2015清華大學(xué)自主招生試題(含答案)

1、2021清華大學(xué)自主招生一、 選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)z=cos+isin，那么=        (A)0 (B)1 (C) (D) 2.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，p,q,k,l為正整數(shù)，那么“p+q>k+l是“的( )條件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.設(shè)A、B是拋物線y=上兩點，O是坐標原點，假設(shè)OAOB,那么( )(A)|OA|·|OB|2 (B)|OA|+|OB|2(C)直線AB過拋物線y=的焦點 (D)O到直線AB的距離小于等于14.設(shè)函數(shù)的定義域為(-1,1)，且滿足：>0,x(-1,0)；+=

2、，x、y(-1,1)，那么為(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)減函數(shù) (D)有界函數(shù)5.如圖，直線y=kx+m與曲線y=f(x)相切于兩點，那么F(x)=f(x)kx有        (A)2個極大值點 (B)3個極大值點 (C)2個極小值點 (D)3個極小值點6.ABC的三邊分別為、b、c假設(shè)c=2，C=，且sinC+sin(BA)2sin2A=0,那么有    (A)b=2 (B)ABC的周長為2+2 (C)ABC的面積為(D)ABC的外接圓半徑為7.設(shè)函數(shù)，那么        (A)有極小

3、值，但無最小值 (B) 有極大值，但無最大值(C)假設(shè)方程=b恰有一個實根，那么b> (D)假設(shè)方程=b恰有三個不同實根，那么0<b<8.A=(x,y)，B=(x,y)，AB=(),()，那么        (A)0<<2 (B) (C)=，=b (D)= 9.非負實數(shù)x,y,z滿足+2z=3，那么5x+4y+3z的最小值為        (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.設(shè)數(shù)列的前n項和為，假設(shè)對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得=，那么    

4、60;  A可能為等差數(shù)列 B可能為等比數(shù)列C的任意一項均可寫成的兩項之差(D)對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得=11.運動會上，有6名選手參加100米比賽，觀眾甲猜想：4道或5道的選手得第一名；觀眾乙猜想：3道的選手不可能得第一名；觀眾丙猜想：1,2,6道選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜想：4,5,6道的選手都不可能獲得第一名比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜比照賽結(jié)果，此人是      (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.長方體ABCD中，AB=2，AD=A=1，那么A到平面BD的距離為     (A

5、) (B) (C) (D) 13.設(shè)不等式組所表示的區(qū)域為D，其面積為S，那么        (A)假設(shè)S=4，那么k的值唯一 (B)假設(shè)S=，那么k的值有2個(C)假設(shè)D為三角形，那么0<k (D)假設(shè)D為五邊形，那么k>414.ABC的三邊長是2,3,4，其外心為O，那么=        (A)0 (B)15 (C) (D)15.設(shè)隨機事件A與B互相獨立，且P(B)=0.5，P(AB)=0.2，那么         (A)P(A)=0.4 (B)P(BA)=0

6、.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.過ABC的重心作直線將ABC分成兩局部，那么這兩局部的面積之比的        (A)最小值為 (B)最小值為 (C)最大值為 (D最大值為17.從正15邊形的頂點中選出3個構(gòu)成鈍角三角形，那么不同的選法有        (A)105種 (B)225種 (C)315種 (D)420種18.存在實數(shù)r，使得圓周上恰好有n個整點，那么n可以等于        (A)4 (B)6 (C)8 (D)1219.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足

7、2|z|z1|，那么        (A)|z|的最大值為1 (B)|z|的最小值為 (C)z的虛部的最大值為 (D)z的實部的最大值為20.設(shè)m,n是大于零的實數(shù)，=(mcos,msin)，=(ncos,nsin)，其中,0,2),0,2)定義向量=(,),=(,)，記=，那么        (A)·= (B)= (C) (D)21.設(shè)數(shù)列滿足：=6，那么        (A)nN,< (B)nN,2021 (C)nN,為完全平方數(shù) (D)nN, 為完全立方

