2020-2021學(xué)年北師大版必修1第二章2.3映射學(xué)案

1、2. 3 映射預(yù)習(xí)素目新學(xué)生用書 P26)新知提煉1.映射映射的含義兩個(gè)非空集合 A 與 B 間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系 f,而且對(duì)于 A 中的每一個(gè)元素 x, B 中總有唯 二的一個(gè)元素 y 與它對(duì)應(yīng)，就稱這種對(duì)應(yīng)為從A 到 B 的映射，記作 f:ATB.(2)像與原像的概念在映射f:ATB 中，A 中的元素 x 稱為原像,B 中的對(duì)應(yīng)元素 y 稱為 x 的像，記作 f：XTy.(3)映射 f：ATB 的概念一一映射是一種特殊的映射，它滿足：1A 中每一個(gè)元素在 B 中都有唯一的像與之對(duì)應(yīng).2A 中的不同元素的像也不同.3B 中的每二個(gè)元素都有原像.一一映射也叫作一一對(duì)應(yīng).2.函數(shù)與映射的關(guān)系映射 f

2、: ATB,其中 A B 是兩個(gè)“非空集合”，而函數(shù) y= f(x), x A 為“非空數(shù)集”，其值域也是非空數(shù)集于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射.由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射.自我嘗試尸1判斷正誤(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)函數(shù)一定是映射，映射一定是函數(shù).()(2)無論是映射還是函數(shù)，均要求涉及的集合為非空集合.()對(duì)于映射 f： ATB，像組成的集合為集合 B 的子集；對(duì)于一一映射 f：ATB, 的集合與集合 B 相等.(答案：(1)X(2)V2.已知集合 A= a,)XVb，集合 B = 0 , 1，下列對(duì)應(yīng)不是 A 到 B 的映射的是(像組成)答案：C3.設(shè)

3、 f：XTx2是集合 M 到集合 N 的映射，若 N= 1 , 2，則 M 不可能是(A . - 1C. 1 , .2, 2 解析：選 C.若 x= 2,B.- 0, B= R，對(duì)應(yīng)關(guān)系 f: y2= x, x A, y B.(4) A = xx2 , B = y|y= x2 4x+ 3, x R, f: y= x 3, x A, y B.【解】(1)是映射，且是函數(shù)，但不是一一映射，因?yàn)?A 中的任何一個(gè)元素，在 B 中 都能找到唯一的元素與之對(duì)應(yīng) ，又 A、B 均為非空數(shù)集，所以此映射是函數(shù)，因?yàn)?x 以及 x 的相反數(shù)在 B 中的對(duì)應(yīng)元素相同，所以不是一一映射.不是從集合 A 到集合 B

4、 的映射，更不是函數(shù)或者一一映射因?yàn)锳 中的元素 0,在集合 B 中沒有對(duì)應(yīng)的元素.(3)不是從集合 A 到集合 B 的映射，更不是函數(shù)或者一一映射，因?yàn)槿魏握龜?shù)的平方根 都有兩個(gè)值，即集合 A 中的任何元素，在集合 B 中都有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).當(dāng) x2 時(shí)，x 3 1,而 y= x2 4x+ 3= (x 2)2 1 1,因而能構(gòu)成映射，且是 函數(shù)，并且 B 中每一個(gè)元素在 A 中都有唯一的一個(gè)原像，所以又是一一映射.1 兩個(gè)集合之間只有一對(duì)一，多對(duì)一才是映射，其中一對(duì)一為-映射.2 并非所有映射都是函數(shù)，只有集合 A、B 都是非空數(shù)集時(shí)，映射才是函數(shù).Y 齡瞇:泗謹(jǐn) 1.(1)已知集合 A=

