ABC的面積是 . 第13題圖第11題圖12.如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)?/p>

10、面四邊形ABCD滿足條件 時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐VABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件 時(shí)，有VCAB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VCAB;(2)若二面角EABC的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如圖所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).第15題圖(1)求證：MN平面PAD.(2)求證：MNCD.(3)若PDA45

11、°，求證：MN平面PCD.16.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，BAD60°，AB4，AD2，側(cè)棱PB，PD.(1)求證：BD平面PAD. (2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角PBCA的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90°,BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1A1M 18.如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，且DNNB12，MC與BD交于P.(1)求證：NP平面ABCD. 第18題圖(2)求平面PNC

12、與平面CCDD所成的角.(3)求點(diǎn)C到平面DMB的距離.第4課 線面垂直習(xí)題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 過a上任一點(diǎn)作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m且m,則必有,又因?yàn)閘=則有l(wèi),而m則lm,故選A.6.D過P作PDAB于D，連CD，則CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B ，l，

13、lm11.cm2 設(shè)正三角ABC的邊長(zhǎng)為a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SABC=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件ACBD(或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評(píng)：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)證明:H為VBC的垂心,VCBE,

14、又AH平面VBC,BE為斜線AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC為二面角EABC的平面角，EDC=30°,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.VCD為VC與底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90°,故ECD=60°,VC與面ABC所成角為60°.15.證明：(1)如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，則有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE為平行四邊形.MNAE.第1

15、5題圖解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD，PAAD.又PDA45°，E為PD的中點(diǎn).AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB4，AD，BAD60°，第16題圖解故BD2AD2+AB2-2AD·ABcos60°4+16-2×2×4×12.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90°，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，

16、PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面ABCD所成的角.PDE60°，PEPDsin60°.作EFBC于F，連PF，則PFBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小為arctan.17.連結(jié)AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90°.A1MAC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂線定理知AB1A1M. 點(diǎn)評(píng)：要證AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M一定會(huì)成立18.(1)證明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、C