8、數(shù)22.在極坐標系中，以下方程表示的圖形是橢圓的有        A= B= C= D=23.設(shè)函數(shù)，那么        A (B)|5|x| (C)曲線y=存在對稱軸 (D)曲線y=存在對稱中心24.ABC的三邊分別為,b,c，假設(shè)ABC為銳角三角形，那么        (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C) (D)25.設(shè)函數(shù)的定義域是(1,1)，假設(shè)=1，那么存在實數(shù)(0,1)，使得  (A)>0，x(,) (B)在(,)

9、上單調(diào)遞增(C)>1，x(0,) (D)>1，x(,0)26.在直角坐標系中，A(1,0)，B(1,0)假設(shè)對于y軸上的任意n個不同的點(k=1,2,n)，總存在兩個不同的點,，使得|sinABsinAB|，那么n的最小值為   (A)3 (B)4 (C)5 (D)627.設(shè)非負實數(shù)x,y滿足2x+y=1，那么x+的    (A)最小值為 (B)最小值為 (C)最大值為1 (D)最大值為28.對于50個黑球和49個白球的任意排列從左到右排成一行，那么        (A)存在一個黑球，它右側(cè)的白球和黑球一樣多 (

10、B)存在一個白球，它右側(cè)的白球和黑球一樣多(C)存在一個黑球，它右側(cè)的白球比黑球少一個 (D)存在一個白球，它右側(cè)的白球比黑球少一個29.從1,2,3,4,5中挑出三個不同數(shù)字組成五位數(shù)，其中有兩個數(shù)字各用兩次，例如12231，那么能得到的不同的五位數(shù)有        (A)300個 (B)450個 (C)900個 (D)1800個30.設(shè)曲線L的方程為=0，那么        (A)L是軸對稱圖形 (B)L是中心對稱圖形 (C)L(x,y)1 (D)L(x,y)y#Answer#1.【解析】 =-=-=1，選B2

11、.【簡解】 =(p+q)-(k+l)d，與公差d的符號有關(guān)，選D3.【解析】設(shè)A(),B(),=0答案(A),=2，正確；答案(B),|OA|+|OB|22,正確；答案(C),直線AB的斜率為= 方程為y-=()(x-),焦點(0,)不滿足方程，錯誤；答案(D)，原點到直線AB：()x-y+1=0的距離d=1，正確。選ABD4.【解析】x=y=0=0,y=-x,為奇函數(shù)，(A)正確；0，(B)錯誤；，-=+=>0>,(C)正確；=-tan滿足條件，但無界，(D)錯誤。選A,C5.【簡解】將直線平移知：斜率為k的直線，與曲線y=至多有五個公共點，其中在此直線先下方后上方的兩個區(qū)間，先

12、上方后下方的三個區(qū)間，故有三個極大值點，兩個極小值點。選BC6.【解析】2R=R=,D正確；又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosAcosA=0或sinB=2sinAA=或b=2; A=時，b=, =,周長為2+，面積為；b=2時，=,B=,同樣有周長為2+，面積為。選BCD7.【簡解】=(x+3)(x-1), ，作出其大致圖象，如圖選BD8.【解析】即半徑相等的兩圓O:與C:交于相異的兩點、。0<|OC|<2|r|0<<4,(A)錯；四邊形OC是菱形對角線OC與垂直且平分，(B)(C)正確；

13、=，(D)正確?？傊?，選BCD9.【解析】關(guān)于z的方程有非負實數(shù)解，z=-1+20,d=5x+4y+3z=5x+4y+6-3,設(shè)x=rcos,y=rsin,0,r0,d=r(5cos+4sin)+6-3=rsin(+arctan)+6-34r+6-3=2(2r+3)-3,設(shè)=2,3，=(r,)d2-3=2cos()-3=2cos()-3,作圖知()最大值是與夾角，此時d2-3=3。選C10.【解析】答案(A)，常數(shù)列0,0,0,.滿足要求；答案(B),公比q=1時因n,結(jié)論假，q1時，常數(shù)，也不可能；答案(C),=,滿足要求；答案(D),=，并非對所有數(shù)列成立。選AC11.【簡解】答案甲乙丙不