5、 0 , 4, B= 0 , 2,按對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 不能構(gòu)成從 A 至 U B 的映射的是()1A . f:XTy=B.f:XTy=x2C.f:XTy=xD.f:XTy=|x2|x(2)已知 A= 1 , 2, 3，9 , B= R，從集合 A 到集合 B 的映射 f:XT-. I1與A中元素 1 相對(duì)應(yīng)的 B 中的元素是什么？2與 B 中元素 4 相對(duì)應(yīng)的 A 中的元素是什么？解：(1)選 B.因?yàn)樵趯?duì)應(yīng)關(guān)系 f:XTy = x 2 的作用下，A 中元素 0 的對(duì)應(yīng)元素為一 2, 但-2 不在集合 B 中，故按此對(duì)應(yīng)關(guān)系不能構(gòu)成從A 到 B 的映射.探究x11一A 中元素 1,即 x= 1,代

6、入對(duì)應(yīng)關(guān)系得=-,即與 A 中元素 1 相對(duì)2x+12X1+131應(yīng)的 B 中的元素是 34x44B 中元素 4，即才=4，解得 x= 4,因此與 B 中元素 4 相對(duì)應(yīng)的 A 中的元素是 4.92x+ 1 99:；1兀 hl? 像與原像的求解學(xué)生用書 P27鋤 2已知映射 f: ATB 中，A = B = (x, y)|x R, y R, f： (x, y)(2x 3y+ 1 ,4x+ 3y+ 1).(1) 求 A 中元素(1 , 2)的像；(2) 求 B 中元素(1 , 2)的原像.【解】(1)當(dāng) x= 1, y= 2 時(shí)，2x 3y+ 1 = 3, 4x + 3y+1 = 11, 故 A

7、 中元素(1, 2)的像為(一 3, 11).2x 3y+ 1 = 1,令 4x+ 3y+ 1 = 2,得1 1故 B 中兀素(1 , 2)的原像是-,-.69x= 2 ,所以即原像為(2 , 1).y=1,選 C.當(dāng) x3= 0 時(shí)，x= 0 , 當(dāng) x2= 1 時(shí) x= 1 , 當(dāng) x2= 4 時(shí) x= 2 , 所以 A 中元素最多有 5 個(gè).3 對(duì)于 A 中元素求像只需將原像代入對(duì)應(yīng)關(guān)系即可；對(duì)于 B 中元素求原像可先設(shè)出原像然后利用對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程組求解.Y 瑟踢創(chuàng)軽 2.(1)點(diǎn)(x , y)在映射 f:ATB 作用下的像是(x+ y , x y),則點(diǎn)(3 , 1)在 f 作用下的

8、原像是()A . (2 ,1)B . (4 , 2)C.(1,2)D. (4 , 2)已知 f:XTx1 2是集合 A 到集合 B = 0, 1, 4的一個(gè)映射貝 U 集合A 中的元素個(gè)數(shù)最多有()A. 3 個(gè)C. 5 個(gè)解析：(1)選 A.由題意知x+y=3,xy=1,x= 61素養(yǎng)提升_ 規(guī)范解答映射的綜合應(yīng)用_疑些 J （本題滿分 12 分）已知映射 f:ATB 中，A= B= （x, y）|x R , y R, f: 元素（x，y）對(duì)應(yīng)到 B 中的元素（3x 2y+ 1, 4x+ 3y 1）.（1）是否存在這樣的元素（a, b）,它的像仍是自己？若存在，求出這個(gè)元素；若不存在, 說明理

9、由；（2）判斷這個(gè)映射是不是一一映射.【解】（1）假設(shè)存在元素（a, b）,它的像仍是（a, b）.3a 2b + 1 = a,由（3 分）4a + 3b 1 = b,a = 0,得 1（5 分）b = 2.一 1所以存在兀素 0,1使它的像仍是自己.（6 分）（2）由題知對(duì)任意的（a, b）（a R, b R）,3x 2y + 1 = a,方程組有唯一解，（8 分）4x + 3y 1 = b這說明 B 中任意元素（a, b）在 A 中有唯一的原像，（10 分）所以映射 f: ATB 是A到 B 的一一映射.（12 分）（1）根據(jù)像仍是本身列方程組，處易出現(xiàn)不會(huì)用數(shù)學(xué)式子表達(dá)而列不出方程組的情

10、況 這是解題關(guān)鍵點(diǎn)也是失分點(diǎn)；（2）處易出現(xiàn)對(duì)一一映射不理解而無法判斷，造成失分；（3）理解像、原像及一一映射的概念是關(guān)鍵點(diǎn).當(dāng)堂檢測(cè)1.下列對(duì)應(yīng)中，是映射的個(gè)數(shù)為（）A 中的A . 0B. 1C. 2D. 3解析：選 C.由映射的定義知，為映射；中 M 中的元素 b 沒有像，不是映射； 對(duì)，M中的元素 c 在 P 中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不符合映射的定義，故選 C.2._如果(x, y)在映射 f 作用下的像是(x + y, x y),則(1, 2)的像是_.x= 1,解析：由得 x+ y= 3, x y= 1,y=2所以(1 , 2)的像是(3, 1).答案：(3, 1)3下列集合 A 到集

11、合 B 的映射 f 不是函數(shù)的有 _.A= 1, 0, 1, B = 1, 0, 1, f: A 中的數(shù)平方；2A= 0,1 , B= 1, 0, 1, f: A 中的數(shù)開方；3A= N , B= Q , f: A 中的數(shù)取倒數(shù).解析：當(dāng) x A 時(shí)，y= x2 B,是函數(shù)，當(dāng) x= 1, y= 1,不是函數(shù)，當(dāng) x= 0 時(shí)，像不存在.答案：學(xué)生用書 P105(單獨(dú)成冊(cè))A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)解析：選 D.A、B 中原像集合中的元素 2 無像；C 中原像集合中元素 1 有兩個(gè)元素與之 對(duì)應(yīng)，所1.下列各個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能構(gòu)成映射的是()以 A、B、C 均不符合映射的定義，故選 D.2.若 A 為含三個(gè)元素

12、的數(shù)集，B= 1, 3, 5，使得 f: Xi2x 1 是從 A 到 B 的映射， 則 A等于()A . 1, 2, 3B. 1, 0, 2C. 0 , 2, 3D. 0 , 1 , 2解析：選 C.由映射的概念，A 中的元素在關(guān)系 xi2x 1 下，成為一 1 , 3, 5,則 A = 0 , 2, 3.7. 已知從 A 到 B 的映射是XT2x+ 1,從 B 到 C 的映射是 yT孑孑一 1,其中 A , B , C? R ,則從 A 到 C 的映射是_.解析：設(shè) x A , y B , z C ,則 y= 2x+ 1 , z=1,1 1 1所以 z= 1(2x+ 1) 1 = x 2.所

13、以從 A 到 C 的映射是 XTx -.1答案：XTx1&設(shè) M = a , b, N= 2 , 0 , 2,則從 M 到 N 的映射中滿足 f(a)f(b)的映射 f 的 個(gè)數(shù)為 .解析：當(dāng) f(a) f(b)時(shí)有三種：f(a) = 0 , f(b) = 2;f(a) = 2 , f(b) = 0;f(a) = 2 , f(b) = 2.當(dāng) f(a) = f(b)時(shí)，有 f(a)= f(b) = 0 , 2, 2,共 3 種可能.綜上所述,滿足條件 f(a) f(b)的映射有 6 個(gè).答案：69設(shè)集合 P= Q= (x , y)|x ,y R,從集合 P 到集合 Q 的映射為 f:

14、(x , y)T(x+ y , xy) 求 (1)集合 Q 中與集合 P 中元素(3 , 2)對(duì)應(yīng)的元素；3.F 列對(duì)應(yīng)是集合M= N= R, f:M = N= R , fC. M = N= R , fM 到集合 N 的一一映射的是()1XTy= -，x M, y Nx XTy=x2,xM,yN1D.解析：選 D.A 中集合 M 的元素 0 ,在 N 中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所以這個(gè)對(duì)應(yīng)不是映射；B 中集合 M 的元素 ,在 f 下的像都是 1 ,故這個(gè)對(duì)應(yīng)不是-映射； C 中，負(fù)實(shí)數(shù)及 0 在f 下沒有元素和它對(duì)應(yīng)，故這個(gè)對(duì)應(yīng)不是映射，故選 D.4.設(shè)集合 A = a, b , B= 0, 1,