14、能保證只有一個正確，應(yīng)選D12.等體積法，選B13.【解析】如圖：不等式組表示過點P(-1,-2)的直線的下方與正方形ABCD圍成的面積圖形k>0時，S單調(diào)增，梯形ABC面積為>4，故S=4只有一解，(A)正確；AB、D的面積分別為、1,都比大，故再兩個三角形內(nèi)各存在一個圍成面積為的直線，(B)正確；k<0時，圍成的仍然是三角形，(C)錯誤；圍成五邊形，斜率大于直線PC的斜率4，(D)正確。選ABD14.【簡解】取AB的中點D,那么=OA×AB×cos(-OAB)=-AB×(OA×cosOAB)=-,同理 =，原式= .選D15.【簡解

15、】設(shè)P(AB)=x，那么P(A)=0.2+x，根據(jù)P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5x=0.2;P(A)=0.4，(A)正確；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正確；P(AB)=0.2，(C)正確；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)錯誤。選ABC16.【解析】設(shè)ABC的重心為G,面積為1，過點G的直線與三角形邊AB、AC分別相交于D、E，AD=xAB,AE=yAC,那么有AB×ACsinA=1,如圖特別的x,y0,1時，DE為三角形的中線，此時分成兩局部面積比值為1當x,y(0,1)時，ADE面積S=AD×

16、AEsinA=xAB×yACsinA=xy,D、G、E三點共線存在實數(shù)，使得=()=(1-)+=(1-)x+y,又= + ，消去得到=3，因2S,等號成立當且僅當x=y=DEBC,故S最小值為，1-S的最大值為；故兩面積比值有最小值，最大值。選BD17.【解析】先看一個頂點處構(gòu)成鈍角的三角形個數(shù)，加設(shè)此點為A，從A逆時針方向的點依次記為(k=1,2,3,7),順時針方向的頂點依次記為(k=1,2,3,7)，要構(gòu)成以A為鈍角的鈍角三角形，那么n+m7，有1+2+3+6=21個。于是共可構(gòu)成15×21=315個鈍角三角形。選C18.【簡解】正數(shù)點關(guān)于x軸、y軸對稱，故一定是4的

17、倍數(shù)。選ACD19.【簡解】設(shè)x=x+yi(x,yR),代入化簡得到，表示以(-,0)為圓心，以為半徑的圓及其內(nèi)部，根據(jù)圖形，選ACD20. 【解析】·是一個數(shù)值，不是向量，(A)錯；=+=,(B)正確；=+=m+n-2cos= m+n-2cos2(1-cos)=,(C)正確；同理(D)正確選BCD21.【簡解】,迭乘得到=(n+2)(n+1)n；n(n+2)<,(A)正確；2021=5×13×31，不可能是三個連續(xù)整數(shù)之積，(B)正確；三個連續(xù)整數(shù)積不可能為完全平方數(shù)和立方數(shù)，(C)(D)錯誤。選AB22.【簡解】(A)去分母，化成直角坐標方程為x+y=1

18、，表示直線；(B)為=表示橢圓；(C)為=表示橢圓；(D)為=表示雙曲線。選BC23.【解析】g(x)=0,=0,(A)正確；5|x|sinx|.作圖象知成立,(B)正確；x=是其一條對稱軸，(C)正確；不可能為常數(shù)，故(D)錯誤。選ABC24.【簡解】A+B>A>-BsinA>sin(-B)=cosB,tanA>tan(-B)=cotB,(A)(B)正確；銳角三角形，一定有，(C)正確；三角形三邊長為0.5,0.9,1時，滿足銳角三角形條件，但<1，(D)錯誤?？傊xABC25.【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，對任意>0,存在>0,當|x|<時，|-1|<x(1-)+1<<x(1+)+1，對取值可知(A)(C)正確；=1>0，知在0附近存在區(qū)間，>0,(B)正確；對于函數(shù)y=x+1，(D)不正確?？傊?，選ABC26.【解析】將所有的|sinABsinAB|，按從小到大排序，共有個，其中最小者不大于，最大為2，于是2,n的最小值為4.選B27.【解析】設(shè)x=rcos,y=rsin,0,.2x+y=1r=,x+=rcos+r=,記作T；去分母得到Tsin+(2T-1)cos=1,sin(+arctan )=1，解得T,等號