15、則從 A 到 B 的映射共有（）A. 2 個(gè)C. 4 個(gè) 解析：選 C.如圖.M= N= R, f:5.已知 a, b 為實(shí)數(shù)，集合 M = x 映射到集合 N 中仍為 x,A.1C. 1解析: 選 Ca = 1,所以 ba =0,a,1,N=a,0, a貝 U a+ b 的值為(B.D.因?yàn)?f:XTx,所以 M = N.（時(shí)f: XTx 表示把集合 M 中的元素6. 在映射 f: ATB 中，集合 A= B = （x ,B 中的元素（一 1 , 3）在集合 A 中的原像為 _xy=1,解析：由題意得x+ y= 3 ,答案：（1, 2）所以y)|x, y R，且 f: (x, y)(xy,

16、x+ y)，則x=1,即原像為(1 , 2).y=2,n解得a=1,所以 a+ b = 1.b= 0.集合 P 中與集合 Q 中元素(3, 2)對(duì)應(yīng)的元素.解：(1)由 3+ 2 = 5, 3X2= 6 可得到集合 Q 中與集合 P 中元素(3, 2)對(duì)應(yīng)的元素為(5, 6).(2)設(shè)集合 P 中與集合 Q 中元素(3, 2)對(duì)應(yīng)的元素為(x, y),x+ y = 3,x = 2,x= 1,則解得或xy= 2,y = 1y= 2.所以集合 P 中與集合 Q 中元素(3, 2)對(duì)應(yīng)的元素為(2, 1)或(1, 2).10. 若 A=a, b, c, B = 1 , 2，從集合 A 到集合 B 可

17、以建立多少個(gè)不同的映射？ 從集合 B到集合 A 呢？(2)已知集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , B= 1 , - 2，設(shè)映射 f:B,如果 B 中的元素都是 A 中的元素在 f 下的像，這樣的映射有幾個(gè)？解：(1)A= a , b , c , B= 1 , 2,則從 A 到 B 的映射共有：23= 8 個(gè).反過來從 B 到 A 的映射共有：32= 9 個(gè).(2)由題意知，從集合 A 到集合 B 的映射總個(gè)數(shù)是 25= 32 個(gè)，因?yàn)?B 中的元素都是 A 中 的元素在 f 下的像，所以要除去 A 中 1 , 2 , 3 , 4 , 5 都對(duì)應(yīng)一 1 和 1 , 2 , 3

18、, 4 , 5 都對(duì)應(yīng)一 2 這兩個(gè)，故滿足題意的映射共有 32 2= 30 個(gè).B 能力提升11. 若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y= 2x2+ 1，值域?yàn)?, 1 , 19的“孿生函數(shù)”共有()A . 4 個(gè)B . 6 個(gè)C. 8 個(gè)D . 9 個(gè)解析：選 D.當(dāng) 2x2+ 1 = 5 時(shí)，x= 2,當(dāng) 2x2+ 1 = 1 時(shí)，x= 0,當(dāng) 2x2+ 1 = 19 時(shí)，x= 3,定義域中含 3 個(gè)元素時(shí)有 4 種，定義域中含 4 個(gè)元素時(shí)有 4 種，定義域中含 5 個(gè)元素時(shí)有 1 種.綜上，“孿生函數(shù)”共有 4+ 4+ 1 = 9 個(gè).12. 若 A = a, b, c, B = 1 , 2，從 A 到 B 建立映射 f,使 f(a) + f(b) + f(c) = 4,則滿足條件的映射個(gè)數(shù)是 _ .解析：由題意知 a、b、c 中有兩個(gè)像為 1，一個(gè)像為 2，所以這樣的映射有 3 個(gè).答案：313.已知：集合 A=x| 2 xw2, B = x| 1 x 1.對(duì)應(yīng)關(guān)系 f:y= ax若在 f的作用下能夠建立從 A 到 B 的映射 f: ATB,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：當(dāng) a0 時(shí)，由2wxw2 得2awaxw2a.若能夠建立從 A 到 B 的映射，則2a, 2a?